انتقل إلى المحتوى
  • افتح حلّال الرياضيات
  • اسأل المعلم الذكي
  • ابحث عن مقرر AP
  • أنشئ اختبارًا قصيرًا
  • افتح الآلة الحاسبة
  • الآلة الحاسبة البيانية
  • تصفح كل الحاسبات
  • اقرأ أدلة الرياضيات
↑ ↓Enter للفتح · Esc للإغلاق

أدلة الرياضيات والدروس ونصائح الدراسة

أدلة تشرح الطريقة وراء المسائل الشائعة، مع أمثلة محلولة يمكنك التحقق منها في الحاسبات.

الجبر

كيف تحلّ المعادلات الخطية خطوة بخطوة

تُحَلّ المعادلة الخطية بالتراجع عمّا أُجري على المجهول، بترتيب معكوس، مع إبقاء الطرفين متساويين. ويحوّل هذا الدليل الفكرة إلى روتين من خمس خطوات ويعالج كل تنويع شائع.

الجبر

كيف تبسّط العبارات الجبرية خطوة بخطوة

التبسيط يعني إعادة كتابة العبارة في صورة مكافئة أقصر دون تغيير قيمتها لأي مدخل مسموح. وحفنة من القواعد، تُطبَّق بترتيب معقول، تغطي كل الحالات تقريبًا.

الجبر

إكمال المربع: دليل خطوة بخطوة

يعيد إكمال المربع كتابة $x^2 + bx$ على صورة مربع كامل مطروحًا منه ثابت. وهو يحلّ أي معادلة تربيعية، ويعطي رأس القطع المكافئ، وينتج القانون العام، ويعود للظهور في الدوائر وفي التفاضل والتكامل.

ما قبل التفاضل والتكامل

كيف تجد مجال الدالة ومداها

المجال هو كل مدخل تقبله الدالة؛ والمدى هو كل مخرج يمكنها إنتاجه. وإيجاد المجال يعني البحث عن المدخلات الممنوعة، وإيجاد المدى يعني السؤال عن المخرجات التي يمكن بلوغها فعلًا.

ما قبل التفاضل والتكامل

تركيب الدوال: كيف تجد f(g(x)) وتستخدمها

تركيب الدوال يعني إدخال مخرج دالة في دالة أخرى. وبه تُبنى الصيغ المعقّدة من قطع بسيطة، والتعرّف على هذه القطع أساسي للدوال العكسية ولقاعدة السلسلة في التفاضل والتكامل.

ما قبل التفاضل والتكامل

دوال كثيرات الحدود: الدرجة وسلوك الطرفين والأصفار والرسوم

كثيرات الحدود أبسط الدوال بعد المستقيمات والقطوع المكافئة، ورسومها تتبع قواعد قليلة يمكن الاعتماد عليها. فإذا عرفت الدرجة والمعامل الرئيسي والأصفار، أمكنك رسم أي كثيرة حدود تقريبًا باليد.

حساب المثلثات

المتطابقات المثلثية: القائمة الأساسية وكيفية استخدامها

المتطابقة المثلثية معادلة صحيحة لكل زاوية يكون عندها الطرفان معرَّفين. وقائمة قصيرة من المتطابقات، مبنيّة كلها على دائرة الوحدة، تتيح لك تبسيط العبارات وإيجاد القيم الدقيقة وبرهنة النتائج وحل المعادلات.

حساب المثلثات

قانون الجيوب، بما في ذلك الحالة الملتبسة

ينصّ قانون الجيوب على أن قسمة كل ضلع في أي مثلث على جيب الزاوية المقابلة له تعطي العدد نفسه. وهو يحلّ المثلثات حين تعرف زاويتين وضلعًا، وكذلك، مع شيء من الحذر، حين تعرف ضلعين وزاوية مقابلة لأحدهما.

حساب المثلثات

شرح قانون جيوب التمام بالأمثلة

يوسّع قانون جيوب التمام مبرهنة فيثاغورس لتشمل كل مثلث. فهو يوجد الضلع الثالث حين تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، ويوجد أي زاوية حين تعرف الأضلاع الثلاثة.

حساب المثلثات

كيف تحلّ أي مثلث، حالةً بحالة

حلّ المثلث يعني إيجاد أضلاعه الثلاثة وزواياه الثلاث من الأجزاء المعطاة. والأداة المناسبة تتوقّف على الأجزاء الثلاثة التي تعرفها، لذا فالخطوة الأولى دائمًا هي تحديد الحالة.

