حاسبة التحليل: حلّل كثيرات الحدود خطوة بخطوة

عن حاسبة التحليل

التحليل يعيد كتابة كثيرة الحدود على صورة حاصل ضرب كثيرات حدود أبسط. وهو عكس فك الأقواس، ومن أكثر المهارات استخدامًا في الجبر: فبه تُحل المعادلات التربيعية والتكعيبية، وتُبسَّط العبارات الكسرية، وتُوجد أصفار المنحنى، وتُهيّأ التكاملات للتجزئة إلى كسور جزئية.

تحلّل هذه الحاسبة كثيرات الحدود في متغير واحد، مثل $6x^2 + 11x - 10$ أو $x^4 - 16$ ، والصيغ الشائعة في متغيرين مثل $x^2 - 9y^2$ أو $x^2 - 5xy + 6y^2$ . وهي تُخرج دائمًا العامل المشترك الأكبر أولًا، ثم تبحث عن الأنماط الخاصة، ثم تستخدم طريقة AC أو نظرية الجذر النسبي للدرجات الأعلى. وكل ما لا يمكن تجزئته أكثر على الأعداد النسبية يُعلن غير قابل للتحليل بدلًا من تركه دون تفسير.

ماذا يعني تحليل كثيرة الحدود؟

تحليل كثيرة الحدود يعني كتابتها على صورة حاصل ضرب كل عامل فيه من درجة أقل. مثلًا $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . وضرب العوامل معًا مرة أخرى يعيد كثيرة الحدود الأصلية، وهذه أسهل طريقة للتحقق من أي تحليل.

يكون التحليل كاملًا عندما لا يمكن تجزئة أي عامل مرة أخرى بمعاملات نسبية. العبارة التربيعية $x^2 - 2$ غير قابلة للتحليل على الأعداد النسبية مع أنها تساوي $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ ، لأن $\sqrt2$ عدد غير نسبي. وتعمل المقررات المدرسية وهذه الحاسبة على الأعداد النسبية ما لم تطلب المسألة صراحةً عوامل حقيقية أو مركبة.

كيف تستخدم حاسبة التحليل

اكتب كثيرة الحدود مستخدمًا ^ للقوى، مثل 6x^2 + 11x - 10 أو x^3 - 8.
يمكنك إدخالها بأي ترتيب أو مع أقواس، مثل (x + 1)(x + 2) + 3x؛ فالحاسبة تفكها وترتبها أولًا.
اضغط «حلّل إلى العوامل». تكتب الخطوة الأولى كثيرة الحدود في الصورة القياسية بقوى تنازلية.
تابع خطوات الطريقة: العامل المشترك، أو النمط الخاص أو طريقة AC، وأي اختبارات للجذور النسبية مع القسمة التركيبية لكثيرات الحدود التكعيبية أو من الدرجة الرابعة.
اقرأ التحليل الكامل في النهاية، وإذا أردت التحقق منه فافككه باستخدام حاسبة التبسيط.

الصيغ

الفرق بين مربعين

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

ثلاثيات الحدود المربعة الكاملة

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

مجموع مكعبين والفرق بينهما

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

طريقة AC

ax^2 + bx + c:\ \text{أوجد } m, n \text{ بحيث } mn = ac,\ m + n = b

جزّئ $bx$ إلى $mx + nx$ وحلّل بالتجميع.

نظرية الجذر النسبي

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

الجذور المرشحة هي قواسم الحد الثابت مقسومة على قواسم المعامل الرئيسي.

مثال محلول: ثلاثية الحدود 6x² + 11x − 10

يستخدم المثال المحلول ثلاثية الحدود $6x^2 + 11x - 10$ ، وهي حالة نموذجية لا يساوي فيها المعامل الرئيسي 1، فيكون التخمين والتجريب بطيئًا. يضرب المحرك $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ ويبحث عن عددين صحيحين حاصل ضربهما $-60$ ومجموعهما $11$ .

