حاسبة التعابير الكسرية: التبسيط والجمع والقسمة

عن حاسبة التعابير الكسرية

التعابير الكسرية كسور بسطها ومقامها كثيرات حدود، مثل $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . وهي تتصرف مثل الكسور العادية، فكل ما تعرفه عن الاختزال وإيجاد المقامات المشتركة والقسمة على كسر يبقى صالحًا. الفرق أن ما تحلّله الآن كثيرات حدود لا أعداد، وأن عليك تتبّع قيم $x$ التي تجعل أي مقام صفرًا.

تجري هذه الحاسبة خمس عمليات على التعابير الكسرية في متغير واحد: التبسيط والجمع والطرح والضرب والقسمة. فهي تحلّل كل بسط ومقام إلى عوامل على الأعداد النسبية، وتبني المقام المشترك الأصغر عند الحاجة، وتختصر العوامل المشتركة، وتذكر القيم المستبعدة للإجابة النهائية، وهو ما تغفله حلول كثيرة.

ما التعبير الكسري؟

التعبير الكسري هو خارج قسمة $\frac{P(x)}{Q(x)}$ لكثيرتي حدود حيث $Q$ ليست كثيرة الحدود الصفرية. وهو غير معرّف حيثما كان $Q(x) = 0$ ، فمجاله كل الأعداد الحقيقية ما عدا جذور المقام.

يتكافأ تعبيران كسريان إذا تساويا عند كل نقطة يكون كلاهما معرّفًا عندها. والتبسيط يستبدل بالتعبير تعبيرًا مكافئًا في أبسط صورة، لا يشترك بسطه ومقامه في أي عامل. ولأن الاختصار قد يزيل عاملًا من المقام، يجب نقل القيم المستبعدة للتعبير الأصلي صراحةً.

كيف تستخدم حاسبة التعابير الكسرية

اختر التبسيط أو الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.
أدخل التعبير الأول في خانة «التعبير الكسري A» مع وضع البسط والمقام بين قوسين، مثل (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
في العمليات الحسابية الأربع، أدخل التعبير الثاني في خانة «التعبير الكسري B»، مثل 2/(x + 1).
اضغط «احسب» وتابع خطوات التحليل إلى العوامل والمقام المشترك والاختصار.
انسخ النتيجة مع قيمها المستبعدة.

الصيغ

الاختزال

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

الجمع بمقام مشترك

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

الضرب

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

القسمة

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

مثال محلول: بسّط (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

يختزل المثال المحلول $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ إلى أبسط صورة. تتعرّف الحاسبة على فرق مربعين في البسط وعلى ثلاثية حدود قابلة للتحليل في المقام، فيشترك الطرفان في العامل $x + 3$ .

بعد الاختصار تذكر الحاسبة القيمتين المستبعدتين كلتيهما، $-3$ و $-2$ . لم تعد القيمة $-3$ تجعل المقام المختزل صفرًا، لكنها كانت مستبعدة من التعبير الأصلي، فتبقى مستبعدة.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\frac{x - 3}{x + 2}

كيف فهمنا مسألتك

بسّط العبارة النسبية إلى أبسط صورة.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

الحل خطوة بخطوة

اكتبها كسرًا واحدًا
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
حلّل البسط والمقام
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
اختصر العامل المشترك
العامل x + 3 يظهر في البسط والمقام معًا. واختصاره لا يغيّر القيمة في كل موضع تكون فيه العبارة الأصلية معرّفة.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
حدّد القيم المستبعدة
العبارة الأصلية غير معرّفة حيث يساوي أي مقام (أو مقسوم عليه) صفرًا: x ≠ -3, x ≠ -2. وتبقى هذه القيود قائمة حتى لو اختُصر العامل.

الصيغ المستخدمة

الاختصار
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

في أبسط صورة يكون الناتج (x - 3)/(x + 2). القيم المستبعدة: x ≠ -3, x ≠ -2.

التحقق

قُورنت الصورة المبسّطة بالعبارة الأصلية عند أربع نقاط اختبار وتطابقتا.

شرح مفصّل

الجمع والطرح

لجمع التعابير الكسرية، أعد كتابتها على مقام مشترك. المقام المشترك الأصغر هو حاصل ضرب كل العوامل المختلفة للمقامات، كل منها مرفوع إلى أعلى قوة يظهر بها. في $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ يكون المقام المشترك الأصغر $(x - 1)(x + 1)$ ؛ ويُضرب كل بسط في العامل الذي ينقص مقامه، فنحصل على $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

يتبع الطرح النمط نفسه، لكن البسط الثاني يُطرح كاملًا، فضعه بين قوسين قبل توزيع إشارة السالب. وبعد الجمع، حلّل البسط الجديد لترى إن كان شيء منه يُختصر مع المقام المشترك الأصغر.

