حاسبة الدالة العكسية: إيجاد f⁻¹(x) خطوة بخطوة

عن حاسبة الدالة العكسية

الدالة العكسية تعكس القاعدة. فإذا كانت $f$ تحوّل الدرجات المئوية إلى فهرنهايت، فإن عكسها يعيد الفهرنهايت إلى درجات مئوية؛ وإذا كانت $f$ تضاعف العدد ثم تضيف ثلاثة، فإن عكسها يطرح ثلاثة ثم يقسم على اثنين. وإيجاد الدالة العكسية يدويًا يعني تبديل دوري المُدخل والمُخرج وحل معادلة، وهو أمر روتيني في المستقيمات لكنه يصبح مرهقًا سريعًا مع الكسور والجذور والدوال الأسية.

تجد هذه الحاسبة $f^{-1}(x)$ للدوال الخطية والكسرية ودوال القوى والجذور والأسية واللوغاريتمية والمثلثية الأساسية. وتعرض خطوات التبديل والحل، وتعطي مجال الدالة العكسية، وإذا لم تكن $f$ واحدًا لواحد اختارت فرعًا قياسيًا ونصّت على ذلك. وكل إجابة يُتحقق منها عدديًا بتركيب $f$ مع $f^{-1}$ عند نقاط عينة.

ما الدالة العكسية؟

الدالة العكسية للدالة $f$ هي الدالة $f^{-1}$ التي تحقق $f^{-1}(f(x)) = x$ لكل $x$ في مجال $f$ ، و $f(f^{-1}(y)) = y$ لكل $y$ في مدى $f$ . والرمز $f^{-1}$ يعني الدالة العكسية، لا المقلوب $\frac{1}{f}$ .

لا تملك دالة عكسية إلا الدوال التي هي واحد لواحد، لأن كل مُخرج يجب أن يأتي من مُدخل واحد بالضبط. وعلى التمثيل البياني هذا هو اختبار الخط الأفقي: لا يجوز لأي خط أفقي أن يقطع المنحنى مرتين. ومنحنى $f^{-1}$ هو انعكاس منحنى $f$ في المستقيم $y = x$ ، ويتبادل المجال والمدى موضعيهما.

كيف تستخدم حاسبة الدالة العكسية

اكتب الدالة بدلالة $x$ ، مثل (2x + 3)/(x - 1) أو x^3 + 1 أو e^x.
اضغط «أوجد الدالة العكسية».
اقرأ الخطوات: اكتب y بدلًا من f(x)، وبدّل x وy، ثم حلّ بالنسبة إلى y.
لاحظ مجال f⁻¹ وأي تقييد للفرع طبّقته الحاسبة.
استخدم أسطر التحقق لتتأكد من أن f وf⁻¹ تعكس كلٌّ منهما الأخرى.

الصيغ

الخاصية المميِّزة

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

التبديل ثم الحل

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

تبادل المجال والمدى

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

عكس دالة موبيوس

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

مثال محلول: (2x + 3)/(x − 1)

يعكس المثال الدالة $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . بعد التبديل تُزال الكسور من المعادلة $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ ، وتُجمع كل الحدود التي تحتوي على $y$ في طرف واحد، ثم يُخرج $y$ عاملًا مشتركًا.

النتيجة هي $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . ومجالها يستثني 2 لأن $f$ لا تُخرج 2 أبدًا: فكلما كبرت $x$ اقتربت $f(x)$ من خط التقارب الأفقي $y = 2$ دون أن تبلغه.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

كيف فهمنا مسألتك

أوجد f⁻¹، الدالة التي تعكس عمل f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

الحل خطوة بخطوة

اكتب y بدلًا من f(x)
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
اضرب الطرفين في المقام
$y(1x+-1) = 2x+3$
اجمع حدود x في طرف واحد وأخرج x عاملًا مشتركًا
$x(1y-2) = 3--1y$
اقسم لعزل x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
تم الحل بالنسبة إلى x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
بدّل x وy لتسمية الدالة العكسية
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
مجال f⁻¹ هو مدى f
$\text{مجال } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

الصيغ المستخدمة

الدالة العكسية
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

لإيجاد الدالة العكسية اكتب y = f(x)، واعكس عملياتها بترتيب معكوس لتحصل على x وحده، ثم بدّل الحرفين.

التحقق

تم التحقق: f(f⁻¹(y)) = y عند 12 من نقاط العينة.
تم التحقق: f⁻¹(f(x)) = x عند 12 من نقاط العينة.

شرح مفصّل

لماذا تنجح طريقة التبديل ثم الحل

كتابة $y = f(x)$ تصف جميع الأزواج $(x, y)$ الواقعة على المنحنى. وتبديل الحرفين يصف مجموعة الأزواج المنعكسة، وهي بالضبط منحنى الدالة العكسية. وحل المعادلة بعد التبديل بالنسبة إلى $y$ يحوّل مجموعة الأزواج هذه إلى صيغة من جديد. ولا تفشل الطريقة إلا عندما يكون لخطوة الحل أكثر من إجابة، وهذا دليل على أن $f$ ليست واحدًا لواحد.

