تركيب الدوال: كيف تجد f(g(x)) وتستخدمها

ما معنى التركيب

إذا كانت لدينا دالتان $f$ و$g$، فالتركيب $f \circ g$، ويُقرأ «f تركيب g» أو «f لـ g»، هو الدالة التي تطبّق $g$ أولًا ثم تطبّق $f$ على الناتج:

الترتيب هو ما يربك الناس. فالدالة المكتوبة على اليمين، الأقرب إلى $x$، هي التي تعمل أولًا. تخيّل خط إنتاج: يدخل $x$ الآلة $g$، وينتقل الناتج $g(x)$ إلى الآلة $f$، فيخرج $f(g(x))$. ولكي ينجح ذلك، يجب أن يكون كل مخرج من $g$ تستخدمه مدخلًا مقبولًا في $f$.

والتركيب يختلف عن الضرب. فحاصل الضرب $(fg)(x)$ يعني $f(x) \cdot g(x)$، أي ضرب مخرجين، بينما $(f \circ g)(x)$ يعوّض دالة في الأخرى. والدائرة الصغيرة هي ما يميّز بينهما.

تركيب صيغتين

لإيجاد $f(g(x))$، خذ صيغة $f$ واستبدل بكل $x$ فيها العبارة $g(x)$ كاملة، بين قوسين. ثم بسّط.

الترتيبان يعطيان دالتين مختلفتين تمامًا. فالتركيب ليس إبداليًا عمومًا: $f \circ g$ و$g \circ f$ مختلفتان في الغالب، ولا ينبغي أبدًا أن تفترض تساويهما. لكنه تجميعي، أي $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$، فيمكن حساب سلسلة من ثلاث دوال من الداخل إلى الخارج.

ضع دائمًا قوسين حول الدالة الداخلية عند التعويض. فبدونهما تصير $g(2x + 3)$ في $g(x) = x^2$ بسهولة $2x + 3^2$، وهذا خطأ.

حساب التركيب من الأعداد والجداول

كثيرًا ما لا تحتاج إلا إلى قيمة واحدة. اعمل من الداخل إلى الخارج: احسب الدالة الداخلية أولًا، ثم استخدم الناتج مدخلًا للدالة الخارجية. ولا يلزم إيجاد صيغة التركيب.

افترض أن جدولًا يعطي $g(1) = 4$ و$g(2) = 0$ و$g(3) = 2$ و$f(0) = 5$ و$f(2) = -1$ و$f(4) = 3$. عندئذ $f(g(1)) = f(4) = 3$، و$f(g(2)) = f(0) = 5$، و$f(g(3)) = f(2) = -1$. ولو لم يكن في الجدول قيمة لـ $f$ عند العدد الذي تنتجه $g$، لكان ذلك التركيب ببساطة غير معرَّف عند ذلك المدخل.

والرسوم البيانية تعمل بالطريقة نفسها. لإيجاد $f(g(3))$ من رسمين، اقرأ $g(3)$ من رسم $g$، ثم جد تلك القيمة على المحور x في رسم $f$ واقرأ المخرج.

مجال الدالة المركّبة

يحتوي مجال $f \circ g$ بالضبط على المدخلات $x$ التي تحقّق شرطين: أن يكون $x$ في مجال $g$، وأن يكون $g(x)$ في مجال $f$. وتبسيط صيغة التركيب قد يُخفي الشرط الأول، لذا أوجد المجال من القطع الأصلية.

مثال قصير يبيّن أهمية ذلك. إذا كانت $f(x) = x^2$ و$g(x) = \sqrt{x}$، فإن $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$، لكن فقط حين $x \ge 0$. والصيغة $x$ وحدها توحي بأن كل عدد حقيقي يصلح، وهذا خطأ. ويتناول دليل المجال والمدى القيود المنفردة المستخدمة هنا.

تفكيك الدالة

التفكيك يسير بالعملية عكسيًا: إذا أُعطيت دالة معقّدة $h$، فأوجد دوال أبسط بحيث $h = f \circ g$. ابحث عن عبارة داخلية تؤثّر فيها عملية خارجية.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: الداخلية $g(x) = 3x - 1$، والخارجية $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: الداخلية $g(x) = x^2 + 4$، والخارجية $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: الداخلية $g(x) = \sin x$، والخارجية $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: الداخلية $g(x) = x + 2$، والخارجية $f(u) = \frac{1}{u^2}$، أو سلسلة من ثلاث خطوات $u = x + 2$ و$v = u^2$ و$w = \frac{1}{v}$.

التفكيك ليس وحيدًا، لكن أنفعه عادةً ما كانت دالته الداخلية بسيطة. وكتابة الجزء الداخلي على أنه $u$ هي بالضبط العادة التي ستحتاجها لقاعدة السلسلة وللتعويض في التكامل.

التركيب في التفاضل والتكامل والدوال العكسية

موضوعان كبيران يعتمدان على التركيب. أولًا، قاعدة السلسلة تشتقّ الدالة المركّبة: مشتقة $f(g(x))$ هي $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ففي $(3x - 1)^5$ يعطي ذلك $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. ويتناول دليل قواعد الاشتقاق ذلك بالتفصيل.

