المشتقاتالتفاضل والتكاملالجامعة≈ 1:34

مشتقة ((2x)³/(arctan(x²+x+1))

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: f'(x) = (24x² + 8(-(2x⁴) - x³) / ((x² + x + 1)² + 1) / atan(x² + x + 1)) / atan(x² + x + 1).

السرعةاللغة

الفصول

النص

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (0.7 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

1. المسألة
مثال محلول
$\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left(2x\right)}^{3}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}\right]$
2. الخطوات، الجزء 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left(2x\right)}^{3}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}\right] = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}$
  قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  قاعدة السلسلة — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  قاعدة المجموع: اشتق كل حد على حدة
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  قاعدة المجموع: اشتق كل حد على حدة
3. الخطوات، الجزء 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  قاعدة القوة: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}\right] = 24{x}^{2}$
  قاعدة القوة مع قاعدة السلسلة: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 2$
  قاعدة مضاعف الثابت
4. $f'(x) = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}$
  اجمع وبسّط
4. الإجابة
$f'(x) = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}$
f'(x) = (24x² + 8(-(2x⁴) - x³) / ((x² + x + 1)² + 1) / atan(x² + x + 1)) / atan(x² + x + 1)
5. التحقق
- تحققنا عدديًا بالمقارنة مع أداة اشتقاق رمزي مستقلة عند 8 من نقاط العينة ✓

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: مشتقة ((2x) تكعيب)/(arctan(x تربيع زائد x زائد 1)). أوجد مشتقة ((2x) تكعيب) / (atan(x تربيع زائد x زائد 1)) بالنسبة إلى x.

الخطوات، الجزء 1. قاعدة القسمة: (u/v) مشتقة يساوي (u مشتقة v ناقص uv مشتقة )/v تربيع. قاعدة السلسلة — المشتقة بالنسبة إلى x[arctan u] يساوي u مشتقة /(1 زائد u تربيع). قاعدة المجموع: اشتق كل حد على حدة. قاعدة المجموع: اشتق كل حد على حدة.

الخطوات، الجزء 2. قاعدة القوة: المشتقة بالنسبة إلى x[x أس n] يساوي n ضرب x أس n ناقص 1. قاعدة القوة مع قاعدة السلسلة: المشتقة بالنسبة إلى x[u أس n] يساوي n ضرب u أس n ناقص 1 ضرب u مشتقة. قاعدة مضاعف الثابت. اجمع وبسّط.

الإجابة. إذن الإجابة هي مشتقة f يساوي (24x تربيع زائد 8(-(2x أس 4) ناقص x تكعيب) / ((x تربيع زائد x زائد 1) تربيع زائد 1) / atan(x تربيع زائد x زائد 1)) / atan(x تربيع زائد x زائد 1). تُبنى المشتقة من الخارج إلى الداخل: يُفصل المجموع إلى حدوده، وتُخرج الثوابت عاملًا مشتركًا، ويُستخدم لحاصل الضرب وخارج القسمة قاعدتاهما، وتُضرب كل دالة مركبة في مشتقة دالتها الداخلية (قاعدة السلسلة).

التحقق. تحققنا عدديًا بالمقارنة مع أداة اشتقاق رمزي مستقلة عند 8 من نقاط العينة، وهذا صحيح.

الخطوات على الشاشة

النص الكامل

دروس مشابهة