Tenglamalar sistemasi kalkulyatori: bosqichma-bosqich yechish

Tenglamalar sistemasi kalkulyatori haqida

Tenglamalar sistemasi bir vaqtning oʻzida bir nechta tenglamani qanoatlantiradigan qiymatlarni soʻraydi. Grafikdagi ikki toʻgʻri chiziq bitta nuqtada kesishadi, hech qachon kesishmaydi yoki ustma-ust tushadi, istalgan sondagi nomaʼlumli sistemalar uchun ham xuddi shu uch natija mavjud. Bu kalkulyator qaysi hol ekanini aniqlaydi va yechim yagona boʻlsa, uni yaxlitlangan oʻnli kasrlar emas, aniq oddiy kasrlar bilan beradi.

U maktabda oʻrgatiladigan oʻrniga qoʻyish va qoʻshish usullari asosidagi tizimli usul — Gauss–Jordan usulidan foydalanadi. Har bir satr almashtirishi sanab koʻrsatiladi, shuning uchun hisobni kuzatib borishingiz, uni oʻz yechimingiz bilan solishtirishingiz va oʻzgaruvchi qayerda yoʻqolgani yoki ziddiyat qayerda paydo boʻlganini aniq koʻrishingiz mumkin.

Chiziqli tenglamalar sistemasi nima?

Chiziqli tenglamada har bir oʻzgaruvchi faqat birinchi darajada qatnashadi, masalan, $2x + 3y = 7$ . Sistema — bir xil oʻzgaruvchilarga ega boʻlgan shunday tenglamalar toʻplami. Yechim — barcha tenglamalarni bir vaqtda toʻgʻri tenglikka aylantiradigan qiymatlar majmui.

Ikki oʻzgaruvchida har bir tenglama toʻgʻri chiziq, yechim esa kesishish nuqtasi. Uch oʻzgaruvchida har bir tenglama tekislik boʻladi. Sistema yagona yechimli birgalikdagi, cheksiz koʻp yechimli birgalikdagi (bogʻliq tenglamalar) yoki umuman yechimsiz birgalikda boʻlmagan sistema boʻlishi mumkin.

Tenglamalar sistemasi kalkulyatoridan qanday foydalanish kerak

Har bir tenglamani alohida qatorga yozing, masalan, birinchi qatorga 2x + 3y = 7, ikkinchisiga x - y = 1.
Oʻzgaruvchi sifatida istalgan harflardan foydalaning. Hadlar ikkala tomonda ham boʻlishi mumkin; kalkulyator ularni standart shaklga keltiradi.
0.5x + y/3 = 2 kabi oddiy va oʻnli kasrlar qabul qilinadi; oʻnli kasrlar aniq oddiy kasrlarga aylantiriladi.
“Sistemani yechish” tugmasini bosing. Standart shakl va kengaytirilgan matritsani, soʻng satr almashtirishlari roʻyxatini oʻqing.
Xulosani oʻqing: yagona yechim, cheksiz koʻp yechimning parametrik tavsifi yoki yechim yoʻqligini koʻrsatadigan ziddiyat.

Formulalar

Matritsa shakli

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Koeffitsientlar $A$ ni, ozod hadlar $\mathbf{b}$ ni tashkil qiladi; kengaytirilgan matritsa $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Elementar satr almashtirishlari

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Ularning hech biri yechimlar toʻplamini oʻzgartirmaydi.

Kramer qoidasi (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Determinanti nolga teng boʻlmagan $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ sistema uchun.

Yechib koʻrsatilgan misol: 2x + 3y = 7, x − y = 1

Misolda $2x + 3y = 7$ va $x - y = 1$ yechiladi. Hisoblagich kengaytirilgan matritsani yozadi, birinchi satrni yetakchi elementi 1 boʻladigan qilib koʻpaytiradi, ikkinchi satrdan $x$ ni, soʻng birinchi satrdan $y$ ni yoʻqotadi.

Keltirilgan matritsadan toʻgʻridan-toʻgʻri $x = 2$ va $y = 1$ oʻqiladi. Qoʻyib koʻrsak, $2(2) + 3(1) = 7$ va $2 - 1 = 1$ chiqadi, demak, ikkala tenglama ham bajariladi.

Quyidagi yechim yuqoridagi kalkulyatorni ishlatadigan oʻsha hisoblash mexanizmi tomonidan tuzilgan.

Yakuniy javob

x = 2,\ y = 1

Masalangizni qanday tushundik

2 nomaʼlumli 2 ta chiziqli tenglama (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Bosqichma-bosqich yechim

Har bir tenglamani standart shaklda yozing
Barcha oʻzgaruvchili hadlarni chapga, ozod hadlarni oʻngga oʻtkazing.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Kengaytirilgan matritsani tuzing [A | b]
Ustunlar: x, y | ozod had.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Gauss–Jordan usuli
Satr almashtirishlari yordamida har bir yetakchi elementni 1 ga aylantiring va uning ustunidagi qolgan elementlarni nolga keltiring.
R1 ni 2 ga boʻling
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
R1 dagi yetakchi element yordamida 1-ustunni tozalang
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
R2 ni -5/2 ga boʻling
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
R2 dagi yetakchi element yordamida 2-ustunni tozalang
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Keltirilgan pogʻonasimon shakl
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Yagona yechimni oʻqib oling
$x = 2,\ y = 1$

Qoʻllanilgan formulalar

Matritsa shakli
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Elementar satr almashtirishlari
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

Sistemaning aynan bitta yechimi bor; uni qayta qoʻyish har bir tenglamani qanoatlantiradi.

Tekshiruv

1-tenglama: 2x + 3y = 7 ✓
2-tenglama: x - y = 1 ✓

Batafsil tushuntirish

Qoʻshish, oʻrniga qoʻyish va matritsalar

Oʻrniga qoʻyish usuli bitta tenglamadan oʻzgaruvchini ifodalab, uni qolganlariga qoʻyadi. Qoʻshish usuli oʻzgaruvchi yoʻqolishi uchun tenglamalarning karralilarini qoʻshadi. Gauss–Jordan usuli — kengaytirilgan matritsada qatʼiy tartibda bajariladigan qoʻshish usuli: har bir ustunda yetakchi elementni tanlang, uni 1 ga keltiring va shu ustundagi qolgan barcha elementlarni nolga aylantiring.

Matritsali variant boshqa usul emas, shunchaki tartibliroq hisob-kitob. Har bir satr oʻzgaruvchilar nomlari olib tashlangan tenglama, har bir satr almashtirishi esa tenglamalar ustida qoʻlda bajarish mumkin boʻlgan amal. Hisob aniq kasrlarda olib borilgani uchun hech bir yaxlitlash xatosi bogʻliq sistemani soxta yagona yechimga aylantira olmaydi.

Yechim yoʻqligini va cheksiz koʻp yechimni tanish

Agar yoʻqotish $[0\ 0 \mid 5]$ kabi satrni bersa, u $0 = 5$ ni bildiradi, bu mumkin emas, demak, sistema birgalikda emas. Geometrik nuqtai nazardan parallel toʻgʻri chiziqlar hech qachon kesishmaydi.

Agar satr butunlay nollardan iborat boʻlib qolsa, $[0\ 0 \mid 0]$ , bu tenglama qolganlarining kombinatsiyasi boʻlgan va yangi maʼlumot qoʻshmaydi. Yetakchi elementlar oʻzgaruvchilardan kam boʻlsa, yetakchi elementi yoʻq oʻzgaruvchilar erkin boʻladi. Kalkulyator ularni parametr deb ataydi va qolgan oʻzgaruvchilarni ular orqali ifodalab, yechimlarning butun toʻgʻri chizigʻi yoki tekisligini tavsiflaydi.

