حاسبة المعادلة التربيعية: الجذور والمميز

Q: ما هو القانون العام؟

للمعادلة ax^2 + bx + c = 0، الحلول هي x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). ويصلح لكل معادلة تربيعية، بما فيها التي لا تتحلل.

Q: ماذا يخبرني المميز؟

إذا كان b^2 - 4ac > 0 فهناك جذران حقيقيان مختلفان، وإذا ساوى 0 فهناك جذر مزدوج واحد، وإذا كان سالبًا فهناك جذران مركبان.

Q: هل تعطي الحاسبة جذورًا مركبة؟

نعم. عندما يكون المميز سالبًا تُكتب الجذور على الصورة p ± qi؛ فللمعادلة x^2 + 2x + 5 = 0 هما -1 ± 2i.

Q: كيف أجد رأس القطع المكافئ؟

يقع الرأس عند x = -b/(2a)؛ عوّض هذه القيمة لتحصل على الإحداثي y. وتعرض الحاسبة الاثنين.

Q: لماذا لا يمكن أن يكون a صفرًا في المعادلة التربيعية؟

إذا كان a = 0 يختفي الحد x^2 وتصبح المعادلة خطية، bx + c = 0، ولها حل واحد على الأكثر. كما أن القانون العام سيقسم على صفر، لذا تطلب الحاسبة قيمة a غير صفرية.

عن حاسبة المعادلة التربيعية

المعادلة التربيعية لها الصورة $ax^2 + bx + c = 0$ مع $a \neq 0$ . منحناها قطع مكافئ، وحلولها هي نقاط تقاطعه مع المحور x.

يخبرك المميز $\Delta = b^2 - 4ac$ بنوع الجذور المتوقعة: جذران حقيقيان إذا كان موجبًا، وجذر واحد مكرر إذا كان صفرًا، وجذران مركبان مترافقان إذا كان سالبًا. وتُبقي الحاسبة الجذور الصمّاء بصورتها الدقيقة، فالمعادلة $2x^2 + 4x - 3 = 0$ تعطي $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

ما هي المعادلة التربيعية؟

المعادلة التربيعية معادلة كثيرة حدود من الدرجة الثانية: أعلى قوة للمجهول فيها هي $x^2$ . وصورتها القياسية $ax^2 + bx + c = 0$ ، حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد و $a$ لا يساوي صفرًا. يتحكم المعامل $a$ في اتساع القطع المكافئ وفي اتجاه فتحته إلى الأعلى أو إلى الأسفل، و $b$ يزيحه جانبيًا، و $c$ هو موضع تقاطعه مع المحور y.

لأن منحنى $y = ax^2 + bx + c$ قطع مكافئ، فقد يقطع المحور x مرتين، أو يمسه مرة واحدة عند رأسه، أو لا يلتقي به أبدًا. وهذه الصور الثلاث تقابل حلين حقيقيين، وحلًا مكررًا واحدًا، وعدم وجود حلول حقيقية، والمميز يحدد أي صورة تنطبق قبل حساب أي جذر.

كيف تستخدم حاسبة المعادلة التربيعية

أعد كتابة معادلتك بحيث يكون أحد طرفيها 0.
أدخل المعاملات a وb وc. تُقبل الكسور والأعداد العشرية.
اضغط «حُلّ» لترى المميز والجذرين والصورة المحللة والرأس.

الصيغ

القانون العام

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

المميز

\Delta = b^2 - 4ac

الرأس

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

علاقات فييت

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

مثال محلول: x² − 3x − 10 = 0

يحل المثال المحلول المعادلة $x^2 - 3x - 10 = 0$ ، إذن $a = 1$ و $b = -3$ و $c = -10$ . المميز يساوي $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ ، وهو مربع كامل موجب، لذا يوجد جذران نسبيان. يعطي القانون $\frac{3 \pm 7}{2}$ ، أي $x = -2$ و $x = 5$ . وتجد الحاسبة أيضًا الرأس عند $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ والصورة المحللة $(x + 2)(x - 5)$ ، وتؤكد بعلاقات فييت أن مجموع الجذرين 3 وحاصل ضربهما −10.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

كيف فهمنا مسألتك

حل معادلة تربيعية في الصورة القياسية باستخدام القانون العام.

x^2 - 3x - 10 = 0

الحل خطوة بخطوة

حدّد معاملات ax² + bx + c = 0
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
احسب المميز
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0، إذن يوجد جذران حقيقيان مختلفان
طبّق القانون العام
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
بسّط كل جذر
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
أوجد رأس القطع المكافئ
القطع المكافئ مفتوح إلى الأعلى، لذا فالرأس نقطة صغرى.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
الصورة المحللة
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

الصيغ المستخدمة

القانون العام
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
المميز
$\Delta = b^2 - 4ac$
الرأس
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

المميز موجب، لذا يقطع القطع المكافئ المحور x في نقطتين.

