Aniq va aniqmas integrallar

Farq bir qarashda

• Belgilash: aniqmas — $\int f(x)\,dx$; aniq — quyi chegarasi $a$ va yuqori chegarasi $b$ boʻlgan $\int_a^b f(x)\,dx$.
• Natija: aniqmas integral funksiya va oʻzgarmasni beradi; aniq integral son beradi.
• Maʼnosi: aniqmas integral qaysi funksiyalarning hosilasi shu ekanini aytadi; aniq integral $a$ va $b$ orasida qancha jamlanishini aytadi.
• Oʻzgarmas: aniqmas integralga $+ C$ kerak; aniq integralda oʻzgarmas qisqarib ketadi.
• Tekshirish: integral ostidagi funksiyani tiklash uchun aniqmas javobni differensiallang; aniq javobni grafikdan yoki toʻgʻri toʻrtburchaklar yordamida baholang.

Agar integrallar siz uchun yangi boʻlsa, ikkala gʻoyani noldan quradigan integral nima maqolasidan boshlang.

Aniqmas integrallar: boshlangʻich funksiyalar oilalari

$f$ ning aniqmas integrali — hosilasi $f$ ga teng boʻlgan barcha funksiyalar toʻplami. Oʻzgarmas qoʻshish hosilani oʻzgartirmagani uchun javob har doim egri chiziqlar oilasi boʻladi, ularning har biri boshqalarining vertikal siljishidir:

Oiladan bitta funksiyani tanlash uchun qoʻshimcha maʼlumot, odatda maʼlum bir qiymat kerak. Bu boshlangʻich shartli masala deb ataladi.

Fizika bundan doimo foydalanadi. Agar tezlanish $-9.8$ m/s² ga teng va oʻzgarmas boʻlsa, bir marta integrallash $v(t) = -9.8t + v_0$ tezlikni, yana bir marta integrallash esa $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$ balandlikni beradi. Ikki oʻzgarmas — boshlangʻich tezlik va boshlangʻich balandlik.

Aniq integrallar: yigʻindilar limitidan olinadigan sonlar

Aniq integral Riman yigʻindilarining limiti sifatida taʼriflanadi va $a$ dan $b$ gacha grafik bilan x oʻqi orasidagi ishorali yuzani ifodalaydi. Matematik analizning asosiy teoremasi uni hisoblashning qisqa yoʻlini beradi:

$F$ oʻrniga $F + C$ dan foydalanish hech narsani oʻzgartirmaydi, chunki $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Shuning uchun oʻzgarmas tashlab yuboriladi.

Aniq integrallarning xossalari

Hosilalardagi kabi, yigʻindilar va oʻzgarmas koʻpaytuvchilar integral belgisidan chiqariladi. Simmetriya koʻp mehnatni tejaydi: agar $f$ toq boʻlsa, yaʼni $f(-x) = -f(x)$, u holda $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Masalan, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, chunki manfiy va musbat yarmlar bir-birini yoʻqqa chiqaradi. Agar $f$ juft boʻlsa, $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, demak, $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

$f$ ning $[a, b]$ dagi oʻrtacha qiymati $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$ ga teng. $[0, 3]$ dagi $x^2$ uchun bu $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: balandligi 3 va eni 3 boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchak parabola ostidagi soha bilan bir xil yuzaga ega.

Oʻrniga qoʻyish har birida turlicha ishlaydi

Aniqmas integralda oʻrniga qoʻyasiz, integrallaysiz, soʻng dastlabki oʻzgaruvchiga qaytasiz. Aniq integralda esa buning oʻrniga chegaralarni yangi oʻzgaruvchiga moslab oʻzgartirib, hech qachon orqaga qaytmaslik mumkin.

Keng tarqalgan xato — $u$ ni oʻrniga qoʻyib, eski $x$ chegaralarini qoldirish. Hisoblashdan oldin yo chegaralarni oʻzgartiring, yo $x$ ga qayting — hech qachon ikkalasining yarmini emas.

Ikkisi uchrashadigan joy: jamlanish funksiyalari

Yuqori chegarasi oʻzgaruvchi boʻlgan aniq integral funksiyadir: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. U $f$ ning muayyan boshlangʻich funksiyasi — $x = a$ da 0 ga teng boʻlgani. Masalan, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

Asosiy teoremaning birinchi qismiga koʻra, $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Demak, bu integral elementar formulaga ega boʻlmasa ham, $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$. Agar yuqori chegaraning oʻzi funksiya boʻlsa, murakkab funksiya qoidasi koʻpaytuvchi qoʻshadi: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Differensiallash qoidalari hosila qoidalari tushuntirilgan maqolasida jamlangan.

