الجبر
كيف تحلّ المعادلات الخطية خطوة بخطوة
تُحَلّ المعادلة الخطية بالتراجع عمّا أُجري على المجهول، بترتيب معكوس، مع إبقاء الطرفين متساويين. ويحوّل هذا الدليل الفكرة إلى روتين من خمس خطوات ويعالج كل تنويع شائع.
أدلة تشرح الطريقة وراء المسائل الشائعة، مع أمثلة محلولة يمكنك التحقق منها في الحاسبات.
الجبر
تُحَلّ المعادلة الخطية بالتراجع عمّا أُجري على المجهول، بترتيب معكوس، مع إبقاء الطرفين متساويين. ويحوّل هذا الدليل الفكرة إلى روتين من خمس خطوات ويعالج كل تنويع شائع.
الجبر
التحليل هو الأسرع حين ينجح، وإكمال المربع يشرح من أين يأتي القانون، والقانون العام ينجح دائمًا. وإليك كيف تختار، مع التحقّق من كل مثال.
الجبر
التحليل هو الضرب معكوسًا. اتّبع قائمة تحقّق ثابتة، بادئًا بالعامل المشترك الأكبر، وستجد أن كل كثيرة حدود تقريبًا تصادفها في الجبر يمكن تفكيكها إلى عوامل بسيطة.
الجبر
يطلب نظام المعادلات قيمًا تحقّق كل المعادلات في آن واحد. والتعويض والحذف كلاهما يصلحان لأي نظام خطي؛ والمهارة في اختيار الطريقة التي تحتاج إلى حساب أقل.
الجبر
التبسيط يعني إعادة كتابة العبارة في صورة مكافئة أقصر دون تغيير قيمتها لأي مدخل مسموح. وحفنة من القواعد، تُطبَّق بترتيب معقول، تغطي كل الحالات تقريبًا.
الجبر
تُحَلّ المتباينات تقريبًا كما تُحَلّ المعادلات تمامًا، مع قاعدة إضافية واحدة ونوع مختلف من الإجابة: مدى من القيم بدلًا من عدد واحد. ويغطي هذا الدليل كل الأنواع الشائعة.
الجبر
يعيد إكمال المربع كتابة $x^2 + bx$ على صورة مربع كامل مطروحًا منه ثابت. وهو يحلّ أي معادلة تربيعية، ويعطي رأس القطع المكافئ، وينتج القانون العام، ويعود للظهور في الدوائر وفي التفاضل والتكامل.
ما قبل التفاضل والتكامل
يجيب اللوغاريتم عن سؤال واحد: إلى أي قوة أرفع الأساس لأحصل على هذا العدد؟ وكل قاعدة وأسلوب في هذا الدليل ينبثق من هذه الفكرة الوحيدة.
ما قبل التفاضل والتكامل
المجال هو كل مدخل تقبله الدالة؛ والمدى هو كل مخرج يمكنها إنتاجه. وإيجاد المجال يعني البحث عن المدخلات الممنوعة، وإيجاد المدى يعني السؤال عن المخرجات التي يمكن بلوغها فعلًا.
ما قبل التفاضل والتكامل
تركيب الدوال يعني إدخال مخرج دالة في دالة أخرى. وبه تُبنى الصيغ المعقّدة من قطع بسيطة، والتعرّف على هذه القطع أساسي للدوال العكسية ولقاعدة السلسلة في التفاضل والتكامل.
ما قبل التفاضل والتكامل
الدالة العكسية تُبطل ما تفعله الدالة الأصلية. فإذا أرسلت $f$ العدد 2 إلى 7، فإن دالتها العكسية تعيد 7 إلى 2. ويشرح هذا الدليل متى توجد الدالة العكسية، وكيف تجد صيغتها، وكيف تتحقّق منها.
ما قبل التفاضل والتكامل
كثيرات الحدود أبسط الدوال بعد المستقيمات والقطوع المكافئة، ورسومها تتبع قواعد قليلة يمكن الاعتماد عليها. فإذا عرفت الدرجة والمعامل الرئيسي والأصفار، أمكنك رسم أي كثيرة حدود تقريبًا باليد.
حساب المثلثات
تحوّل دائرة الوحدة علم المثلثات من قائمة حقائق تُحفظ إلى صورة يمكنك قراءتها. فكل زاوية تقابل نقطة على الدائرة، وإحداثيا تلك النقطة هما جيب تمام الزاوية وجيبها.
حساب المثلثات
المتطابقة المثلثية معادلة صحيحة لكل زاوية يكون عندها الطرفان معرَّفين. وقائمة قصيرة من المتطابقات، مبنيّة كلها على دائرة الوحدة، تتيح لك تبسيط العبارات وإيجاد القيم الدقيقة وبرهنة النتائج وحل المعادلات.
حساب المثلثات
ينصّ قانون الجيوب على أن قسمة كل ضلع في أي مثلث على جيب الزاوية المقابلة له تعطي العدد نفسه. وهو يحلّ المثلثات حين تعرف زاويتين وضلعًا، وكذلك، مع شيء من الحذر، حين تعرف ضلعين وزاوية مقابلة لأحدهما.
حساب المثلثات
يوسّع قانون جيوب التمام مبرهنة فيثاغورس لتشمل كل مثلث. فهو يوجد الضلع الثالث حين تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، ويوجد أي زاوية حين تعرف الأضلاع الثلاثة.
حساب المثلثات
حلّ المثلث يعني إيجاد أضلاعه الثلاثة وزواياه الثلاث من الأجزاء المعطاة. والأداة المناسبة تتوقّف على الأجزاء الثلاثة التي تعرفها، لذا فالخطوة الأولى دائمًا هي تحديد الحالة.
التفاضل والتكامل
تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب مُدخلها من عدد ما، سواء بلغت الدالة تلك القيمة فعلًا أم لا. والنهايات أساس المشتقات والتكاملات والمتسلسلات اللانهائية، لذا فإن حسابها بثقة هو أول مهارة حقيقية في التفاضل والتكامل.
التفاضل والتكامل
تقيس مشتقة الدالة سرعة تغيّر مخرجها عندما يتغيّر مُدخلها، في لحظة واحدة. وهي بيانيًا ميل المماس، وجبريًا نهاية متوسطات معدل التغيّر على فترات تصغر شيئًا فشيئًا.
التفاضل والتكامل
حساب المشتقات من تعريف النهاية بطيء. أما مجموعة صغيرة من القواعد، تُثبت كل واحدة منها مرة واحدة انطلاقًا من ذلك التعريف، فتتيح لك اشتقاق أي صيغة تقريبًا في بضعة أسطر. يشرح هذا الدليل كل قاعدة، ولماذا تنجح، وكيف تجمع بين القواعد.
التفاضل والتكامل
يجمع التكامل عددًا لانهائيًا من القطع الصغيرة جدًا ليجد مجموعًا كليًا: مساحة، أو مسافة، أو حجمًا، أو أي كمية متراكمة. وتربط المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل عملية الجمع هذه بالدوال الأصلية، وهذا ما يجعل حساب التكاملات عمليًا.
التفاضل والتكامل
التكامل غير المحدد عائلة من الدوال، هي الدوال الأصلية، ويُكتب مع ثابت $+ C$. أما التكامل المحدد فله حدّا تكامل ويُنتج عددًا واحدًا، هو مساحة ذات إشارة أو مجموع متراكم. وتتيح لك المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل حساب الثاني انطلاقًا من الأول.
التفاضل والتكامل
يجد الاشتقاق الضمني dy/dx لمنحنيات معرّفة بمعادلة في x وy، دون أن تحلّها أولًا لإيجاد y. فتشتقّ الطرفين بالنسبة إلى x، وتعامل y على أنها دالة في x فتنطبق قاعدة السلسلة، ثم تحلّ لإيجاد dy/dx.
التفاضل والتكامل
تعيد متسلسلة تايلور كتابة الدالة على صورة كثيرة حدود لانهائية مبنية من مشتقاتها عند نقطة واحدة. وقطع المتسلسلة بعد بضعة حدود يعطي كثيرة حدود تايلور، وهي تقريب سهل الحساب يمكن وضع حدّ لخطئه.
التفاضل والتكامل
تتقارب المتسلسلة اللانهائية عندما تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. وبدلًا من حساب ذلك العدد، تحسم اختبارات التقارب ما إذا كان موجودًا، وكل اختبار يناسب شكلًا معيّنًا من الحدود. والمهارة الحقيقية هي معرفة أي اختبار يلائم أي متسلسلة.
الجبر الخطي
المصفوفة شبكة مستطيلة من الأعداد مرتّبة في صفوف وأعمدة. وتخزّن المصفوفات البيانات بإيجاز، والأهم أنها تمثّل التحويلات الخطية وأنظمة المعادلات. يتناول هذا الدليل الرموز والعمليات الأساسية، مع عناية خاصة بضرب المصفوفات.
الجبر الخطي
المحدِّد عدد واحد يُحسب من مصفوفة مربعة. وهو يخبرك ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، وبأي معامل تكبّر المساحات والأحجام، وما إذا كانت تقلب الاتجاه. يعرض هذا الدليل كل الطرق القياسية لحسابه، مع أمثلة محلولة.
الجبر الخطي
معكوس المصفوفة المربعة يلغي ما تفعله المصفوفة، كما تلغي القسمة الضرب. وللمصفوفة معكوس إذا وفقط إذا كان محدِّدها غير صفري. يتناول هذا الدليل صيغة 2 في 2 السريعة، وطريقة غاوس-جوردان العامة، وكيف تحلّ المعكوسات أنظمة المعادلات.
الجبر الخطي
المتّجه الذاتي للمصفوفة اتجاه لا تفعل به المصفوفة إلا أن تمطّه أو تقلبه، دون أن تديره أبدًا، والقيمة الذاتية هي معامل المطّ. وهما يكشفان السلوك الجوهري للمصفوفة، وعليهما يقوم التحويل إلى صورة قطرية، وتحليل الاستقرار، وسلاسل ماركوف، وضغط البيانات.
الجبر الخطي
يجمع الضرب النقطي متّجهين في عدد واحد يقيس مدى اشتراكهما في الاتجاه. وهو أداة إيجاد الزوايا بين المتّجهات، والتحقق من التعامد، وإسقاط متّجه على آخر، وحساب الشغل في الفيزياء.
الجبر الخطي
يضرب الضرب الاتجاهي متّجهين في ثلاثة أبعاد ويعيد متّجهًا جديدًا عموديًا على كليهما. وطوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده المتّجهان، مما يجعله الأداة القياسية للمتّجهات العمودية والمساحات وعزم الدوران والأحجام.
الإحصاء
يصف الوسط الحسابي والوسيط والمنوال مركز مجموعة البيانات، بينما يصف المدى والانحراف المعياري مدى تشتّتها. ومعرفة طريقة حساب كل منها، ومتى يعطي كلٌّ منها ملخّصًا صادقًا، هي أساس علم الإحصاء.
الإحصاء
يقيس الانحراف المعياري مقدار ابتعاد قيم البيانات عادةً عن وسطها الحسابي. يشرح هذا الدليل الحساب خطوة بخطوة، ويوضّح متى نقسم على n ومتى على n ناقص 1، ويبيّن كيف تقرأ الإجابة بعد الحصول عليها.
الإحصاء
يقيس الاحتمال مدى ترجيح وقوع حدث على مقياس من 0 إلى 1. وحفنة من القواعد، للمتمّمات والاتحادات والأحداث المستقلة وغير المستقلة والاحتمال الشرطي، تحلّ معظم المسائل، ومعرفة الأفخاخ الكلاسيكية تمنع معظم الأخطاء.
الإحصاء
تخبرك الدرجة المعيارية (z) بعدد الانحرافات المعيارية التي تقع بها قيمة ما فوق الوسط الحسابي أو تحته. وهي تتيح مقارنة قيم مقيسة بمقاييس مختلفة، وتحويل أي قيمة إلى مئين أو احتمال حين تكون البيانات موزّعة توزيعًا طبيعيًا.
الإحصاء
تعدّ التباديل الترتيبات التي يكون فيها الترتيب مهمًا، وتعدّ التوافيق الاختيارات التي لا يهمّ فيها الترتيب. وكلاهما ينبثق من مبدأ العدّ الأساسي والمضروب، وهما يقودان حسابات الاحتمالات من ألعاب الورق إلى اليانصيب.
أدلة الدراسة
تُتعلَّم الرياضيات بالممارسة لا بالقراءة. فالجلسات القصيرة المنتظمة من حلّ المسائل النشط، الموزّعة على الزمن والمتنوّعة بين الموضوعات، مع فهم سبب نجاح كل طريقة، تبني مهارات تدوم في الامتحانات وما بعدها.
