حاسبة التبسيط: تبسيط العبارات الجبرية خطوة بخطوة

عن حاسبة التبسيط

التبسيط هو الترتيب اليومي في الجبر. فقبل أن تحل العبارات أو ترسمها أو تقارن بينها، تحتاج عادةً إلى كتابتها بصورة قياسية مرتبة: أقواس مفكوكة، وحدود متشابهة مجموعة، وكسور مختصرة. وهذا العمل باليد هو في معظمه حساب دقيق، وإشارة واحدة ضائعة تفسد النتيجة كلها.

تبسّط هذه الحاسبة العبارات كثيرة الحدود في متغير واحد أو عدة متغيرات، مثل $3(x + 2) - 2(x - 1)$ أو $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ، والعبارات العددية التي تحتوي على كسور، والعبارات النسبية في متغير واحد، مثل $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ ، إذ تحلّلها وتختصر العوامل المشتركة وتذكر القيم التي يجب استبعادها.

ماذا يعني تبسيط العبارة؟

تكون العبارتان متكافئتين عندما تعطيان القيمة نفسها لكل مدخل مسموح به. والتبسيط يستبدل بالعبارة عبارةً مكافئة لها أقصر أو أقرب إلى الصورة القياسية. وفي كثيرات الحدود تكون الصورة القياسية خالية من الأقواس، وفيها حد واحد لكل تركيبة من القوى، والحدود مرتبة تنازليًا حسب الدرجة.

أما في العبارات النسبية فأبسط صورة تعني ألا يشترك البسط والمقام في أي عامل كثير حدود. واختصار عامل مثل $x + 3$ لا يصح إلا حيث $x + 3 \ne 0$ ، لذا فالإجابة الكاملة تذكر هذا القيد.

كيف تستخدم حاسبة التبسيط

اكتب العبارة، مثلًا 3(x + 2) - 2(x - 1) أو (x^2 - 9)/(x^2 + 3x).
استخدم ^ للقوى، و* أو المجاورة للضرب: الصيغ 2x و2*x و2(x + 1) كلها مقبولة.
اضغط «بسّط» وتابع الخطوات: التوزيع، وفكّ القوى، وجمع الحدود المتشابهة، ثم التحليل والاختصار في الكسور.
اقرأ الصورة المبسطة النهائية وأي قيم مستبعدة مذكورة معها.

الصيغ

قانون التوزيع

a(b + c) = ab + ac

مربع ذات الحدين

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

جمع الحدود المتشابهة

px^k + qx^k = (p + q)x^k

اختصار عامل مشترك

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

مثال محلول: 3(x + 2) − 2(x − 1)

يبسّط المثال العبارة $3(x + 2) - 2(x - 1)$ . يوزّع المحرك كل معامل، مع الانتباه إلى أن $-2$ يُضرب في حدّي القوس الثاني كليهما، فيتحول $-1$ إلى $+2$ .

ينتج عن ذلك $3x + 6 - 2x + 2$ . وبجمع حدود $x$ والثوابت كلٌّ على حدة يبقى $x + 8$ .

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

x + 8

كيف فهمنا مسألتك

بسّط العبارة كثيرة الحدود في x.

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

الحل خطوة بخطوة

اقرأ العبارة
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
وزّع الضرب (فُكّ كل حاصل ضرب)
كل حد في أحد العاملين يُضرب في كل حد في العامل الآخر: a(b + c) = ab + ac.
الناتج بعد فك الأقواس
$3x + 6 - 2x + 2$
اجمع الحدود المتشابهة
x: 3 − 2 = 1؛ الثوابت: 6 + 2 = 8. الحدود المتشابهة لها المتغيرات والأسس نفسها، لذا تُجمع معاملاتها فقط.
اكتب الناتج بالصورة القياسية
تُرتَّب الحدود تنازليًا حسب الدرجة الكلية.
$x + 8$

الصيغ المستخدمة

خاصية التوزيع
$a(b + c) = ab + ac$
مربع مجموع حدين
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
الحدود المتشابهة
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

بعد فك الأقواس وجمع الحدود المتشابهة تصبح العبارة x + 8، وهي كثيرة حدود من الدرجة 1 وعدد حدودها 2.

التحقق

تحقق عند x = 0.73: الأصلية 8.73، المبسطة 8.73 ✓

شرح مفصّل

الحدود المتشابهة

الحدود المتشابهة لها المتغيرات نفسها مرفوعة إلى القوى نفسها تمامًا، ولا يختلف بينها إلا المعامل العددي. لذا فإن $5x^2y$ و $-2x^2y$ حدّان متشابهان يُجمعان إلى $3x^2y$ ، أما $x^2y$ و $xy^2$ فليسا متشابهين ويجب أن يبقيا منفصلين.

تخزّن الحاسبة كل حد على صورة معامل مرتبط بقائمة من الأسس. وجمع عبارتين يعني عندئذٍ جمع المعاملات التي تنتمي إلى القائمة نفسها، وهذا بالضبط معنى جمع الحدود المتشابهة. ولأن المعاملات كسور دقيقة، تخرج نتائج مثل $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ دقيقة.