لكل نوع من الدوال عملية تعكسه: الطرح يعكس الجمع، والقسمة تعكس الضرب، والجذر التكعيبي يعكس التكعيب، و $\ln$ تعكس $e^x$ ، و $\log_2$ تعكس $2^x$ . وعكس $x^3 + 1$ يعني التراجع عن هذه العمليات بترتيب معكوس: اطرح 1، ثم خذ الجذر التكعيبي، فتحصل على $\sqrt[3]{x - 1}$ .

تقييد المجال

دالة مثل $x^2$ تفشل في اختبار الخط الأفقي لأن $2$ و $-2$ كليهما يُرسلان إلى 4. ولكي تكون لها دالة عكسية نحتفظ بجزء من مجالها فقط. تستخدم الحاسبة الفرع المعتاد $x \geq 0$ ، الذي يعطي $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ ، وتذكر التقييد في الإجابة. وبالنسبة إلى $x^2 + 1$ يعطي الفرع نفسه $\sqrt{x - 1}$ بمجال $[1, \infty)$ .

وتُقيَّد الدوال المثلثية بالطريقة القياسية أيضًا. فبالنسبة إلى $\sin x$ تحتفظ الحاسبة بـ $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ، وهذا ينتج $\arcsin x$ على $[-1, 1]$ .

كيف يُتحقق من الإجابة

بعد إيجاد دالة عكسية مرشحة، يحسب المحرك $f(f^{-1}(y))$ لقيم عينة من $y$ في مدى $f$ ويشترط أن تعيد $y$ ؛ فإن لم يتحقق ذلك فلا تُعرض أي دالة عكسية. ويحسب أيضًا $f^{-1}(f(x))$ : فإذا أعادت $x$ لبعض المُدخلات فقط، فإن $f$ ليست واحدًا لواحد، وتذكر الإجابة الفرع المستخدم. وهذا يكشف أخطاء الإشارة والفروع الخاطئة التي يسهل أن تفوت في الجبر وحده.

أخطاء شائعة

قراءة $f^{-1}(x)$ على أنها $\frac{1}{f(x)}$ ؛ فرمز الأس هنا يعني الدالة العكسية لا المقلوب.
نسيان تبديل $x$ و $y$ والاكتفاء بحل $y = f(x)$ بالنسبة إلى $x$ ، ثم ترك الإجابة بدلالة $y$ .
الادعاء بأن الدالة العكسية لـ $x^2$ هي $\pm\sqrt x$ ؛ فالدالة يجب أن تعطي مُخرجًا واحدًا، لذا يلزم اختيار فرع.
إهمال مجال الدالة العكسية، وهو يساوي مدى الدالة الأصلية.
التراجع عن العمليات بترتيبها الأصلي بدلًا من الترتيب المعكوس.

نصائح

اختبر قيمة واحدة: إذا كان $f(2) = 7$ فيجب أن تكون $f^{-1}(7)$ مساوية لـ 2.
ارسم $f$ بحاسبة التمثيل البياني وطبّق اختبار الخط الأفقي قبل إيجاد العكس.
في كسور الحدود الخطية، فُكّ الأقواس واجمع حدود $y$ ثم أخرج $y$ عاملًا مشتركًا.
أوجد مدى $f$ بحاسبة المجال والمدى لتحصل على مجال الدالة العكسية.
استخدم حاسبة تركيب الدوال لتتحقق من أن $f(f^{-1}(x))$ تُبسَّط إلى $x$ .

الأسئلة الشائعة

كيف أجد الدالة العكسية؟

اكتب y بدلًا من f(x)، وبدّل x وy، وحلّ المعادلة الجديدة بالنسبة إلى y، واكتب النتيجة على صورة f⁻¹(x). ثم اذكر مجالها، وهو مدى الدالة الأصلية.

هل لكل دالة دالة عكسية؟

لا. لا تملكها إلا الدوال التي هي واحد لواحد. والدوال التي تفشل في اختبار الخط الأفقي، مثل x² أو sin x، تحتاج إلى تقييد مجالها قبل أن توجد لها دالة عكسية.

أي فرع تختاره الحاسبة لـ x²؟

تستخدم x ≥ 0، فتكون الدالة العكسية هي الجذر التربيعي. ويُكتب التقييد في الإجابة لتعرف الفرع المستخدم.

هل f⁻¹(x) هي نفسها 1/f(x)؟

لا. الأس العلوي −1 يعني الدالة العكسية. أما المقلوب 1/f(x) فدالة مختلفة، وتُكتب عادةً على صورة كسر أو (f(x))⁻¹.

ما الدالة العكسية لـ e^x؟

اللوغاريتم الطبيعي ln x، بمجال x > 0. وبالطريقة نفسها، الدالة العكسية لـ 2^x هي اللوغاريتم للأساس 2 للعدد x.

ما العلاقة بين منحنيي f وf⁻¹؟

كلٌّ منهما انعكاس للآخر في المستقيم y = x، فالنقطة (a, b) على أحد المنحنيين تقابل النقطة (b, a) على الآخر.

كيف تتحقق الحاسبة من الدالة العكسية؟

تحسب f(f⁻¹(y)) عند عدة نقاط عينة، ولا تعرض دالة عكسية إلا إذا عادت كل قيمة دون تغيير. وتركّب الدالتين بالترتيب الآخر أيضًا لتكتشف متى كان تقييد الفرع لازمًا.

أوجد دالتك العكسية

أدخل دالة في الأعلى لترى f⁻¹(x) ومجالها، وتحققًا عدديًا من أنها تعكس f فعلًا.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي