Asosiy mazmunga oʻtish
MathSolver Pro
  • Yechuvchini ochish
  • AI repetitordan so‘rash
  • AP kursini topish
  • Test yaratish
  • Kalkulyatorni ochish
  • Grafik kalkulyator
  • Barcha kalkulyatorlar
  • Matematika qo‘llanmalarini o‘qish
↑ ↓Ochish uchun Enter · Yopish uchun Esc
Masala yechish
Ketma-ketliklar va qatorlarAlgebraOliygoh≈ 3:06

(-1)ⁿ/n ning n=1 dan ∞ gacha yigʻindisini hisoblang

Animatsion bosqichma-bosqich dars. Har bir qadamni subtitrlar bilan ko‘rish uchun Ijro tugmasini bosing yoki quyidagi qadamlar va matnni o‘qing. Javob: Qator shartli yaqinlashuvchi (almashinuvchi qatorlar belgisi); yigʻindi ≈ -0.6931471806 (mos keladi −ln(2) 10+ xonagacha).

Yozib olingan video: ovoz va tasvirdagi yozuvlar ingliz tilida. Subtitrlar: Oʻzbekcha. Ushbu tildagi sharhlar uchun interaktiv versiyani oching.

Ingliz tilidagi video: MP4 faylini yuklab olish (1.1 MB) · Subtitrlar (WebVTT): Oʻzbekcha · Ingliz tilidagi subtitrlar (WebVTT)

Ekrandagi qadamlar

  1. 1. Masala
    Yechilgan misol
    ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
  2. 2. Qadamlar, 1-qism
    1. ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
      Qatorni yozish
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      Yaqinlashishning zaruriy sharti
    3. Leybnits alomati
    4. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      p-qator bilan limit koʻrinishidagi taqqoslash
  3. 3. Qadamlar, 2-qism
    1. Absolyut yoki shartli?
    2. Yigʻindini sonli baholash
  4. 4. Javob
    ∑n=1∞(−1)nn shartli yaqinlashadi≈−0.6931471806\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{shartli yaqinlashadi} \approx -0.6931471806

    alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)

  5. 5. Tekshirish
    • Xususiy yigʻindilar (isbot emas, qoʻshimcha dalil): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Matn

Masala. Mana masala: (minus 1) n-darajasi/n ning n teng 1 dan cheksizlik gacha yigʻindisini hisoblang. 1 dan ∞) gacha Σ (minus 1) n-darajasi / n (n qator yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.

Qadamlar, 1-qism. Qatorni yozish. Σ a(n), bunda n teng 1, 2, 3, … va a(n) teng (minus 1) n-darajasi / n. Dastlabki hadlar: minus 1, 0.5, minus 0.333333, 0.25, …. Yaqinlashishning zaruriy sharti. lim |a(n)| teng 0, shuning uchun uzoqlashish alomati hech narsa demaydi; hadlar kamayadi, demak, nozikroq alomat kerak. Leybnits alomati. Ishoralar navbatlashadi va b(n) teng 1 / n modullar kamayadi (10 6-darajasi) gacha boʻlgan 310 ta indeksda tekshirildi) hamda 0 ga intiladi, shuning uchun qator yaqinlashadi. p-qator bilan limit koʻrinishidagi taqqoslash. Modullar Σ 1 / n: hadlar taxminan 1/n kabi kamayadi (a(2N)/a(N)) dan baholangan), shuning uchun Σ 1/n bilan taqqoslaymiz: lim a(n) karra n teng 1. Limit musbat chekli son, demak, qator Σ 1/n p-qator kabi oʻzini tutadi, u esa uzoqlashadi, chunki p kichik yoki teng 1.

Qadamlar, 2-qism. Absolyut yoki shartli?. Σ |a(n)| uzoqlashadi (Σ 1/n) bilan limit koʻrinishidagi taqqoslash), shuning uchun qator faqat shartli yaqinlashadi. Yigʻindini sonli baholash. Qismiy yigʻindilar S N bir nechta N uchun hisoblanib, N → ∞ ga ekstrapolyatsiya qilindi (Richardson ekstrapolyatsiyasi; ishorasi almashinuvchi hadlarda avval oʻrtacha olinadi). Ikki mustaqil ekstrapolyatsiya 10 minus 10-darajasi dan yaxshiroq mos kelib, S taxminan minus 0.6931471806 ni beradi. Koʻrsatilgan yopiq shakl sonli moslashtirish, isbot emas.

Javob. Demak, javob: Qator shartli yaqinlashuvchi (almashinuvchi qatorlar belgisi); yigʻindi taxminan minus 0.6931471806 (mos keladi minus ln(2) 10+ xonagacha). Qatorning xususiy yigʻindilari chekli songa intilsa, qator yaqinlashadi. Buning uchun hadlar 0 ga intilishi kerak, lekin buning oʻzi yetarli emas (garmonik qator uzoqlashadi), shuning uchun hal qilishda taqqoslash, Dalamber, Koshi radikal, Leybnits yoki integral alomati qoʻllanadi.

Tekshirish. Xususiy yigʻindilar (isbot emas, qoʻshimcha dalil): S₁₀ teng minus 0.64563492, S₁₀₀ teng minus 0.68817218, S₁₀₀₀ teng minus 0.69264743, S₁₀₀₀₀ teng minus 0.69309718.

O‘xshash darslar

(-1)ⁿ/n ning n=1 dan ∞ gacha yigʻindisini hisoblang — bosqichma-bosqich video dars