الفكّ قبل الجمع

الأقواس تُخفي الحدود المتشابهة. ففي $(a + b)^2 - (a - b)^2$ لا يمكن جمع شيء قبل فكّ المربعين: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ . عندها تتلاشى حدود $a^2$ و $b^2$ ويبقى $4ab$ . لذا تفكّ الحاسبة دائمًا كل حاصل ضرب وكل قوة أولًا، ثم تجمع.

طرح قوس مصدر شائع للأخطاء. فإشارة السالب تنطبق على كل حد داخله، أي أن $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ .

العبارات النسبية

لتبسيط كسر من كثيرات الحدود، حلّل البسط والمقام تحليلًا كاملًا واختصر العوامل التي تظهر فيهما معًا. في $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ يُختصر العامل المشترك $x + 3$ ، فينتج $\frac{x - 3}{x}$ مع $x \ne 0$ و $x \ne -3$ .

يمكنك اختصار العوامل فقط، لا الحدود المنفردة. فاختصار $x^2$ في $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ خطأ، لأن $x^2$ حدّ في مجموع وليس عاملًا للبسط كله.

العبارات العددية وترتيب العمليات

عندما لا تحتوي العبارة إلا على أعداد، فتبسيطها يعني حساب قيمتها بدقة. تتبع الحاسبة الترتيب المعتاد: الأقواس أولًا، ثم القوى، ثم الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين. وتبقى الكسور كسورًا طوال الحساب، فتصبح $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ مساوية لـ $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ بدلًا من عدد عشري مقرّب.

الحساب الدقيق مهم لأن التقريب المبكر قد يغيّر نتيجة لاحقة. وإذا احتجت إلى عدد عشري لإجابة عملية، فحوّل القيمة الدقيقة النهائية مرة واحدة في آخر خطوة.

أخطاء شائعة

توزيع إشارة السالب على الحد الأول فقط داخل القوس.
كتابة $(a + b)^2$ على أنها $a^2 + b^2$ ونسيان الحد الأوسط $2ab$ .
جمع حدود غير متشابهة، كجمع $x^2$ و $x$ للحصول على $2x^3$ .
اختصار حدود بدلًا من عوامل في الكسر.
إسقاط القيم المستبعدة بعد اختصار عامل.

نصائح

أعد كتابة طرح القوس على صورة جمع $-1$ مضروبًا في القوس قبل التوزيع.
ضع خطًا باللون نفسه تحت الحدود المتشابهة قبل جمعها.
تحقق من التبسيط بالتعويض بقيمة بسيطة مثل $x = 2$ في الصورتين.
حلّل تحليلًا كاملًا قبل اختصار أي شيء في العبارة النسبية.
اكتب الناتج بقوى تنازلية ليسهل مقارنته بالإجابات الأخرى.

الأسئلة الشائعة

ما الحدود المتشابهة؟

هي حدود لها المتغيرات نفسها مرفوعة إلى القوى نفسها، مثل 4xy وسالب 7xy. لا يختلف بينها إلا المعامل، لذا يمكن جمعها في حد واحد.

هل يغيّر التبسيط قيمة العبارة؟

لا. العبارة المبسطة تكافئ الأصلية لكل مدخل مسموح به. والفرق الوحيد أن العوامل المختصرة تُنشئ قيمًا مستبعدة يجب ذكرها.

هل تبسّط الحاسبة عبارات فيها عدة متغيرات؟

نعم، تُفكّ العبارات كثيرة الحدود في أي عدد من المتغيرات وتُجمع حدودها المتشابهة. أما العبارات النسبية فتُبسَّط في متغير واحد.

لماذا يحمل الكسر المبسط قيودًا؟

عند اختصار عامل من البسط والمقام، تكون العبارة الأصلية غير معرّفة حيث يساوي هذا العامل صفرًا. ويجب أن تحتفظ الصورة المبسطة بهذا القيد لتبقى مكافئة.

هل التبسيط هو نفسه الحل؟

لا. التبسيط يعيد كتابة العبارة، أما الحل فيوجد القيم التي تجعل المعادلة صحيحة. بسّط الطرفين أولًا، ثم استخدم حلّال المعادلات إذا احتجت إلى الحلول.

ما الصورة القياسية لكثيرة الحدود؟

كل الأقواس مفكوكة، وحد واحد لكل تركيبة من القوى، والحدود مكتوبة من الدرجة العليا إلى الدنيا، والثابت في الآخر.

هل يمكنني تبسيط العبارات العددية أيضًا؟

نعم. تُحسب عبارات مثل 3/4 + 5/6 مضروبًا في 2 بدقة وفق ترتيب العمليات، وتُختصر إلى أبسط صورة.

بسّط عبارتك

اكتب أي عبارة في الأعلى لتحصل على أبسط صورة دقيقة لها مع كل خطوة توزيع وجمع واختصار.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي