Toʻla kvadrat ajratish: qadamma-qadam qoʻllanma

Usul gʻoyasi

Toʻla kvadrat uchhad ikkihad kvadratining ochilgan koʻrinishidir. $(x + h)^2$ ni ochsak, $x^2 + 2hx + h^2$ hosil boʻladi: ozod had $x$ koeffitsiyenti yarmining kvadratiga teng. Toʻla kvadrat ajratish ifoda toʻla kvadratga aylanishi uchun aynan shu ozod hadni qoʻshishni anglatadi.

Masalan, 6 ning yarmi 3 ga teng va $3^2 = 9$, demak, $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. Oʻng tomonni ochsak, $x^2 + 6x + 9 - 9$ hosil boʻladi, bu tenglikni tasdiqlaydi. Geometrik jihatdan $x^2 + 6x$ bu $x$ ga $x$ oʻlchamli kvadrat va oʻlchamlari $3$ ga $x$ boʻlgan ikkita yoʻlak, yetishmayotgan burchak esa yuzi 9 ga teng boʻlgan $3$ ga $3$ kvadratdir.

Xuddi shu qolip minus ishorasi bilan ham ishlaydi. $-10$ ning yarmi $-5$ va $(-5)^2 = 25$, demak, $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. Qoʻshiladigan son har doim musbat, chunki u kvadrat, qavs ichidagi ishora esa $b$ ning ishorasiga mos keladi. Bu ikki faktni alohida yodda tutish keyingi qadamlardagi xatolarning aksariyatining oldini oladi.

Kvadrat tenglamani toʻla kvadrat ajratish orqali yechish

1. Agar $x^2$ koeffitsiyenti 1 ga teng boʻlmasa, har bir hadni unga boʻling.
2. Ozod hadni oʻng tomonga oʻtkazing.
3. Ikkala tomonga $(b/2)^2$ ni qoʻshing.
4. Chap tomonni $(x + b/2)^2$ koʻrinishda yozing va oʻng tomonni soddalashtiring.
5. $\pm$ ni unutmasdan ikkala tomondan kvadrat ildiz chiqaring va $x$ ni toping.

Bosh koeffitsiyent 1 ga teng boʻlmaganda

Kvadrat tenglama formulasi ham shuni beradi: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. Oʻrta koeffitsiyent toq boʻlsa, kasrlardan qochib boʻlmaydi, lekin ular bilan ishlash qiyin emas. $x^2 + 5x - 1 = 0$ uchun 5 ning yarmi $\frac{5}{2}$, demak, $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ va $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Kompleks yechimlar

Agar oʻng tomon manfiy chiqsa, haqiqiy yechimlar yoʻq, lekin usul baribir kompleks yechimlarni beradi.

Tekshirish: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$ va $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

Parabolaning uchli koʻrinishi

Grafik chizishda toʻla kvadrat ajratishning eng keng tarqalgan qoʻllanilishi $y = ax^2 + bx + c$ ni $y = a(x - h)^2 + k$ uchli koʻrinishga keltirishdir, bunda $(h, k)$ parabolaning uchi. Kvadrat hech qachon manfiy boʻlmagani uchun $a > 0$ da uch minimum nuqtasi, $a < 0$ da esa maksimum nuqtasi boʻladi.

4-misoldagi eng koʻp uchraydigan xato ayirilgan 9 ni qavsdan chiqarilgan $-2$ ga koʻpaytirishni unutishdir. Uchli koʻrinishni qaytadan ochib chiqish tez tekshiruvdir.

$h = -\frac{b}{2a}$ qisqa formulasi uchning xuddi shu abssissasini beradi; toʻla kvadrat ajratish bu formula qayerdan kelib chiqishini koʻrsatadi. Kvadrat tenglama kalkulyatori ildizlar bilan birga parabola uchini ham koʻrsatadi.

Kvadrat tenglama formulasini keltirib chiqarish

$a \neq 0$ boʻlgan umumiy $ax^2 + bx + c = 0$ tenglamadan toʻla kvadrat ajratish kvadrat tenglama formulasini beradi, shuning uchun formula har doim ishlaydi.

Oʻrtadagi qadam ikkala tomonga $\frac{b^2}{4a^2}$ ni qoʻshish va $-\frac{c}{a}$ ni $-\frac{4ac}{4a^2}$ koʻrinishda yozishdan kelib chiqadi. Kvadrat tenglamalarni qanday yechish qoʻllanmasi formula, koʻpaytuvchilarga ajratish yoki ushbu usuldan qachon foydalanishni tushuntiradi.

Aylanalar va boshqa qoʻllanishlar

$x$ boʻyicha ham, $y$ boʻyicha ham toʻla kvadrat ajratish aylananing umumiy tenglamasini markaz va radius koʻrinishiga keltiradi.

Matematik analizda xuddi shu qadam $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$ kabi integrallarni tayyorlaydi: maxrajni $(x + 1)^2 + 4$ koʻrinishda yozish $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$ ni beradi. Integral kalkulyatori mos kelganda shu almashtirishdan foydalanadi.

Keng tarqalgan xatolar

• $(b/2)^2$ ni faqat bir tomonga qoʻshish.
• 1 dan farqli bosh koeffitsiyentga boʻlishdan oldin toʻla kvadrat ajratish.
• Kvadrat ildiz chiqarishda $\pm$ ni unutish, bunda bitta yechim yoʻqoladi.
• $(b/2)^2$ oʻrniga $b^2$ yoki $b/2$ dan foydalanish.
• Uchning ishorasini notoʻgʻri oʻqish: $(x - 3)^2$ da $h = 3$, $(x + 3)^2$ da esa $h = -3$.

Oʻz misolingizni yuqoridagi har bir qadamni koʻrsatadigan toʻla kvadrat ajratish kalkulyatorida sinab koʻring.

Toʻla kvadratdan maʼlumot oʻqish

Kvadrat uchhad $a(x - h)^2 + k$ koʻrinishda yozilgach, qoʻshimcha hisob-kitobsiz koʻp maʼlumotni oʻqish mumkin. Uchi $(h, k)$, simmetriya oʻqi esa $x = h$ vertikal toʻgʻri chiziq. Qiymatlar sohasi bevosita kelib chiqadi: agar $a > 0$ boʻlsa, eng kichik qiymat $k$ va qiymatlar sohasi $[k, \infty)$; agar $a < 0$ boʻlsa, eng katta qiymat $k$ va qiymatlar sohasi $(-\infty, k]$.

x oʻqi bilan kesishish nuqtalari soni ham kelib chiqadi. $a(x - h)^2 + k = 0$ deb olsak, $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$ hosil boʻladi. Agar $-\frac{k}{a}$ musbat boʻlsa, ikkita kesishish nuqtasi bor; nol boʻlsa, uch oʻqqa urinadi; manfiy boʻlsa, parabola oʻqni hech qachon kesmaydi. 3-misolda $(x - 2)^2 = -3$ haqiqiy yechimga ega emas, bu tarmoqlari yuqoriga qaragan parabolaning uchi 3 balandlikda ekaniga mos keladi. 4-misolda $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ dan $(x - 3)^2 = 4$ kelib chiqadi, demak, kesishish nuqtalari $x = 1$ va $x = 5$.

Optimallashtirish masalalarida ham xuddi shu gʻoya ishlatiladi. Agar $p$ narxda sotishdan olinadigan foyda yuz dollarlarda $P = -2p^2 + 12p - 10$ boʻlsa, 4-misol eng katta foyda $p = 3$ da 8 yuz dollar ekanini koʻrsatadi. Matematik analiz kerak emas, chunki kvadratli had qiymatni faqat uch balandligidan pastga tushirishi mumkin.

Javoblari bilan mashqlar

Javoblarga qarashdan oldin bularni sinab koʻring. Har biri yuqoridagi misollardagi qadamlardan birini qoʻllaydi.

1. $x^2 - 10x + 21 = 0$ ni yeching. Javob: $(x - 5)^2 = 4$, demak, $x = 3$ yoki $x = 7$.
2. $x^2 + 2x - 4 = 0$ ni yeching. Javob: $(x + 1)^2 = 5$, demak, $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. $y = x^2 + 8x + 10$ ni uchli koʻrinishda yozing. Javob: $y = (x + 4)^2 - 6$, uchi $(-4, -6)$.
4. $y = 3x^2 - 6x + 1$ ni uchli koʻrinishda yozing. Javob: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, uchi $(1, -2)$.
5. $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ aylananing markazi va radiusini toping. Javob: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, markaz $(-1, 4)$, radius 3.

Agar javob mos kelmasa, ajratilgan toʻla kvadratni oching va dastlabki ifoda bilan qatorma-qator solishtiring; farq odatda qaysi son notoʻgʻri qoʻshilgan yoki ayirilganini aniq koʻrsatadi.

Nega bu usulni oʻrganishga arziydi

Kvadrat tenglama formulasi mavjud ekan, nega toʻla kvadrat ajratish hali ham oʻqitilishini soʻrash oʻrinli. Javob shundaki, bu shunchaki yechish usuli emas, balki almashtirishdir. U ifodani oʻzgaruvchi faqat bitta joyda, kvadrat ichida qatnashadigan qilib qayta yozadi. Shundan soʻng ifodani tahlil qilish oson: uning eng kichik yoki eng katta qiymati, simmetriyasi va nollari birdaniga koʻrinadi.

Bu gʻoya matematikaning turli sohalarida takrorlanadi. Aylana, ellips va giperbola kabi konus kesimlari ikki oʻzgaruvchi boʻyicha toʻla kvadrat ajratish orqali aniqlanadi. Statistikada normal taqsimot zichligining daraja koʻrsatkichida toʻla kvadrat bor va uning koʻp xossalarini keltirib chiqarish xuddi shu algebraga tayanadi. Matematik analizda kvadrat ildiz ostida yoki maxrajda kvadrat uchhad boʻlgan integrallar bu qadamdan keyin standart koʻrinishga keladi. Fizikada undan energiya funksiyalarining muvozanat nuqtalarini topishda foydalaniladi.

Shuning uchun uni oddiy kvadrat uchhadlarda mashq qilish keyingi mavzular sizda bor deb hisoblaydigan koʻnikmani shakllantiradi. Agar 1-misoldan 5-misolgacha konspektsiz bajara olsangiz, bu qoʻllanishlarga ham, faqat ildizlarni aytishni emas, balki usulni koʻrsatishni talab qiladigan imtihon savollariga ham yaxshi tayyorsiz.

Koʻp beriladigan savollar