حاسبة تركيب الدوال: f(g(x)) خطوة بخطوة

عن حاسبة تركيب الدوال

التركيب يربط دالتين بحيث يصبح مُخرج إحداهما مُدخلًا للأخرى. وبهذه الطريقة تُبنى الصيغ المعقدة من صيغ بسيطة: فـ $\sqrt{x - 4}$ جذر تربيعي يُطبَّق بعد طرح 4، و $(2x - 3)^2 + 1$ تربيع ثم إضافة واحد يُطبَّقان بعد تحويل خطي. والتعرّف على هذه الطبقات ضروري لقاعدة السلسلة، وللدوال العكسية، ولنمذجة العمليات التي تجري على مراحل.

تعوّض هذه الحاسبة دالة في أخرى، وتفك الأقواس وتبسّط النتيجة، وتحدد مجال الدالة المركبة بما فيه القيود الموروثة من الدالة الداخلية. وإذا أدخلت قيمة فإنها تحسب التركيب عندها أيضًا من الداخل إلى الخارج، فترى كيف ينتقل العدد عبر كل دالة بدورها.

ما تركيب الدوال؟

تركيب $f$ مع $g$ ، ويُكتب $(f \circ g)(x)$ ، يُعرَّف بأنه $f(g(x))$ : طبّق $g$ أولًا، ثم طبّق $f$ على النتيجة. فالدالة المكتوبة على اليمين تعمل أولًا، وهذا عكس ترتيب القراءة في الإنجليزية.

التركيب ليس إبداليًا. فإذا كانت $f(x) = x^2$ و $g(x) = x + 1$ ، فإن $f(g(x)) = (x + 1)^2$ بينما $g(f(x)) = x^2 + 1$ . ويمكن أيضًا تركيب الدالة مع نفسها: $f \circ f$ تطبّق $f$ مرتين.

كيف تستخدم حاسبة تركيب الدوال

أدخل الدالة الخارجية f(x) والدالة الثانية g(x)، كلتيهما بدلالة $x$ .
اختر التركيب: f∘g أو g∘f أو f∘f أو g∘g.
أدخل إن شئت قيمة لـ $x$ لتحسب الدالة المركبة عند تلك النقطة.
اضغط «ركّب» لترى التعويض والنتيجة المبسطة ومجالها.
قارن بالترتيب المعاكس لترى كيف تتغير النتيجة.

الصيغ

التعريف

(f \circ g)(x) = f(g(x))

مجال الدالة المركبة

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

خاصية التجميع

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

التحقق من الدالة العكسية

f(f^{-1}(x)) = x

مثال محلول: f(g(x))، f = x² + 1، g = 2x − 3، عند x = 2

يستخدم المثال $f(x) = x^2 + 1$ و $g(x) = 2x - 3$ ويكوّن $f \circ g$ . يُستبدل كل $x$ في $f$ بالعبارة كاملة $2x - 3$ ، فنحصل على $(2x - 3)^2 + 1$ ، وبفك الأقواس تصبح $4x^2 - 12x + 10$ .

ويحسب المثال أيضًا القيمة عند $x = 2$ . على مراحل: $g(2) = 1$ و $f(1) = 2$ ؛ والصيغة المبسطة تعطي $16 - 24 + 10 = 2$ ، وهي القيمة نفسها. وكلتا الدالتين كثيرة حدود، لذا فالمجال هو جميع الأعداد الحقيقية.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

كيف فهمنا مسألتك

أوجد (f ∘ g)(x) = f(g(x)) واحسب قيمتها.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

الحل خطوة بخطوة

اكتب الدالتين
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) تعني f(g(x)): ضع g(x) مكان كل x في f
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
عوّض
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
فُكّ الأقواس واجمع الحدود المتشابهة
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
المجال: يجب أن يكون x مسموحًا في g، ويجب أن يكون g(x) مسموحًا في f
$\text{مجال } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
احسب من الداخل إلى الخارج عند x = 2: أولًا g(2) = 1
$g(2) = 1$
ثم f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

الصيغ المستخدمة

التركيب
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

التركيب يُدخل مخرجات g في f. والترتيب مهم: f∘g تطبّق g أولًا وتختلف عادةً عن g∘f. ويُحدَّد المجال قبل التبسيط، لأن اختصار العوامل قد يُخفي قيمًا لا تقبلها الدالة المركبة.

التحقق

تم التحقق: f(g(x)) والصيغة النهائية متطابقتان عند نقاط العينة.
تم التحقق: الصيغة المبسطة تعطي أيضًا 2 عند x = 2.

شرح مفصّل

التعويض الصحيح

أسلم طريقة للتركيب أن تعيد كتابة الدالة الخارجية بأقواس فارغة مكان $x$ ، مثل $f(\;) = (\;)^2 + 1$ ، ثم تضع العبارة الداخلية كاملة داخل كل قوس. والأقواس مهمة: فاستبدال $x$ في $x^2$ بـ $2x - 3$ يعطي $(2x - 3)^2$ ، لا $2x - 3^2$ .

بعد التعويض تُفك الأقواس وتُجمع الحدود المتشابهة. وتعرض الحاسبة التعويض قبل التبسيط أولًا لتقارنه بحلك، ثم الصورة المبسطة.

إيجاد المجال

ينتمي المُدخل إلى مجال $f \circ g$ فقط إذا قبلته $g$ وقبلت $f$ ما تُنتجه $g$ . فإذا كانت $f(x) = \sqrt{x}$ و $g(x) = x - 4$ ، فإن $g$ تقبل كل عدد، لكن $f$ تحتاج إلى مُدخل غير سالب، لذا $x - 4 \geq 0$ والمجال هو $[4, \infty)$ .

تبقى قيود الدالة الداخلية قائمة حتى لو أخفاها التبسيط. فمع $f(x) = x^2$ و $g(x) = \sqrt{x}$ تُبسَّط الدالة المركبة إلى $x$ ، ومع ذلك لا يُسمح إلا بـ $x \geq 0$ لأن $g$ يجب أن تكون معرّفة أولًا. ولهذا يُحسب المجال من المرحلتين كلتيهما، لا من الصيغة النهائية وحدها.

أين يُستخدم التركيب

قاعدة السلسلة في التفاضل تشتق دالة مركبة: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . وتمييز الدالتين الداخلية والخارجية هو الخطوة الأولى لاستخدامها. ويصف التركيب أيضًا تحويل الوحدات، والتغيرات المئوية المتتالية، وتحويلات المنحنيات: فـ $f(x - 2)$ هي $f$ مركبة مع إزاحة بمقدار وحدتين إلى اليمين.

والتحليل هو المهارة المعاكسة: إذا أُعطيت $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ ، فاختر دالة داخلية $g(x) = 3x + 7$ ودالة خارجية $f(x) = \sqrt{x}$ بحيث $h = f \circ g$ . وعادةً يوجد أكثر من اختيار صحيح، وأفضلها هو التقسيم الذي يجعل الخطوة التالية، كالاشتقاق أو إيجاد العكس، أسهل ما يمكن. والتدرّب بالحاسبة في الاتجاهين يبني عادة رؤية الدوال طبقاتٍ.

أخطاء شائعة

تطبيق الدالتين بترتيب خاطئ؛ ففي $f(g(x))$ تعمل الدالة الداخلية $g$ أولًا.
ضرب الدالتين بدلًا من تركيبهما: $f(g(x))$ ليست $f(x)\,g(x)$ .
حذف الأقواس عند التعويض، وهذا يغيّر القوى والإشارات.
أخذ المجال من الصيغة المبسطة وحدها وفقدان قيود الدالة الداخلية.
افتراض أن $f \circ g = g \circ f$ ؛ تحقّق من الترتيبين.

نصائح

احسب القيمة عند عدد بسيط على مراحل لتتحقق من الدالة المركبة المبسطة.
اكتب الدالة الخارجية بأقواس فارغة قبل التعويض.
اذكر شروط مجال الدالة الداخلية أولًا، ثم شروط الدالة الخارجية.
استخدم حاسبة الدالة العكسية، ثم ركّب لتتأكد من أن $f(f^{-1}(x)) = x$ .
سمِّ الدالتين الداخلية والخارجية قبل الاشتقاق بقاعدة السلسلة.

الأسئلة الشائعة

ماذا تعني f(g(x))؟

تعني أن تطبّق g على x أولًا، ثم تطبّق f على النتيجة. وتُكتب الدالة المركبة f∘g، والدالة التي على اليمين تعمل أولًا دائمًا.

هل f∘g هي نفسها g∘f؟

عادةً لا. إذا كانت f(x) = x² وg(x) = x + 1، فإن f(g(x)) = (x + 1)² لكن g(f(x)) = x² + 1. وتتيح لك الحاسبة حساب الترتيبين.

كيف أجد مجال الدالة المركبة؟

خذ المُدخلات التي تقبلها الدالة الداخلية، ثم احتفظ فقط بتلك التي تقبل الدالة الخارجية مُخرجاتها. وتبقى قيود الدالة الداخلية حتى لو أخفتها الصيغة المبسطة.

هل يمكنني تركيب دالة مع نفسها؟

نعم. اختر f∘f أو g∘g. فإذا كانت f(x) = 2x + 1، فإن f(f(x)) = 4x + 3، ومن ثم f(f(3)) = 15.

ما علاقة التركيب بقاعدة السلسلة؟

قاعدة السلسلة تشتق الدالة المركبة: مشتقة f(g(x)) هي f′(g(x)) مضروبة في g′(x). وتمييز الدالتين الداخلية والخارجية هو الخطوة الأولى.

هل تحسب الحاسبة قيمة الدالة المركبة عند نقطة؟

نعم. أدخل قيمة لـ x فتحسب من الداخل إلى الخارج: أولًا الدالة الداخلية عند تلك القيمة، ثم الدالة الخارجية عند النتيجة. وتعويض القيمة نفسها في الصيغة المبسطة يجب أن يعطي العدد نفسه.

كيف أتحقق من أن دالتين عكسيتان؟

ركّبهما بالترتيبين. فإذا بُسّطت f(g(x)) وg(f(x)) كلتاهما إلى x على المجالات المعنية، فكل منهما دالة عكسية للأخرى.

ركّب دالتيك

أدخل f(x) وg(x) في الأعلى لترى الدالة المركبة مبسطةً وقيمتها ومجالها.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة تركيب الدوال