الضرب والقسمة

لا يحتاج الضرب إلى مقام مشترك. حلّل كل شيء أولًا، واختصر أي عامل يظهر في أي بسط وفي أي مقام، ثم اضرب ما تبقّى. الاختصار قبل الضرب يُبقي كثيرات الحدود صغيرة.

للقسمة، اضرب في مقلوب التعبير الثاني. وهذا يضيف قيدًا جديدًا: لا يجوز أن يكون بسط المقسوم عليه صفرًا، لأنه يصبح مقامًا بعد القلب. قسمة $\frac{x}{x + 2}$ على $\frac{x - 1}{x + 2}$ تعطي $\frac{x}{x - 1}$ ، مع استبعاد $x \neq -2$ و $x \neq 1$ كليهما.

لماذا تهم القيم المستبعدة

القيم المستبعدة ليست إجراءً شكليًا. يبدو التمثيل البياني لـ $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ مثل التمثيل البياني لـ $\frac{x - 3}{x + 2}$ ، لكن فيه ثقبًا عند $x = -3$ وخط تقارب رأسيًا عند $x = -2$ . وعند حل معادلات فيها تعابير كسرية، يكون الحل المرشّح المساوي لقيمة مستبعدة حلًا دخيلًا يجب رفضه.

أخطاء شائعة

اختصار الحدود بدلًا من العوامل، مثل شطب $x$ في $\frac{x + 2}{x}$ .
جمع البسطين والمقامين كلًّا على حدة: $\frac1x + \frac1y$ لا يساوي $\frac{2}{x + y}$ .
نسيان توزيع إشارة السالب على البسط الثاني كاملًا عند الطرح.
إسقاط القيم المستبعدة بعد اختصار عامل مشترك.
قلب الكسر الأول بدلًا من الثاني عند القسمة.

نصائح

حلّل كل بسط وكل مقام تحليلًا كاملًا قبل أي شيء آخر.
اكتب المقام المشترك الأصغر في صورته المحلّلة؛ فضربه مبكرًا يصعّب الاختصار.
اجمع القيم المستبعدة من كل مقام، بما في ذلك بسط المقسوم عليه، قبل أن تختصر.
تحقّق من النتيجة بالتعويض بقيمة مثل $x = 5$ في الصورة الأصلية والصورة المبسّطة.
استخدم حاسبة المجال والمدى لترى المجال الكامل للنتيجة.

الأسئلة الشائعة

كيف أبسّط تعبيرًا كسريًا؟

حلّل البسط والمقام تحليلًا كاملًا، واختصر أي عوامل مشتركة بينهما، واذكر قيم x التي تجعل المقام الأصلي صفرًا بوصفها قيمًا مستبعدة.

ما القيمة المستبعدة؟

قيمة للمتغير تجعل أحد المقامات صفرًا، فيكون التعبير غير معرّف عندها. وتبقى القيم المستبعدة من التعبير الأصلي مستبعدة بعد التبسيط.

كيف أجد المقام المشترك الأصغر؟

حلّل كل مقام إلى عوامل، واضرب معًا كل العوامل المختلفة، مستخدمًا أعلى قوة يظهر بها كل عامل في أي مقام منفرد.

لماذا لا يمكنني اختصار x في (x + 2)/x؟

في البسط يكون x حدًّا مجموعًا، لا عاملًا من عوامل البسط كله. ولا يُختصر إلا العوامل التي تضرب البسط كله والمقام كله.

كيف أقسم التعابير الكسرية؟

اضرب التعبير الأول في مقلوب التعبير الثاني، ثم حلّل واختصر. ويضيف بسط التعبير الثاني قيمًا مستبعدة جديدة لأنه يصبح مقامًا.

هل تتعامل الحاسبة مع أكثر من متغير؟

تعمل هذه الحاسبة مع التعابير الكسرية في متغير واحد. أما تعابير كثيرات الحدود في عدة متغيرات فاستخدم لها حاسبة التبسيط.

ما الفرق بين الثقب وخط التقارب؟

يظهر الثقب حيث يُختصر عامل من البسط والمقام معًا. ويظهر خط التقارب الرأسي حيث يبقى عامل في المقام بعد التبسيط.

بسّط تعبيرك الكسري

أدخل تعبيرًا كسريًا في الأعلى لترى النتيجة المبسّطة وقيمها المستبعدة وكل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة التعابير الكسرية