هذان العددان هما $15$ و $-4$ . تجزئة الحد الأوسط إلى $15x - 4x$ تسمح بتجميع الحدود الأربعة أزواجًا، يشترك كل زوج منها في عامل ذي حدين. اضرب الإجابة لتتأكد منها.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

(3x - 2)(2x + 5)

كيف فهمنا مسألتك

حلّل كثيرة حدود على مجموعة الأعداد النسبية

6x^{2} + 11x - 10

الحل خطوة بخطوة

اكتب كثيرة الحدود في الصورة القياسية
$6x^{2} + 11x - 10$
استخدم طريقة AC
احسب a·c = 6·-10 = -60. أوجد عددين حاصل ضربهما -60 ومجموعهما b = 11: 15 و-4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
التحليل بالتجميع
جمّع الحدين الأولين والحدين الأخيرين، وحلّل كل مجموعة، ثم أخرج ذات الحدين المشتركة عاملًا. الجذران هما -5/2 و2/3.
اكتب التحليل الكامل
$(3x - 2)(2x + 5)$

الصيغ المستخدمة

الفرق بين مربعين
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
ثلاثية الحدود المربعة الكاملة
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
مجموع مكعبين والفرق بينهما
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
نظرية الجذر النسبي
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ جذر} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

تتحلل 6x^2 + 11x - 10 تحليلًا كاملًا على الأعداد النسبية إلى (3x - 2)(2x + 5).

التحقق

فك (3x - 2)(2x + 5) يعيد 6x^2 + 11x - 10.

شرح مفصّل

ترتيب الطرق مهم

تبدأ أي طريقة تحليل موثوقة دائمًا بالعامل المشترك الأكبر. إخراج $2$ من $2x^2 - 18$ يترك $x^2 - 9$ ، التي يمكن عندئذ التعرف عليها فرقًا بين مربعين. وتخطي هذه الخطوة يخفي النمط ويترك إجابة ناقصة مثل $(2x - 6)(x + 3)$ ، التي ما زال فيها عامل مشترك هو 2.

بعد العامل المشترك، تنظر الطريقة الجيدة إلى الشكل. الحدان يوحيان بفرق بين مربعين أو بمجموع مكعبين أو الفرق بينهما؛ والحدود الثلاثة توحي بمربع كامل أو بطريقة AC؛ والحدود الأربعة كثيرًا ما تتحلل بالتجميع. أما للدرجة الثالثة فما فوق فتختبر الحاسبة الجذور النسبية المرشحة وتقسم على كل جذر تجده بالقسمة التركيبية، فتنخفض الدرجة بمقدار واحد في كل مرة وتعطي النتيجة نفسها التي يعطيها التجميع، مثل $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

لماذا تنجح طريقة AC

إذا كان $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ ، فإن الفك يعطي $pr = a$ و $qs = c$ و $ps + qr = b$ . والعددان $ps$ و $qr$ حاصل ضربهما $pq rs = ac$ ومجموعهما $b$ . لذا فإيجاد عددين حاصل ضربهما $ac$ ومجموعهما $b$ هو بالضبط إيجاد الحدين المتقاطعين، والتجميع يستعيد ذوات الحدين.

عندما لا يوجد زوج من الأعداد الصحيحة، لا تكون للعبارة التربيعية جذور نسبية وتكون غير قابلة للتحليل على الأعداد النسبية. ويمكنك تأكيد ذلك بالمميز $b^2 - 4ac$ : توجد عوامل نسبية إذا وفقط إذا كان مربعًا كاملًا.

كثيرات الحدود من الدرجات الأعلى

في كثيرة حدود تكعيبية مثل $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ، تحصر نظرية الجذر النسبي المرشحين في $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . يبيّن الاختبار أن $x = 1$ جذر، والقسمة التركيبية تترك $x^2 - 5x + 6$ ، وتتحلل هذه العبارة التربيعية إلى $(x - 2)(x - 3)$ .

كثيرات الحدود من الدرجة الرابعة التي لا جذور نسبية لها قد تتجزأ مع ذلك إلى عبارتين تربيعيتين، كما في $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . وتبحث الحاسبة عن أزواج تربيعية بمعاملات صحيحة لهذه الحالة قبل أن تعلن أن كثيرة الحدود غير قابلة للتحليل.