أدلة الدراسة
نادرًا ما تكون أخطاء الإهمال عشوائية. فمعظمها يندرج في عدد قليل من الفئات المتوقَّعة، مثل إسقاط إشارة السالب وأخطاء التوزيع وسوء قراءة السؤال، ولكل فئة عادة محدّدة تمنعها.
أدلة الدراسة
يمكن التحقّق من كل إجابة رياضية تقريبًا دون مفتاح الإجابات. فالتعويض، والعمل بالعكس، والتقدير، واختبار القيم الخاصة، وفحص الوحدات تكشف الغالبية العظمى من الأخطاء في جزء يسير من الوقت الذي استغرقه الحل الأصلي.
أدلة الدراسة
يبدأ التحضير الفعّال للامتحان قبل أسابيع. حدّد ما سيُختبر، وشخّص الموضوعات الضعيفة، وتدرّب على امتحانات سابقة بوقت محدّد، وخطّط لتوزيع وقتك، واجعل الأيام الأخيرة للمراجعة لا لتعلّم الجديد.
أدلة الدراسة
ليس كل تدرّب سواءً. فالتدرّب الفعّال على الرياضيات يستهدف نقاط ضعف محدّدة، ويخلط أنواع المسائل، ويباعد بين الجلسات، وينوّع طريقة عرض المسائل، ويحصل على تغذية راجعة سريعة، بحيث تُنتج كل ساعة مهارة دائمة لا مجرّد ألفة قصيرة الأمد.
أدلة الدراسة
يضم قسم الرياضيات في SAT الرقمي 44 سؤالًا في وحدتين تكيّفيتين مدة كل منهما 35 دقيقة، مع السماح بالآلة الحاسبة طوال القسم. وهو يختبر الجبر، والرياضيات المتقدّمة، وحلّ المسائل وتحليل البيانات، والهندسة وحساب المثلثات، ويكافئ الطلاقة في الجبر والاستخدام الذكي للآلة الحاسبة والإيقاع الثابت.
أدلة الدراسة
يضمّ قسم الرياضيات في نسخة ACT المحسَّنة 45 سؤالًا في 50 دقيقة، لكل منها أربعة خيارات للإجابة، ويُسمح باستخدام آلة حاسبة معتمدة طوال القسم. ويغطّي الموضوعات من مبادئ الجبر حتى علم المثلثات، لذا فالطلاقة الواسعة والإيقاع الثابت أهم من أي موضوع متقدّم بمفرده.
أدلة الدراسة
تجمع امتحانات AP للتفاضل والتكامل بين قسم اختيار من متعدد وقسم إجابة حرة، لكل منهما نصف الدرجة، مع أجزاء بالآلة الحاسبة وأخرى دونها. ويعتمد النجاح على الطلاقة في الاشتقاق والتكامل، والتبريرات الواضحة، والتدرّب على أسئلة الإجابة الحرة المنشورة.
تشرح كل مقالة في هذه المدوّنة فكرة واحدة من بدايتها إلى نهايتها. فهي تبدأ بالتعريف أو القاعدة، وتعرض الصيغة الأساسية، ثم تحل عدة أمثلة كاملةً سطرًا سطرًا، لترى لماذا تجوز كل خطوة لا ما الإجابة فحسب. ويختم كل دليل بإجابات عن الأسئلة التي يطرحها الطلاب أكثر من غيرها حول موضوعه.
المقالات موزّعة على سبع فئات تتبع الترتيب المعتاد لمناهج المدرسة والسنوات الجامعية الأولى: الجبر، وما قبل التفاضل والتكامل، وحساب المثلثات، والتفاضل والتكامل، والجبر الخطي، والإحصاء، وأدلة الدراسة. وإذا كنت تراجع لمقرر ما، فابدأ بالفئة التي توافق وحدتك الحالية واقرأ أدلتها بالترتيب؛ فالمقالات اللاحقة تفترض أفكار المقالات السابقة وتحيل إليها.
يمكن التحقق من كل مثال محلول في الحاسبة المناسبة له. جرّب كل مسألة على الورق أولًا، ثم قارن خطواتك بالحلّال. وتُراجَع الأمثلة المحلولة في هذه الأدلة باختبارات رياضية آلية قبل النشر، وتعرض كل مقالة تاريخ آخر تحديث لها.