حاسبة الأسس

لماذا تصح القواعد

قاعدة الضرب عدٌّ بسيط. فـ $a^3 \cdot a^2$ هي ثلاث نسخ من $a$ مضروبة في نسختين أخريين، أي خمس نسخ في المجموع، فتكون $a^5$. وقاعدة القسمة اختصار: في $\frac{a^5}{a^2}$ تُختصر نسختان وتبقى ثلاث.

تعريفا الأس الصفري والأس السالب تفرضهما قاعدة القسمة. فبما أن $\frac{a^3}{a^3} = 1$ والقاعدة تعطي $a^0$، لا بد أن يكون $a^0 = 1$. وبالمثل $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ وهي تساوي أيضًا $\frac{1}{a^3}$، إذن $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.

الأسس الكسرية والجذور

بما أن $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$، فلا بد أن يكون العدد $a^{1/n}$ هو الجذر من الرتبة $n$ للعدد $a$. تعيد الحاسبة نتيجة دقيقة عندما يكون الجذر نسبيًا، مثل $32^{3/5} = 8$، وإلا فإنها تحتفظ بالصورة الجذرية الدقيقة بدلًا من عدد عشري مقرّب.

إذا كان الأساس سالبًا فالجذور ذات الرتبة الفردية حقيقية، أي أن $(-8)^{1/3} = -2$، أما الجذور ذات الرتبة الزوجية فليست أعدادًا حقيقية: $(-4)^{1/2}$ ليس له قيمة حقيقية. وتذكر الحاسبة ذلك بدلًا من إعطاء نتيجة مضللة.

تبسيط العبارات أحادية الحد

لتبسيط عبارة مثل $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$، طبّق أولًا قوة حاصل الضرب: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$. ثم اقسم المعاملات واطرح الأسس متغيرًا متغيرًا: $4/4 = 1$، و$x^{6-(-1)} = x^7$، و$y^{2-5} = y^{-3}$. وأخيرًا أعد كتابة الأسس السالبة مقلوبات لتحصل على $\frac{x^7}{y^3}$.

أين تظهر الأسس خارج حصة الجبر

تصف الأسس كل ما ينمو أو يتناقص بعامل ثابت. فالمال الذي يربح 5% سنويًا يُضرب في $1.05^t$ بعد $t$ سنة، والسكان الذين يتضاعف عددهم كل فترة ينمون مثل $2^t$، والعينة المشعة ذات عمر النصف تتناقص مثل $\left(\tfrac12\right)^t$. والصيغة العلمية، مثل $6.02 \times 10^{23}$، تستخدم قوى العشرة لكتابة الأعداد الكبيرة جدًا والصغيرة جدًا باختصار.

وفي كل حالة تنطبق القوانين نفسها. فنمو سنتين تليهما ثلاث سنوات أخرى هو $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$، والزمن اللازم لبلوغ مبلغ مستهدف يُوجد بعكس الأس باللوغاريتم، وهو ما تفعله حاسبة اللوغاريتمات خطوة بخطوة.