أخطاء شائعة

نسيان إخراج العامل المشترك الأكبر أولًا، مما يترك تحليلًا غير كامل.
اعتبار $a^2 + b^2$ قابلة للتحليل على الأعداد الحقيقية. فمجموع مربعين لا يتحلل دون الأعداد المركبة.
أخطاء الإشارة في المكعبات: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ، مع إشارة موجبة على الحد الأوسط في العبارة التربيعية.
التوقف بعد خطوة واحدة، مثل ترك $x^4 - 16$ على الصورة $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ مع أن $x^2 - 4$ تتحلل مرة أخرى.
إسقاط العامل $-1$ عند إخراج معامل رئيسي سالب.

نصائح

تحقق دائمًا بضرب العوامل معًا مرة أخرى.
اكتب كثيرة الحدود بقوى تنازلية قبل اختيار الطريقة.
في طريقة AC، اسرد أزواج قواسم $ac$ بانتظام من الأصغر إلى الأكبر.
استخدم المميز لتقرر بسرعة هل تتحلل العبارة التربيعية على الأعداد النسبية.
إذا كنت تحتاج إلى الجذور لا العوامل، فاجعل كل عامل يساوي صفرًا.

الأسئلة الشائعة

ما الخطوة الأولى في تحليل أي كثيرة حدود؟

أخرج العامل المشترك الأكبر لجميع الحدود، بما في ذلك أي قوة مشتركة للمتغير. وكل طريقة أخرى تعمل أفضل على ما يتبقى.

كيف أحلل ثلاثية حدود معاملها الرئيسي لا يساوي 1؟

استخدم طريقة AC: اضرب a في c، وأوجد عددين حاصل ضربهما هذا الناتج ومجموعهما b، وجزّئ الحد الأوسط إلى هذين الجزأين، ثم حلّل بالتجميع.

ماذا يعني «غير قابل للتحليل»؟

تكون كثيرة الحدود غير قابلة للتحليل على الأعداد النسبية عندما لا يمكن كتابتها على صورة حاصل ضرب كثيرات حدود من درجة أقل بمعاملات نسبية. مثلًا x تربيع زائد 1، وx تربيع ناقص 2، كلتاهما غير قابلة للتحليل على الأعداد النسبية.

هل تحلل الحاسبة كثيرات الحدود التكعيبية ومن الدرجة الرابعة؟

نعم. تختبر الجذور النسبية بنظرية الجذر النسبي، وتقسم عليها بالقسمة التركيبية، وفي الدرجة الرابعة تبحث أيضًا عن تجزئة إلى عبارتين تربيعيتين بمعاملات صحيحة.

هل تحلل العبارات التي تحتوي على متغيرين؟

تتعامل مع الصيغ الشائعة في متغيرين: العامل المشترك أحادي الحد، وكثيرات الحدود المتجانسة مثل x تربيع ناقص 5xy زائد 6y تربيع، والفرق بين مربعين، والتجميع حسب متغير واحد. أما العبارات ذات المتغيرات الثلاثة أو أكثر فغير مدعومة.

ما علاقة التحليل بحل المعادلات؟

إذا كان حاصل الضرب يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون أحد عوامله صفرًا. لذا فتحليل كثيرة حدود مساوية للصفر يحوّل معادلة صعبة واحدة إلى عدة معادلات سهلة.

لماذا تختلف كتابة إجابتي عن الكتاب المدرسي؟

قد تظهر العوامل بأي ترتيب، ويمكن نقل العامل سالب واحد بين الأقواس. افكك الصيغتين؛ فإذا أعطتا كثيرة الحدود نفسها فكلتاهما صحيحة.

حلّل كثيرة الحدود الخاصة بك

اكتب كثيرة حدود في الأعلى لتحصل على تحليلها الكامل مع الطريقة المستخدمة في كل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة تحليل كثيرات الحدود