Asosiy mazmunga oʻtish
MathSolver Pro
  • Yechuvchini ochish
  • AI repetitordan so‘rash
  • AP kursini topish
  • Test yaratish
  • Kalkulyatorni ochish
  • Grafik kalkulyator
  • Barcha kalkulyatorlar
  • Matematika qo‘llanmalarini o‘qish
↑ ↓Ochish uchun Enter · Yopish uchun Esc
Masala yechish
Ketma-ketliklar va qatorlarAlgebraOliygoh≈ 2:45

1/(2n-1)(2n+1) ning n=1 dan ∞ gacha yigʻindisini hisoblang

Animatsion bosqichma-bosqich dars. Har bir qadamni subtitrlar bilan ko‘rish uchun Ijro tugmasini bosing yoki quyidagi qadamlar va matnni o‘qing. Javob: Qator yaqinlashuvchi (limit boʻyicha taqqoslash Σ 1/n^2); yigʻindi ≈ 0.5 (mos keladi 1/2 10+ xonagacha).

Yozib olingan video: ovoz va tasvirdagi yozuvlar ingliz tilida. Subtitrlar: Oʻzbekcha. Ushbu tildagi sharhlar uchun interaktiv versiyani oching.

Ingliz tilidagi video: MP4 faylini yuklab olish (1.0 MB) · Subtitrlar (WebVTT): Oʻzbekcha · Ingliz tilidagi subtitrlar (WebVTT)

Ekrandagi qadamlar

  1. 1. Masala
    Yechilgan misol
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
  2. 2. Qadamma-qadam
    1. ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)}
      Qatorni yozish
    2. lim⁡n→∞1(2n−1)(2n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} = 0
      Yaqinlashishning zaruriy sharti
    3. lim⁡n→∞an1/n2=14\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = \frac{1}{4}
      p-qator bilan limit koʻrinishidagi taqqoslash
    4. Yigʻindini sonli baholash
  3. 3. Javob
    ∑n=1∞1(2n−1)(2n+1) yaqinlashadi≈0.5\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right) \left(2n+1\right)} \ \text{yaqinlashadi} \approx 0.5

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.5 (matches 1/2 to 10+ digits)

  4. 4. Tekshirish
    • Xususiy yigʻindilar (isbot emas, qoʻshimcha dalil): S₁₀ = 0.47619048, S₁₀₀ = 0.49751244, S₁₀₀₀ = 0.49975012, S₁₀₀₀₀ = 0.499975

Matn

Masala. Mana masala: 1/(2n minus 1)(2n plyus 1) ning n teng 1 dan cheksizlik gacha yigʻindisini hisoblang. 1 dan ∞) gacha Σ 1 / (2 n minus 1) (2 n plyus 1) (n qator yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.

Qadamma-qadam. Qatorni yozish. Σ a(n), bunda n teng 1, 2, 3, … va a(n) teng 1 / (2 n minus 1) (2 n plyus 1). Dastlabki hadlar: 0.333333, 0.0666667, 0.0285714, 0.015873, …. Yaqinlashishning zaruriy sharti. lim a(n) teng 0, shuning uchun uzoqlashish alomati hech narsa demaydi; hadlar kamayadi, demak, nozikroq alomat kerak. p-qator bilan limit koʻrinishidagi taqqoslash. Musbat hadlar: hadlar taxminan 1/n kvadrat kabi kamayadi (a(2N)/a(N)) dan baholangan), shuning uchun Σ 1/n kvadrat bilan taqqoslaymiz: lim a(n) karra n kvadrat teng 1 bo‘lingan 4. Limit musbat chekli son, demak, qator Σ 1/n kvadrat p-qator kabi oʻzini tutadi, u esa yaqinlashadi, chunki p katta 1. Yigʻindini sonli baholash. Qismiy yigʻindilar S N bir nechta N uchun hisoblanib, N → ∞ ga ekstrapolyatsiya qilindi (Richardson ekstrapolyatsiyasi; ishorasi almashinuvchi hadlarda avval oʻrtacha olinadi). Ikki mustaqil ekstrapolyatsiya 10 minus 10-darajasi dan yaxshiroq mos kelib, S taxminan 0.5 ni beradi. Koʻrsatilgan yopiq shakl sonli moslashtirish, isbot emas.

Javob. Demak, javob: Qator yaqinlashuvchi (limit boʻyicha taqqoslash Σ 1/n kvadrat); yigʻindi taxminan 0.5 (mos keladi 1 bo‘lingan 2 10+ xonagacha). Qatorning xususiy yigʻindilari chekli songa intilsa, qator yaqinlashadi. Buning uchun hadlar 0 ga intilishi kerak, lekin buning oʻzi yetarli emas (garmonik qator uzoqlashadi), shuning uchun hal qilishda taqqoslash, Dalamber, Koshi radikal, Leybnits yoki integral alomati qoʻllanadi.

Tekshirish. Xususiy yigʻindilar (isbot emas, qoʻshimcha dalil): S₁₀ teng 0.47619048, S₁₀₀ teng 0.49751244, S₁₀₀₀ teng 0.49975012, S₁₀₀₀₀ teng 0.499975.

O‘xshash darslar

1/(2n-1)(2n+1) ning n=1 dan ∞ gacha yigʻindisini hisoblang — bosqichma-bosqich video dars