ثانيًا، تكون دالتان عكسيتين إحداهما للأخرى إذا وفقط إذا أعاد تركيبهما بأي ترتيب المدخل نفسه: $f(f^{-1}(x)) = x$ و$f^{-1}(f(x)) = x$ على المجالات المناسبة. ففي $f(x) = 2x + 3$ و$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$، تحصل على $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. وهذه هي الطريقة المعتادة للتحقّق من الدالة العكسية، كما هو موضّح في الدوال العكسية.

مثال من الواقع: الخصومات والقسائم

متجر يقدّم خصمًا بنسبة 20 بالمئة، ولديك أيضًا قسيمة بخصم 10 دولارات. لتكن $d(p) = 0.8p$ الدالة التي تطبّق الخصم على السعر $p$، و$c(p) = p - 10$ الدالة التي تطبّق القسيمة. الترتيب مهم.

• القسيمة أولًا ثم الخصم: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• الخصم أولًا ثم القسيمة: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• لسلعة ثمنها 50 دولارًا، يكلّف الترتيب الأول 32 دولارًا والثاني 30 دولارًا.

تطبيق النسبة المئوية أولًا يوفّر هنا دائمًا 2 دولار، لأن القسيمة لا تنقص بالنسبة المئوية. والمواقف كهذه، حيث تغذّي عملية عمليةً أخرى، هي تراكيب، وهي تبيّن لماذا ليس ترتيب $f$ و$g$ مجرد تفصيل شكلي.

أخطاء شائعة

• تطبيق الدالتين بالترتيب الخطأ: في $f(g(x))$، تعمل $g$ أولًا.
• ضرب $f(x)$ في $g(x)$ بدلًا من التعويض.
• التعويض دون أقواس، خاصة في القوى وإشارات السالب.
• إيجاد المجال من الصيغة المبسّطة وحدها وإغفال القيم التي تستثنيها الدالة الداخلية.
• افتراض أن $f \circ g = g \circ f$.

يمكنك التحقّق من الترتيبين ومجاليهما باستخدام حاسبة تركيب الدوال، التي تعرض خطوة التعويض صراحة.

لماذا يستحق التركيب الإتقان

كل دالة تقريبًا تصادفها بعد الجبر مبنية بالتركيب. فصيغة درجة حرارة مشروب يبرد، أو موضع بندول متأرجح، أو قيمة استثمار، هي في العادة دالة خارجية بسيطة، كدالة أسية أو جيب أو قوة، مطبّقة على عبارة داخلية أبسط. ورؤية هذه البنية تتيح لك توقّع شكل الرسم البياني، وإيجاد أين تُعرَّف الدالة، واختيار التقنية المناسبة للمشتقات والتكاملات.

والتركيب يفسّر أيضًا تحويلات الرسوم البيانية. فإزاحة رسم $f$ ثلاث وحدات إلى اليمين تنتج $f(x - 3)$، وهي $f$ مركّبة مع الدالة الداخلية $x - 3$. وتمديده رأسيًا بمعامل 2 ينتج $2f(x)$، وهي الدالة الخارجية $2u$ مركّبة مع $f$. ومن هذا المنظور، التحويل المطبّق داخل القوسين يغيّر المدخل ويعمل أفقيًا، بينما المطبّق خارجهما يغيّر المخرج ويعمل رأسيًا. وهذه الملاحظة الواحدة تفسّر لماذا تبدو الإزاحات الأفقية كأنها تسير في الاتجاه الخطأ.

تمارين مع الإجابات

حلّ هذه التمارين على الورق، ثم قارن. وكل منها يستخدم فكرة واحدة من الأقسام السابقة.

1. إذا كانت $f(x) = x^2 + 1$ و$g(x) = x - 3$، فأوجد $f(g(x))$. الإجابة: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. بالدالتين نفسيهما، أوجد $g(f(x))$. الإجابة: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. إذا كانت $f(x) = \sqrt{x}$ و$g(x) = 4 - x$، فأوجد مجال $f(g(x))$. الإجابة: $4 - x \ge 0$، إذن $(-\infty, 4]$.
4. فكّك $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. الإجابة: الداخلية $x^2 + 1$، والخارجية $\ln u$.
5. إذا كانت $f(x) = 3x - 2$، فأوجد $f(f(2))$. الإجابة: $f(2) = 4$ و$f(4) = 10$.

إذا كانت إجابتك عن التمرين الأول $x^2 - 2$، فقد طبّقت الدالتين بالترتيب الخطأ؛ فتلك إجابة التمرين الثاني. والخلط بين الترتيبين هو أكثر الأخطاء شيوعًا، والتحقّق بعدد مثل $x = 0$ يكشفه بسرعة: $f(g(0)) = f(-3) = 10$، بينما $g(f(0)) = g(1) = -2$.

الأسئلة الشائعة