Xosmas integrallar

Cheksiz oraliq boʻyicha yoki oraliq ichida cheksizlikka intiladigan funksiyadan olingan aniq integral xosmas integral deb ataladi va limit sifatida taʼriflanadi. Masalan:

Demak, cheksiz uzun soha chekli yuzaga ega boʻlishi mumkin. Aksincha, $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ chegarasiz oʻsadi, yaʼni uzoqlashadi. Bu taqqoslash qatorlarning yaqinlashish alomatlari maqolasidagi integral alomatning asosidir.

Savol qaysi birini talab qiladi?

Integral belgisidagi chegaralarga yoki “dan”, “orasida”, “jami”, “yuza”, “qancha” kabi soʻzlarga eʼtibor bering. Ular aniq integral va sonli javobni bildiradi. “Funksiyani toping”, “umumiy yechim” yoki “boshlangʻich funksiya” kabi soʻzlar $+ C$ li aniqmas integralni bildiradi. $f(0) = 2$ kabi boshlangʻich qiymat berilgan savol aniqmas integralni, soʻng $C$ ni topishni talab qiladi.

Aniqmas integrallarni qadamlari bilan topish uchun integral kalkulyatoridan, oraliq boʻyicha, jumladan, xosmas integrallarni hisoblash uchun esa aniq integral kalkulyatoridan foydalaning.

Bitta funksiya misolida taqqoslash

Ikkala turdagi integralni bitta funksiyaga qoʻllash farqni yaqqol koʻrsatadi. Bakka suv oqib kirish tezligini daqiqasiga litrlarda beradigan funksiyani olaylik va u $t$ daqiqadan keyin $4t + 2$ ga teng boʻlsin.

Aniqmas integral $2t^2 + 2t + C$ istalgan vaqtda bakdagi suv miqdorini tavsiflaydi, ammo faqat nomaʼlum boshlangʻich miqdor aniqligida. Agar boshida bakda 10 litr suv boʻlgan boʻlsa, $C = 10$ va $t$ daqiqadan keyingi hajm $2t^2 + 2t + 10$ litr. Bu istalgan onda hisoblash mumkin boʻlgan funksiya.

$t = 0$ dan $t = 5$ gacha boʻlgan aniq integral boshqa savolga javob beradi: oʻsha besh daqiqada qancha suv oqib kirdi? U boshida bakda qancha suv boʻlganidan qatʼi nazar $(50 + 10) - 0 = 60$ litrga teng. Birinchi javob — holat uchun formula; ikkinchisi — oʻzgarish uchun bitta son. Savol biror ondagi miqdorni yoki oraliq boʻyicha yigʻindini soʻrayaptimi, deb soʻrasangiz, aksariyat amaliy masalalar shu ikki turdan biriga aniq tushadi.

Har bir tur bilan bogʻliq keng tarqalgan xatolar

Aniqmas integrallarda eng keng tarqalgan xato — oʻzgarmasni tushirib qoldirish. Bu zararsiz tuyulishi mumkin, ammo boshlangʻich shartli masalada u aynan sizdan topish talab qilingan narsani yoʻq qiladi, differensial tenglamalarda esa butun bir yechimlar oilasini yashiradi. Ikkinchi xato — oʻrniga qoʻyishdan keyin javobni dastlabki oʻzgaruvchi orqali qayta yozishni unutish.

Aniq integrallarda odatiy xatolar — notoʻgʻri tartibda ayirish, oʻrniga qoʻyishdan keyin eski va yangi chegaralarni aralashtirib yuborish hamda ishorali yuzani umumiy yuza deb oʻqish. Yana bir tuzoq — funksiya aniqlanmagan nuqta orqali toʻgʻridan-toʻgʻri integrallash, masalan, $\frac{1}{x^2}$ ni $-1$ dan 1 gacha. Formulani u yerda koʻr-koʻrona qoʻllash $-2$ ni beradi, bu musbat funksiya uchun imkonsiz; aslida integral uzoqlashadi, chunki funksiya 0 da cheksizlikka intiladi. Asosiy teoremadan foydalanishdan oldin har doim integral ostidagi funksiya butun oraliqda uzluksiz ekanini tekshiring.

Ikki gʻoya qanday birlashadi

Aniqmas integralni asbob, aniq integralni esa ish deb tasavvur qilish foydali. Boshlangʻich funksiyani topish — qiyin ijodiy qadam; u topilgach, shu funksiyaning istalgan oraliqdagi har bir aniq integrali ayirish orqali kelib chiqadi. Shuning uchun darsliklar aniqmas integrallash usullariga shunchalik koʻp vaqt ajratadi va shuning uchun bitta yaxshi boshlangʻich funksiya yuza, masofa va jamlanishga oid butun bir savollar toʻplamiga birdaniga javob bera oladi.

Koʻp beriladigan savollar