التفاضل والتكامل

النهايات في التفاضل والتكامل: دليل عملي

تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب مُدخلها من عدد ما، سواء بلغت الدالة تلك القيمة فعلًا أم لا. والنهايات أساس المشتقات والتكاملات والمتسلسلات اللانهائية، لذا فإن حسابها بثقة هو أول مهارة حقيقية في التفاضل والتكامل.

التفاضل والتكامل

ما المشتقة؟ مقدمة واضحة

تقيس مشتقة الدالة سرعة تغيّر مخرجها عندما يتغيّر مُدخلها، في لحظة واحدة. وهي بيانيًا ميل المماس، وجبريًا نهاية متوسطات معدل التغيّر على فترات تصغر شيئًا فشيئًا.

التفاضل والتكامل

شرح قواعد الاشتقاق مع أمثلة محلولة

حساب المشتقات من تعريف النهاية بطيء. أما مجموعة صغيرة من القواعد، تُثبت كل واحدة منها مرة واحدة انطلاقًا من ذلك التعريف، فتتيح لك اشتقاق أي صيغة تقريبًا في بضعة أسطر. يشرح هذا الدليل كل قاعدة، ولماذا تنجح، وكيف تجمع بين القواعد.

التفاضل والتكامل

ما التكامل؟ شرح ميسّر للمبتدئين

يجمع التكامل عددًا لانهائيًا من القطع الصغيرة جدًا ليجد مجموعًا كليًا: مساحة، أو مسافة، أو حجمًا، أو أي كمية متراكمة. وتربط المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل عملية الجمع هذه بالدوال الأصلية، وهذا ما يجعل حساب التكاملات عمليًا.

التفاضل والتكامل

التكامل المحدد والتكامل غير المحدد

التكامل غير المحدد عائلة من الدوال، هي الدوال الأصلية، ويُكتب مع ثابت $+ C$. أما التكامل المحدد فله حدّا تكامل ويُنتج عددًا واحدًا، هو مساحة ذات إشارة أو مجموع متراكم. وتتيح لك المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل حساب الثاني انطلاقًا من الأول.

التفاضل والتكامل

الاشتقاق الضمني خطوة بخطوة

يجد الاشتقاق الضمني dy/dx لمنحنيات معرّفة بمعادلة في x وy، دون أن تحلّها أولًا لإيجاد y. فتشتقّ الطرفين بالنسبة إلى x، وتعامل y على أنها دالة في x فتنطبق قاعدة السلسلة، ثم تحلّ لإيجاد dy/dx.

التفاضل والتكامل

متسلسلات تايلور: تقريب الدوال بكثيرات الحدود

تعيد متسلسلة تايلور كتابة الدالة على صورة كثيرة حدود لانهائية مبنية من مشتقاتها عند نقطة واحدة. وقطع المتسلسلة بعد بضعة حدود يعطي كثيرة حدود تايلور، وهي تقريب سهل الحساب يمكن وضع حدّ لخطئه.

التفاضل والتكامل

اختبارات تقارب المتسلسلات، مع استراتيجية للاختيار بينها

تتقارب المتسلسلة اللانهائية عندما تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. وبدلًا من حساب ذلك العدد، تحسم اختبارات التقارب ما إذا كان موجودًا، وكل اختبار يناسب شكلًا معيّنًا من الحدود. والمهارة الحقيقية هي معرفة أي اختبار يلائم أي متسلسلة.

الجبر الخطي

أساسيات المصفوفات: دليل المبتدئين إلى المصفوفات

المصفوفة شبكة مستطيلة من الأعداد مرتّبة في صفوف وأعمدة. وتخزّن المصفوفات البيانات بإيجاز، والأهم أنها تمثّل التحويلات الخطية وأنظمة المعادلات. يتناول هذا الدليل الرموز والعمليات الأساسية، مع عناية خاصة بضرب المصفوفات.

الجبر الخطي

كيف تحسب محدِّد المصفوفة

المحدِّد عدد واحد يُحسب من مصفوفة مربعة. وهو يخبرك ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، وبأي معامل تكبّر المساحات والأحجام، وما إذا كانت تقلب الاتجاه. يعرض هذا الدليل كل الطرق القياسية لحسابه، مع أمثلة محلولة.

الجبر الخطي

كيف تجد معكوس المصفوفة

معكوس المصفوفة المربعة يلغي ما تفعله المصفوفة، كما تلغي القسمة الضرب. وللمصفوفة معكوس إذا وفقط إذا كان محدِّدها غير صفري. يتناول هذا الدليل صيغة 2 في 2 السريعة، وطريقة غاوس-جوردان العامة، وكيف تحلّ المعكوسات أنظمة المعادلات.

الجبر الخطي

شرح القيم الذاتية والمتّجهات الذاتية بالأمثلة

المتّجه الذاتي للمصفوفة اتجاه لا تفعل به المصفوفة إلا أن تمطّه أو تقلبه، دون أن تديره أبدًا، والقيمة الذاتية هي معامل المطّ. وهما يكشفان السلوك الجوهري للمصفوفة، وعليهما يقوم التحويل إلى صورة قطرية، وتحليل الاستقرار، وسلاسل ماركوف، وضغط البيانات.

الجبر الخطي

شرح الضرب النقطي

يجمع الضرب النقطي متّجهين في عدد واحد يقيس مدى اشتراكهما في الاتجاه. وهو أداة إيجاد الزوايا بين المتّجهات، والتحقق من التعامد، وإسقاط متّجه على آخر، وحساب الشغل في الفيزياء.

الجبر الخطي

شرح الضرب الاتجاهي لمتّجهين

يضرب الضرب الاتجاهي متّجهين في ثلاثة أبعاد ويعيد متّجهًا جديدًا عموديًا على كليهما. وطوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده المتّجهان، مما يجعله الأداة القياسية للمتّجهات العمودية والمساحات وعزم الدوران والأحجام.

الإحصاء

كيف تحسب الانحراف المعياري (للعيّنة وللمجتمع)

يقيس الانحراف المعياري مقدار ابتعاد قيم البيانات عادةً عن وسطها الحسابي. يشرح هذا الدليل الحساب خطوة بخطوة، ويوضّح متى نقسم على n ومتى على n ناقص 1، ويبيّن كيف تقرأ الإجابة بعد الحصول عليها.

الإحصاء

أساسيات الاحتمالات: مقدّمة عملية

يقيس الاحتمال مدى ترجيح وقوع حدث على مقياس من 0 إلى 1. وحفنة من القواعد، للمتمّمات والاتحادات والأحداث المستقلة وغير المستقلة والاحتمال الشرطي، تحلّ معظم المسائل، ومعرفة الأفخاخ الكلاسيكية تمنع معظم الأخطاء.

الإحصاء

شرح الدرجات المعيارية (z) مع أمثلة محلولة

تخبرك الدرجة المعيارية (z) بعدد الانحرافات المعيارية التي تقع بها قيمة ما فوق الوسط الحسابي أو تحته. وهي تتيح مقارنة قيم مقيسة بمقاييس مختلفة، وتحويل أي قيمة إلى مئين أو احتمال حين تكون البيانات موزّعة توزيعًا طبيعيًا.

الإحصاء

شرح التباديل والتوافيق

تعدّ التباديل الترتيبات التي يكون فيها الترتيب مهمًا، وتعدّ التوافيق الاختيارات التي لا يهمّ فيها الترتيب. وكلاهما ينبثق من مبدأ العدّ الأساسي والمضروب، وهما يقودان حسابات الاحتمالات من ألعاب الورق إلى اليانصيب.

أدلة الدراسة

كيف تذاكر الرياضيات بفعالية

تُتعلَّم الرياضيات بالممارسة لا بالقراءة. فالجلسات القصيرة المنتظمة من حلّ المسائل النشط، الموزّعة على الزمن والمتنوّعة بين الموضوعات، مع فهم سبب نجاح كل طريقة، تبني مهارات تدوم في الامتحانات وما بعدها.

أدلة الدراسة

كيف تتجنّب أخطاء الإهمال في الرياضيات

نادرًا ما تكون أخطاء الإهمال عشوائية. فمعظمها يندرج في عدد قليل من الفئات المتوقَّعة، مثل إسقاط إشارة السالب وأخطاء التوزيع وسوء قراءة السؤال، ولكل فئة عادة محدّدة تمنعها.

أدلة الدراسة

كيف تتحقّق من واجبك وإجاباتك في الرياضيات

يمكن التحقّق من كل إجابة رياضية تقريبًا دون مفتاح الإجابات. فالتعويض، والعمل بالعكس، والتقدير، واختبار القيم الخاصة، وفحص الوحدات تكشف الغالبية العظمى من الأخطاء في جزء يسير من الوقت الذي استغرقه الحل الأصلي.

أدلة الدراسة

كيف تستعدّ لامتحان الرياضيات

يبدأ التحضير الفعّال للامتحان قبل أسابيع. حدّد ما سيُختبر، وشخّص الموضوعات الضعيفة، وتدرّب على امتحانات سابقة بوقت محدّد، وخطّط لتوزيع وقتك، واجعل الأيام الأخيرة للمراجعة لا لتعلّم الجديد.

أدلة الدراسة

استراتيجيات تدرّب على الرياضيات تنجح فعلًا

ليس كل تدرّب سواءً. فالتدرّب الفعّال على الرياضيات يستهدف نقاط ضعف محدّدة، ويخلط أنواع المسائل، ويباعد بين الجلسات، وينوّع طريقة عرض المسائل، ويحصل على تغذية راجعة سريعة، بحيث تُنتج كل ساعة مهارة دائمة لا مجرّد ألفة قصيرة الأمد.

أدلة الدراسة

رياضيات SAT الرقمي: الصيغة والموضوعات والاستراتيجية

يضم قسم الرياضيات في SAT الرقمي 44 سؤالًا في وحدتين تكيّفيتين مدة كل منهما 35 دقيقة، مع السماح بالآلة الحاسبة طوال القسم. وهو يختبر الجبر، والرياضيات المتقدّمة، وحلّ المسائل وتحليل البيانات، والهندسة وحساب المثلثات، ويكافئ الطلاقة في الجبر والاستخدام الذكي للآلة الحاسبة والإيقاع الثابت.

أدلة الدراسة

رياضيات ACT: الشكل والموضوعات والاستراتيجية

يضمّ قسم الرياضيات في نسخة ACT المحسَّنة 45 سؤالًا في 50 دقيقة، لكل منها أربعة خيارات للإجابة، ويُسمح باستخدام آلة حاسبة معتمدة طوال القسم. ويغطّي الموضوعات من مبادئ الجبر حتى علم المثلثات، لذا فالطلاقة الواسعة والإيقاع الثابت أهم من أي موضوع متقدّم بمفرده.

أدلة الدراسة

دليل امتحاني AP للتفاضل والتكامل AB وBC

تجمع امتحانات AP للتفاضل والتكامل بين قسم اختيار من متعدد وقسم إجابة حرة، لكل منهما نصف الدرجة، مع أجزاء بالآلة الحاسبة وأخرى دونها. ويعتمد النجاح على الطلاقة في الاشتقاق والتكامل، والتبريرات الواضحة، والتدرّب على أسئلة الإجابة الحرة المنشورة.

كيف تستخدم هذه الأدلة

تشرح كل مقالة في هذه المدوّنة فكرة واحدة من بدايتها إلى نهايتها. فهي تبدأ بالتعريف أو القاعدة، وتعرض الصيغة الأساسية، ثم تحل عدة أمثلة كاملةً سطرًا سطرًا، لترى لماذا تجوز كل خطوة لا ما الإجابة فحسب. ويختم كل دليل بإجابات عن الأسئلة التي يطرحها الطلاب أكثر من غيرها حول موضوعه.

المقالات موزّعة على سبع فئات تتبع الترتيب المعتاد لمناهج المدرسة والسنوات الجامعية الأولى: الجبر، وما قبل التفاضل والتكامل، وحساب المثلثات، والتفاضل والتكامل، والجبر الخطي، والإحصاء، وأدلة الدراسة. وإذا كنت تراجع لمقرر ما، فابدأ بالفئة التي توافق وحدتك الحالية واقرأ أدلتها بالترتيب؛ فالمقالات اللاحقة تفترض أفكار المقالات السابقة وتحيل إليها.

يمكن التحقق من كل مثال محلول في الحاسبة المناسبة له. جرّب كل مسألة على الورق أولًا، ثم قارن خطواتك بالحلّال. وتُراجَع الأمثلة المحلولة في هذه الأدلة باختبارات رياضية آلية قبل النشر، وتعرض كل مقالة تاريخ آخر تحديث لها.