كيف تجد مجال الدالة ومداها

التعريفات والترميز

تأخذ الدالة كل مدخل من مجموعة تُسمّى المجال وتربطه بمخرج واحد بالضبط. ومجموعة كل المخرجات التي تظهر فعلًا هي المدى. ففي $f(x) = x^2$، يمكن تربيع كل عدد حقيقي، فالمجال جميع الأعداد الحقيقية، لكن المربعات لا تكون سالبة أبدًا، فالمدى $[0, \infty)$.

يُكتب المجال والمدى عادةً بترميز الفترات. فالقوس المربع يتضمّن طرف الفترة والقوس الدائري يستثنيه؛ واللانهاية تأخذ دائمًا قوسًا دائريًا. وتُربط الأجزاء المنفصلة برمز الاتحاد $\cup$، فجميع الأعداد الحقيقية عدا 3 تُكتب $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$. وترميز الصفة المميّزة للمجموعة، مثل $\{x \mid x \neq 3\}$، يقول الشيء نفسه بالكلمات.

إذا أُعطيت الدالة بصيغة ولم يُذكر شيء آخر، فمجالها هو المجال الضمني أو الطبيعي: أكبر مجموعة من الأعداد الحقيقية تكون للصيغة عندها معنى. ويمكن للمسألة أيضًا أن تقيّد المجال عمدًا، كما في مسألة كلامية لا يمكن فيها أن يكون الطول سالبًا.

من المفيد أن تتخيّل الدالة آلة. فالمجال قائمة المدخلات التي تقبلها الآلة دون أن تتعطّل، والمدى قائمة كل ما يمكن أن يخرج منها. ودالتان لهما الصيغة نفسها ومجالان مختلفان هما، بالمعنى الدقيق، دالتان مختلفتان، ولهذا فالمجال جزء من التعريف لا فكرة لاحقة.

إيجاد المجال: القيود الثلاثة

في الدوال التي تصادفها في الجبر وما قبل التفاضل والتكامل، لا يمكن أن يحدث خلل مع مدخل حقيقي إلا في ثلاثة أمور. افحص كلًّا منها واستثنِ القيم التي تسبّبه.

1. القسمة على صفر: لا يمكن أن يساوي المقام صفرًا.
2. الجذور الزوجية للأعداد السالبة: يجب أن تكون العبارة تحت الجذر التربيعي والجذر الرابع وما شابههما أكبر من الصفر أو مساوية له. أما الجذور الفردية، مثل الجذور التكعيبية، فتقبل كل عدد حقيقي.
3. لوغاريتمات الأعداد غير الموجبة: يجب أن يكون معامل اللوغاريتم أكبر من الصفر تمامًا.

كثيرات الحدود مثل $3x^4 - x + 7$ لا تحوي أيًّا من هذه السمات، فمجالها جميع الأعداد الحقيقية، $(-\infty, \infty)$. والأمر نفسه يصحّ على $e^x$ و$\sin x$ و$\cos x$ و$|x|$ والجذور التكعيبية.

أمثلة على المجال

استخدم المثال 3 قاعدة قسمة المتباينة على عدد سالب. ويشرحها دليل حل المتباينات، مع جداول الإشارة لشروط مثل $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$.

حين تجمع الدالة عدة سمات، اكتب كل شرط على حدة، وحلّ كلًّا منها، ثم خذ تقاطع النتائج. فمعظم الأخطاء تأتي من نسيان شرط، لا من حلّه.

إيجاد المدى جبريًا

المدى أصعب في الغالب، لأنه يسأل عن المخرجات الممكنة لا عن المدخلات المسموح بها. وثلاث تقنيات تغطّي معظم الحالات.

أولًا، استخدم المديات المعروفة للدوال الأساسية. فالجذور التربيعية والقيم المطلقة لا تكون سالبة أبدًا، و$e^x$ موجبة دائمًا، و$\sin x$ و$\cos x$ تبقيان بين $-1$ و$1$. ثم تُزيح التحويلات هذه المديات أو تمدّدها. ففي $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$، يعطي الجذر $[0, \infty)$، والمضاعفة تبقيه $[0, \infty)$، وإضافة 1 تعطي $[1, \infty)$.

