Matritsa determinantini qanday topish mumkin

Determinant nimani oʻlchaydi

Har bir kvadrat matritsaning $\det(A)$ yoki $|A|$ deb yoziladigan determinanti bor. Kvadrat boʻlmagan matritsalarda determinant yoʻq. Determinant muhim savolga darhol javob beradi: kvadrat matritsa determinanti noldan farqli boʻlgandagina teskari matritsaga ega. Nol determinant matritsa fazoni kichikroq oʻlchamga siqib qoʻyishini anglatadi, shuning uchun axborot yoʻqoladi va uni tiklab boʻlmaydi.

Geometrik nuqtai nazardan determinantning moduli matritsa ikki oʻlchamda yuzalarni, uch oʻlchamda esa hajmlarni necha marta oʻzgartirishini bildiradi. Uning ishorasi almashtirish oriyentatsiyani saqlashi yoki teskarisiga oʻzgartirishini koʻrsatadi, xuddi koʻzgu chap va oʻngni almashtirgani kabi.

2 ga 2 formula

$2 \times 2$ matritsa uchun bosh diagonal elementlarini koʻpaytiring va ikkinchi diagonal koʻpaytmasini ayiring:

Yuza talqinini bu yerda oson koʻrish mumkin. $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ matritsaning $(3, 1)$ va $(1, 2)$ ustunlari parallelogramm hosil qiladi va uning yuzi $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$, bu aynan determinantdir.

3 ga 3 matritsalar uchun algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish

Kattaroq matritsalar uchun algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish masalani kichikroq determinantlarga keltiradi. Bir satrni, masalan, birinchisini tanlang. Har bir element uchun uning satri va ustunini oʻchirib, minor deb ataluvchi kichikroq matritsani hosil qiling va elementni minor determinantiga koʻpaytiring. Soʻng natijalarni $+, -, +$ shaxmat ishoralari boʻyicha birlashtiring:

Istalgan satr yoki ustun boʻyicha yoyish mumkin va javob bir xil chiqadi. Eng koʻp nolga ega satr yoki ustunni tanlang, chunki har bir nol element butun bir hadni yoʻqotadi.

Sarryus qoidasi: faqat 3 ga 3 uchun qisqa yoʻl

$3 \times 3$ matritsalar uchun eslab qolish oson boʻlgan qisqa yoʻl bor. Chetdan oʻtib davom etgan holda pastga va oʻngga yoʻnalgan uchta koʻpaytmani qoʻshing va pastga va chapga yoʻnalgan uchta koʻpaytmani ayiring. 2-misoldagi matritsa uchun pastga yoʻnalgan koʻpaytmalar $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ va $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$, jami 11. Yuqoriga yoʻnalgan koʻpaytmalar $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ va $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$, jami $-38$. Determinant $11 - (-38) = 49$, bu algebraik toʻldiruvchilar usuli natijasiga mos keladi.

Ehtiyot boʻling: Sarryus qoidasi faqat $3 \times 3$ matritsalar uchun ishlaydi. Xuddi shu diagonal qolipni $4 \times 4$ matritsaga qoʻllash notoʻgʻri javob beradi, bu imtihonlarda keng tarqalgan va qimmatga tushadigan xato.

Kattaroq matritsalar uchun qatorlarni keltirish

Algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish tezda sekinlashadi: $10 \times 10$ matritsa millionlab koʻpaytmalarni talab qiladi. Qatorlarni keltirish ancha samaraliroq. Uchburchak matritsaning determinanti shunchaki diagonal elementlari koʻpaytmasiga teng, shuning uchun matritsani uchburchak koʻrinishga keltirasiz va har bir satr amali determinantni qanday oʻzgartirishini kuzatib borasiz:

• Bir satrga boshqa satrning karralisini qoʻshish determinantni oʻzgartirmaydi.
• Ikki satrning oʻrnini almashtirish determinantni $-1$ ga koʻpaytiradi.
• Satrni $k$ songa koʻpaytirish determinantni $k$ ga koʻpaytiradi.

Ishni tejaydigan xossalar

• Nollardan iborat satr yoki ustunga ega matritsaning determinanti 0 ga teng.
• Ikki satri teng yoki bir satri boshqasining karralisi boʻlgan matritsaning determinanti 0 ga teng.
• $n \times n$ matritsa uchun $k\det(A)$ emas, balki $\det(kA) = k^n\det(A)$.
• Birlik matritsaning determinanti 1 ga teng.

Bu qoidalar koʻplab determinantlarni hech narsa hisoblamasdan topish imkonini beradi. Agar bir satr boshqasining ikki baravari ekanini sezsangiz, determinant nolga teng va matritsa teskariga ega emas, buni teskari matritsa qoʻllanmasi yordamida tasdiqlashingiz mumkin.

Kramer qoidasi: sistemalarni determinantlar bilan yechish

Determinantlar kichik chiziqli sistemalarni bevosita yechishi mumkin. $2x + y = 5$ va $x - 3y = -1$ uchun koeffitsiyentlar determinanti $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Birinchi ustunni ozod hadlar bilan almashtirib $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$ ni, ikkinchi ustunni almashtirib esa $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$ ni oling. U holda $x = \frac{D_x}{D} = 2$ va $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

Kramer qoidasi chiroyli va $2 \times 2$ hamda $3 \times 3$ sistemalar uchun qulay, ammo kattaroq sistemalar uchun samarasiz, ularda yoʻqotish usuli tezroq. Agar $D = 0$ boʻlsa, sistema yo yechimga ega emas, yo cheksiz koʻp yechimga ega. Determinant kalkulyatori istalgan oʻlchamdagi matritsalar uchun algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyish va qatorlarni keltirish qadamlarini koʻrsatadi, matritsa kalkulyatori esa yordamchi arifmetikani bajaradi.

4 ga 4 misol: ishni nollarga topshiring

Nollardan foydalanilganda kattaroq determinantlarni hisoblash osonlashadi. Satrlari $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ va $(0, 0, 0, 4)$ boʻlgan matritsani koʻrib chiqing. Oxirgi satrda uchta nol bor, shuning uchun u boʻyicha yoyish faqat bitta hadni qoldiradi: plyus ishorali oʻrindagi 4 elementi oxirgi satr va ustun oʻchirilgandan keyin qolgan $3 \times 3$ matritsa determinantiga koʻpaytiriladi.

Bu kichikroq matritsaning satrlari $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ va $(0, 0, 2)$. Uning oxirgi satrida ham ikkita nol bor, shuning uchun yana yoying: 2 elementini $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ ga koʻpaytirsak, 2 chiqadi. Demak, toʻliq determinant $4 \cdot 2 = 8$. Nollar boʻlmaganida xuddi shu hisoblash har biri toʻrtta sondan iborat yigirma toʻrtta koʻpaytmani talab qilardi.

Qochish kerak boʻlgan keng tarqalgan xatolar

• Algebraik toʻldiruvchilar boʻyicha yoyishda almashinuvchi ishoralarni, ayniqsa birinchi satrning ikkinchi oʻrnidagi minus ishorani unutish.
• Sarryusning diagonal qoidasini $4 \times 4$ yoki undan katta matritsaga qoʻllash.
• Qatorlarni keltirishda satrni songa koʻpaytirib, determinantni tuzatmaslik.
• Satrlar oʻrnini almashtirib, ishorani oʻzgartirishni unutish.
• $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$ deb faraz qilish, bu umuman olganda notoʻgʻri; faqat koʻpaytmalar qulay ajraladi.

Foydali odat: $3 \times 3$ determinantni ikki usulda hisoblang, masalan, satr boʻyicha yoyib, soʻng nol elementli ustun boʻyicha yoyib. Javoblar mos kelsa, ishonchingiz komil boʻladi, farq qilsa, nomuvofiqlik ishora xatosiga ishora qiladi.

Uch oʻlchamdagi determinantlar

Uch oʻlchamda $3 \times 3$ determinantning moduli qirralari uchta ustun vektordan iborat parallelepipedning, yaʼni qiya qutining hajmiga teng. Shuning uchun 2-misoldagi matritsa birlik kubni hajmi 49 boʻlgan jismga aylantiradi. Xuddi shu gʻoya uchta vektor bitta tekislikda yotishini tez tekshirish imkonini beradi: ular determinant nolga teng boʻlgandagina shunday yotadi, chunki yassi qutining hajmi yoʻq. Vektor koʻpaytma bunga yaqin bogʻliq, chunki u odatda ramziy $3 \times 3$ determinant sifatida hisoblanadi.

Koʻp beriladigan savollar