Ikki vektorning vektor koʻpaytmasi tushuntirilgan

Vektor koʻpaytma nimani beradi

Skalyar koʻpaytma ikki vektorni songa aylantiradi. Vektor koʻpaytma esa ikki vektorni uchinchi vektorga aylantiradi. U faqat uch oʻlchamda aniqlangan va natija ikki asosiy xususiyatga ega. Uning yoʻnalishi ikkala dastlabki vektorga perpendikulyar, uzunligi esa ular hosil qilgan parallelogramm yuziga teng:

Bu yerda $\theta$ — vektorlar orasidagi 0 dan 180 gradusgacha boʻlgan burchak. 0 va 180 gradusning sinusi nolga teng boʻlgani uchun parallel vektorlarning vektor koʻpaytmasi doimo nolga teng, perpendikulyar vektorlar esa oʻz oʻlchamlari uchun mumkin boʻlgan eng katta uzunlikni beradi.

Koordinatalar orqali formula

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ va $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ uchun koordinatalar quyidagicha:

Bu formulani yodlash qiyin, shuning uchun koʻpchilik uning oʻrniga ramziy determinantdan foydalanadi. Birinchi satrga $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ va $\mathbf{k}$ birlik vektorlarni, soʻng $\mathbf{a}$ va $\mathbf{b}$ koordinatalarini yozing va birinchi satr boʻyicha yoying:

Har doim ikki skalyar koʻpaytma tekshiruvi bilan yakunlang. Ular bir necha soniya oladi va deyarli barcha ishora xatolarini, ayniqsa oʻrta koordinatadagi xatolarni aniqlaydi.

Oʻng qoʻl qoidasi va tartib

Ikkala vektorga ikki qarama-qarshi yoʻnalish perpendikulyar va oʻng qoʻl qoidasi ulardan birini tanlaydi. Oʻng qoʻlingiz barmoqlarini $\mathbf{a}$ boʻylab yoʻnaltiring, ularni $\mathbf{b}$ tomon buking, shunda bosh barmogʻingiz $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ boʻylab yoʻnaladi. Standart birlik vektorlar uchun bu $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ va $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ ni beradi.

Tartibni almashtirish bosh barmoqni teskari tomonga yoʻnaltiradi, shuning uchun vektor koʻpaytma antikommutativ:

U assotsiativ ham emas: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, holbuki $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Biroq u qoʻshishga nisbatan distributiv va skalyarlarni chiqarish mumkin, shuning uchun $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Parallelogramm va uchburchak yuzalari

Vektor koʻpaytmaning uzunligi parallelogramm yuzi boʻlgani uchun u yuzalarni bevosita koordinatalardan beradi. 1-misoldagi vektorlar yuzi $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$ boʻlgan parallelogramm hosil qiladi, shu ikki tomonli uchburchakning yuzi esa uning yarmi, taxminan 3.67.

Normal vektorlar va tekislik tenglamalari

Tekislik undagi nuqta va unga perpendikulyar normal vektor orqali aniqlanadi. Tekislikda yotgan ikki vektorning vektor koʻpaytmasi ikkalasiga ham perpendikulyar boʻlgani uchun u aynan shunday normaldir. 2-misolda $(6, 3, 2)$ vektor $P$, $Q$ va $R$ orqali oʻtuvchi tekislikka normal, shuning uchun tekislik tenglamasi $6x + 3y + 2z = d$. $P(1, 0, 0)$ ni qoʻysak, $d = 6$ chiqadi.

Tekislik $6x + 3y + 2z = 6$ va $Q$ hamda $R$ ham uni qanoatlantiradi: $3 \cdot 2 = 6$ va $2 \cdot 3 = 6$. Xuddi shu gʻoya 3D grafikada doimiy qoʻllaniladi: modelning har bir uchburchagi qanday yoritilishi va qaysi tomoni kameraga qaraganini aniqlash uchun normal vektorga muhtoj.

Kuch momenti va boshqa fizika

Kuchning aylantiruvchi taʼsiri boʻlgan kuch momenti vektor koʻpaytmadir: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, bunda $\mathbf{r}$ tayanch nuqtasidan kuch qoʻyilgan nuqtagacha yoʻnalgan. Uning moduli $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

Impuls momenti va harakatlanayotgan zaryadga taʼsir qiluvchi magnit kuchi ham vektor koʻpaytmalardir va har bir holda natija yoʻnalishini oʻng qoʻl qoidasi beradi.

Aralash koʻpaytma va hajm

Ikkala koʻpaytmani birlashtirish $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ aralash koʻpaytmani beradi, u satrlari $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ va $\mathbf{c}$ boʻlgan $3 \times 3$ determinantga teng. Uning moduli uchta vektor yasagan qiya quti hajmiga teng. $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ va $(0, 0, 3)$ uchun quti oddiy toʻgʻri burchakli parallelepiped va aralash koʻpaytma $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Nolga teng aralash koʻpaytma uchta vektor bitta tekislikda yotishini bildiradi.

Vektor koʻpaytma kalkulyatori vektor koʻpaytmalarni determinantning har bir qadamini koʻrsatgan holda hisoblaydi, shuningdek yuzalar va vektorlar orasidagi burchakni ham chiqaradi. Perpendikulyarlikni tekshirish uchun uni skalyar koʻpaytma kalkulyatori bilan birga ishlating.

Nuqtadan toʻgʻri chiziqqacha masofa

Yuza talqini klassik masofa masalasini ham hal qiladi. $A$ nuqta orqali oʻtuvchi $\mathbf{u}$ yoʻnaltiruvchi vektorli toʻgʻri chiziqni va chiziqda yotmagan $P$ nuqtani oling. $\overrightarrow{AP}$ va $\mathbf{u}$ yasagan parallelogrammning yuzi $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, asosi esa $|\mathbf{u}|$ boʻlgani uchun uning balandligi, yaʼni $P$ dan toʻgʻri chiziqqacha masofa, yuzning asosga nisbatiga teng.

Masalan, koordinatalar boshidan $(1, 2, 2)$ yoʻnalishda oʻtuvchi toʻgʻri chiziqni va $P(2, 1, 3)$ nuqtani oling. $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ vektor koʻpaytmaning uzunligi $\sqrt{26}$, yoʻnaltiruvchi vektor uzunligi 3, demak, masofa $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Buni proyeksiya bilan tasdiqlash mumkin: nuqta koordinatalar boshidan $\sqrt{14}$ masofada, uning toʻgʻri chiziq boʻylab proyeksiyasi uzunligi $\frac{10}{3}$, Pifagor teoremasi esa xuddi shu masofani beradi.

Keng tarqalgan xatolar va mashqlar

• Determinantni yoyishda oʻrta koordinatadagi minus ishorani unutish.
• Vektorlar tartibini almashtirish, bu javob yoʻnalishini teskarisiga oʻzgartiradi.
• Uchburchak yuzi sifatida vektor koʻpaytma uzunligining yarmini emas, oʻzini olish.
• Ikki oʻlchamli vektorlarga avval nol uchinchi koordinata qoʻshmasdan vektor koʻpaytmani olishga urinish.

Mashq uchun $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$ ekanini tekshiring, bu $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ qoidasidir. Soʻng $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ nol vektor ekanini tasdiqlang, chunki ikkinchi vektor birinchisining ikki baravari. Nihoyat, $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$ ni hisoblang; $(1, -1, 1)$ chiqishi va ikkala skalyar koʻpaytma tekshiruvi nol berishi kerak.

Nega formula perpendikulyar vektor beradi

Koordinatalar formulasiga shunchaki ishonish oʻrniga uning nega ishlashini koʻrish foydali. Natijani $\mathbf{a}$ ning oʻziga skalyar koʻpaytiring: $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$ hosil boʻladi. Qavslarni oching va har bir had qarama-qarshi ishoralar bilan ikki marta paydo boʻladi, shuning uchun yigʻindi aynan nolga teng. $\mathbf{b}$ bilan skalyar koʻpaytirganda ham xuddi shunday qisqarish sodir boʻladi. Determinant tilida $\mathbf{a}$ bilan skalyar koʻpaytirish birlik vektorlar satrini $\mathbf{a}$ bilan almashtiradi va ikki satri teng determinant hosil boʻladi, bunday determinant esa doimo nolga teng. Qanday boʻlmasin, perpendikulyarlik muayyan misollarning tasodifi emas, balki formulaning oʻziga singdirilgan.

Koʻp beriladigan savollar