ثانيًا، في الدوال التربيعية، أكمل المربع لتجد الرأس. وبما أن المربع لا يكون سالبًا أبدًا، فارتفاع الرأس هو القيمة الصغرى أو العظمى.

ثالثًا، حلّ $y = f(x)$ بالنسبة إلى $x$ وابحث عن قيم $y$ التي تعطي $x$ صالحة في المجال.

والطريقة نفسها تعطي مدى $\frac{1}{x^2 + 1}$. فالمقام لا يقلّ عن 1، إذن المخرج لا يزيد على 1، وهو موجب دائمًا لكنه يقترب من 0 بقدر ما تشاء. فالمدى $(0, 1]$.

قراءة المجال والمدى من الرسم البياني

في الرسم البياني، المجال هو الظل الذي يلقيه المنحنى على المحور x، والمدى هو ظله على المحور y. امسح من اليسار إلى اليمين لتجد المجال ومن الأسفل إلى الأعلى لتجد المدى. فالنقاط المصمتة تدلّ على أطراف متضمَّنة، والنقاط المفرغة تدلّ على نقاط مستثناة، والأسهم تعني أن الرسم يستمرّ بلا نهاية.

تدلّ خطوط التقارب الرأسية على قيم ناقصة من المجال، وكثيرًا ما تدلّ خطوط التقارب الأفقية على قيم ناقصة من المدى، كما في المثال 6. لكن احذر: فقد يقطع الرسم خط التقارب الأفقي، لذا فخط التقارب وحده لا يثبت أن قيمة ما مستثناة. وحاسبة الرسم البياني طريقة جيدة لرؤية هذه السمات قبل تأكيدها جبريًا.

الدوال المتعدّدة التعريف والسياقات الواقعية

في الدالة المتعدّدة التعريف، المجال هو اتحاد الفترات التي يُعرَّف عليها كل جزء، والمدى هو اتحاد مخرجات كل جزء. افترض أن $f(x) = x + 2$ حين $x < 0$ و$f(x) = 3$ حين $x \ge 0$. فالمجال جميع الأعداد الحقيقية. والجزء الأول ينتج كل قيمة أقل من 2، والثاني لا ينتج إلا 3، فالمدى $(-\infty, 2) \cup \{3\}$.

وفي التطبيقات، يقيّد السياق المجال أكثر. فمساحة المربع، $A = s^2$، تقبل بوصفها صيغة أي $s$ حقيقية، لكن طول الضلع يجب أن يكون موجبًا، فالمجال العملي $s > 0$ والمدى $A > 0$. وارتفاع كرة مقذوفة لا معنى له إلا من لحظة الإطلاق حتى الهبوط، فمجاله فترة زمنية مغلقة رغم أن الصيغة التربيعية للارتفاع معرَّفة في كل مكان.

المجال والمدى في موضوعات لاحقة

تعود هذه الأفكار باستمرار. فللدالة دالة عكسية على مجال تكون فيه متباينة، والدالة العكسية تبادل بين المجال والمدى، كما هو موضّح في الدوال العكسية. وتركيب الدوال $f(g(x))$ يتطلّب أن يقع كل مخرج من $g$ في مجال $f$؛ راجع تركيب الدوال. واللوغاريتمات والدوال الأسية، التي يتناولها دليل اللوغاريتمات، زوج تقليدي يتبادل فيه المجال والمدى.

أخطاء شائعة

• التبسيط قبل إيجاد المجال. فالعبارة $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ تُبسَّط إلى $x + 3$، لكن $x = 3$ يبقى مستثنى من الدالة الأصلية.
• استخدام $>$ بدلًا من $\ge$ في الجذور التربيعية، مما يحذف خطأً الطرف الذي يساوي عنده الجذر صفرًا.
• استخدام $\ge$ بدلًا من $>$ في اللوغاريتمات، مما يُدخل خطأً معاملًا يساوي صفرًا.
• افتراض أن المدى جميع الأعداد الحقيقية لأن المجال كذلك.
• كتابة قوس مربع بجانب اللانهاية.

وللتحقّق من إجاباتك، جرّب حاسبة المجال والمدى، التي تسرد كل قيد وجدته والفترات الناتجة.

الأسئلة الشائعة