Kattaroq sistemalar

Uch nomaʼlumli uchta tenglama xuddi shu sxema boʻyicha, bitta qoʻshimcha ustun bilan yechiladi. Usul istalgan oʻlchamga kengayadi, kalkulyator esa tenglamalari nomaʼlumlardan koʻp yoki kam boʻlgan sistemalar bilan ham ishlaydi va har bir holda natijani halol koʻrsatadi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Tenglamani koʻpaytirishda uning faqat bir tomonini yoki faqat ayrim hadlarini koʻpaytirish.
Bir tenglamani ikkinchisidan ayirishda minus ishorasini yoʻqotish; ozod had ham shu jumladan, har bir hadni ayiring.
Sistemaning har doim aynan bitta yechimi bor deb hisoblash. Ziddiyatlar va nol satrlarni tekshiring.
Turli tenglamalarda hadlarni oʻzgaruvchilarning turli tartibida yozish, bu matritsa ustunlarini siljitib yuboradi.
Kasrlarni oraliq bosqichda yaxlitlash, bu birgalikdagi sistemani biroz birgalikda emasdek koʻrsatishi mumkin.

Maslahatlar

Boshlashdan oldin har bir tenglamada oʻzgaruvchilarni bir xil tartibda joylashtiring.
Avval koeffitsientlari eng sodda boʻlgan oʻzgaruvchini yoʻqotishni tanlang.
Javobingizni oxirgi ishlatgan tenglamagagina emas, har bir dastlabki tenglamaga qoʻyib tekshiring.
Ikki oʻzgaruvchida ular bir marta kesishadimi, hech qachon kesishmaydimi yoki ustma-ust tushadimi, oldindan bilish uchun ikki toʻgʻri chiziqni chizib koʻring.

Koʻp beriladigan savollar

Uchta nomaʼlumni topish uchun nechta tenglama kerak?

Odatda uchta erkli tenglama. Kamroq boʻlsa, erkin oʻzgaruvchilar paydo boʻladi va yechim cheksiz koʻp boʻladi; koʻproq boʻlsa, ortiqcha tenglamalar qolganlari bilan birgalikda boʻlishi kerak.

Kalkulyator yechim yoʻq desa, bu nimani bildiradi?

Yoʻqotish 0 = 5 kabi imkonsiz tasdiqni berdi. Tenglamalar bir-biriga zid; ikki oʻzgaruvchida toʻgʻri chiziqlar parallel.

Erkin oʻzgaruvchilar nima?

Yoʻqotishdan keyin yetakchi elementi boʻlmagan oʻzgaruvchilar. Ular istalgan qiymatni qabul qilishi mumkin, qolgan oʻzgaruvchilar esa ular orqali ifodalanadi va cheksiz koʻp yechim hosil boʻladi.

Ikkala tomonida oʻzgaruvchi boʻlgan tenglamalarni kiritsam boʻladimi?

Ha. Yoʻqotish boshlanishidan oldin har bir tenglama oʻzgaruvchili hadlar chapda, ozod had oʻngda boʻladigan standart shaklga keltiriladi.

Nega javoblar oʻnli emas, oddiy kasrlarda?

Hisoblagich aniq ratsional arifmetikada ishlaydi, shuning uchun 7/3 kabi javoblar aniq qoladi. Agar kursingiz talab qilsa, oʻnli kasrga faqat oxirida oʻting.

U x kvadrat plyus y kvadrat 25 ga teng kabi chiziqli boʻlmagan sistemalarni yecha oladimi?

Yoʻq. Bu kalkulyator chiziqli sistemalar uchun. Bitta koʻphadli tenglama uchun tenglama yechish kalkulyatoridan foydalaning; egri chiziqlar kesishmasini esa grafik chizish kalkulyatori koʻrgazmali koʻrsatib beradi.

Sistemangizni yeching

Tenglamalaringizni yuqoriga har bir qatorga bittadan yozing va har bir satr almashtirishini aniq javobgacha kuzating.

Kalkulyatordan foydalanish SI matematika yechuvchisidan soʻrash

Tenglamalar sistemasi kalkulyatori