التحقق

عوّض x = -2: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
عوّض x = 5: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
علاقات فييت: مجموع الجذرين = 3 = −b/a = 3؛ وحاصل ضربهما = -10 = c/a = -10

شرح مفصّل

حالات المميز الثلاث

عندما $\Delta > 0$ يكون الجذر التربيعي عددًا حقيقيًا وتنتج $\pm$ جذرين مختلفين. وإذا كان $\Delta$ أيضًا مربعًا كاملًا، كما في 49 في المثال، فالجذران نسبيان والعبارة التربيعية تتحلل على الأعداد الصحيحة؛ وإلا فإنهما يحتويان على جذر أصم، كما في $2x^2 + 4x - 3 = 0$ التي جذراها $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . وعندما $\Delta = 0$ ينطبق الجذران: للمعادلة $x^2 - 6x + 9 = 0$ الجذر المزدوج $x = 3$ والقطع المكافئ يمس المحور فقط. وعندما $\Delta < 0$ لا توجد جذور حقيقية، وتعطي الحاسبة الزوج المركب، مثل $-1 \pm 2i$ للمعادلة $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

من أين يأتي القانون

القانون العام هو ما تحصل عليه بإكمال المربع في المعادلة العامة. القسمة على $a$ ونقل $c$ يعطيان $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ؛ وإضافة $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ إلى الطرفين تجعل الطرف الأيسر مربعًا كاملًا، $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . وأخذ الجذر التربيعي وطرح $\frac{b}{2a}$ ينتجان القانون. ويفسر هذا الاشتقاق الرأس أيضًا: القطع المكافئ متماثل حول $x = -\frac{b}{2a}$ ، وهي منتصف المسافة بين الجذرين.

قراءة الرأس والمنحنى

الرأس هو نقطة انعطاف القطع المكافئ. إحداثيه x يساوي $-\frac{b}{2a}$ ، وتعويضه في المعادلة يعطي الإحداثي y، وهو القيمة الصغرى عندما $a > 0$ والكبرى عندما $a < 0$ . في المثال يقع الرأس عند $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ ، لذا فالعبارة $x^2 - 3x - 10$ لا تقل أبدًا عن $-12.25$ . وهذا ما يجعل المعادلات التربيعية مفيدة في مسائل الاستمثال، مثل إيجاد أعلى نقطة تبلغها كرة مقذوفة أو السعر الذي يحقق أكبر إيراد.

صورة الرأس $a(x - h)^2 + k$ تعرض المعلومات نفسها مباشرة، حيث $(h, k)$ هو الرأس.

أخطاء شائعة

استخدام $-b^2$ بدلًا من $b^2$ عندما يكون $b$ سالبًا: $(-3)^2 = 9$ .
قسمة $-b$ وحده على $2a$ بدلًا من البسط كله.
إدخال المعاملات قبل نقل جميع الحدود إلى طرف واحد.
نسيان ± والاكتفاء بجذر واحد.
كتابة جذور مركبة عندما يُطلب الحل الحقيقي فقط، أو العكس؛ اقرأ ما يطلبه السؤال.

نصائح

إذا كان $b$ زوجيًا، يُبسَّط القانون إلى $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
تحقق من جذورك بعلاقات فييت: يجب أن يكون مجموعها $-\frac{b}{a}$ .
إذا كان $\Delta$ مربعًا كاملًا، فالعبارة التربيعية تتحلل على الأعداد الصحيحة.
اقسم المعاملات الثلاثة على عامل مشترك أولًا؛ فالجذور لا تتغير والحساب يصبح أخف.
يقع الرأس في منتصف المسافة بين الجذرين، وهذا يوفر تحققًا سريعًا من كليهما.

الأسئلة الشائعة

ما هو القانون العام؟

للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ ، الحلول هي $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . ويصلح لكل معادلة تربيعية، بما فيها التي لا تتحلل.

ماذا يخبرني المميز؟

إذا كان $b^2 - 4ac > 0$ فهناك جذران حقيقيان مختلفان، وإذا ساوى 0 فهناك جذر مزدوج واحد، وإذا كان سالبًا فهناك جذران مركبان.

هل تعطي الحاسبة جذورًا مركبة؟

نعم. عندما يكون المميز سالبًا تُكتب الجذور على الصورة $p \pm qi$ ؛ فللمعادلة $x^2 + 2x + 5 = 0$ هما $-1 \pm 2i$ .

ماذا لو كان a = 0؟

عندها تكون المعادلة خطية لا تربيعية. استخدم حلّال المعادلات أو حاسبة إيجاد قيمة x بدلًا من ذلك.

كيف أجد رأس القطع المكافئ؟

يقع الرأس عند $x = -\frac{b}{2a}$ ؛ عوّض هذه القيمة لتحصل على الإحداثي y. وتعرض الحاسبة الاثنين.

لماذا تُترك الجذور بصورة جذور تربيعية بدلًا من أعداد عشرية؟

الجذور الصمّاء الدقيقة تحفظ الدقة كاملة وتُظهر بنية الإجابة. ويُعرض بجانبها تقريب عشري للتسهيل.

ماذا يعني الجذر المزدوج؟

يعني أن المميز صفر وأن الجذرين العدد نفسه. يمس القطع المكافئ المحور x عند رأسه دون أن يقطعه، كما في $x^2 - 6x + 9 = 0$ التي لها الجذر المزدوج $x = 3$ .

متى أحلل بدلًا من استخدام القانون؟

حلّل عندما يكون المميز مربعًا كاملًا والأعداد صغيرة، لأن الجذور عندئذ نسبية. أما القانون فيصلح دائمًا، فاستخدمه عندما لا يكون التحليل واضحًا.

لماذا لا يمكن أن يكون a صفرًا في المعادلة التربيعية؟

إذا كان $a = 0$ يختفي الحد $x^2$ وتصبح المعادلة خطية، $bx + c = 0$ ، ولها حل واحد على الأكثر. كما أن القانون العام سيقسم على صفر، لذا تطلب الحاسبة قيمة $a$ غير صفرية.

حل معادلتك التربيعية

أدخل المعاملات a وb وc في الأعلى لتحصل على المميز والجذرين والرأس والصورة المحللة مع كل الخطوات.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي