حاسبات التفاضل والتكامل
يدرس التفاضل والتكامل التغيّر والتراكم. فالمشتقة تقيس سرعة تغيّر الكمية، والتكامل يجمع أجزاءً صغيرة لإيجاد المساحات والمجاميع. تبيّن هذه الحاسبات القاعدة المطبّقة في كل خطوة وتتحقّق من كل نتيجة.
الحاسبات
حاسبة المشتقات
اعرف أي قاعدة اشتقاق تنطبق في كل مرحلة، بدءًا من العملية الخارجية نحو الداخل.
حاسبة التكامل
تكاملات غير محددة ومحددة مع ذكر الطريقة المستخدمة في كل خطوة، والتحقق من كل دالة أصلية قبل عرضها.
حاسبة التكامل المحدد
أدخل دالة وحدَّي تكامل لتحصل على القيمة الدقيقة للتكامل المحدد، مع الدالة الأصلية، والحساب F(b) − F(a)، وفي التكاملات المعتلة النهاية التي تحدد التقارب.
حاسبة النهايات
أدخل دالة والقيمة التي تقترب منها x لتجد النهاية، مع تحديد الصيغة غير المعيّنة، والقاعدة التي تحسمها، وفحص عددي يؤكد صحة الإجابة.
حاسبة المشتقات الجزئية
أدخل دالة في عدة متغيرات والمتغير أو تسلسل المتغيرات الذي يكون الاشتقاق بالنسبة إليه، لتحصل على المشتقة الجزئية مع عرض كل قاعدة، وقيمتها عند نقطة إن أردت.
حاسبة الاشتقاق الضمني
أدخل معادلة في x وy لتجد dy/dx بالاشتقاق الضمني، مع تطبيق قاعدة السلسلة على كل حد فيه y، والخطوات الجبرية التي تعزل y′، واختياريًا الميل والمماس عند نقطة.
حاسبة متسلسلة تايلور
أدخل دالة ومركزًا ورتبة لتكوّن كثيرة حدود تايلور لها، مع حساب كل مشتقة عند المركز، والمعاملات الدقيقة، وإن أعطيت قيمة لـ x، مقارنة التقريب بالقيمة الحقيقية.
حاسبة تقارب المتسلسلات
أدخل الحد العام لمتسلسلة لانهائية لتعرف هل تتقارب أم تتباعد، وأي اختبار يحسم ذلك ولماذا، مع المجموع الدقيق كلما كانت المتسلسلة هندسية.
الموضوعات المشمولة
- الاشتقاق
- قواعد القوة والضرب والقسمة والسلسلة، والمشتقات من رتب عليا، والتقييم عند نقطة.
- التكامل
- الدوال الأصلية، والتعويض، والتكامل بالتجزئة، والكسور الجزئية، والتكاملات المحدّدة.
- النهايات
- التعويض المباشر، وقاعدة لوبيتال، والنهايات من جهة واحدة، والنهايات عند اللانهاية.
- متعدد المتغيرات والاشتقاق الضمني
- المشتقات الجزئية والمشتقات الجزئية المختلطة وdy/dx من معادلة ضمنية.
- المتسلسلات
- كثيرات حدود تايلور وماكلورين واختبارات تقارب المتسلسلات اللانهائية.
كيف تعرض أدوات التفاضل والتكامل عملها
تُفكَّك كل مشتقة إلى القواعد التي تنتجها. تحدّد الحاسبة العملية الخارجية، وتطبّق القاعدة المناسبة لها، ثم تتقدّم إلى الداخل، فتعرض مسألة قاعدة السلسلة المشتقتين الخارجية والداخلية قبل ضربهما. وتذكر التكاملات الطريقة المستخدمة، سواء أكانت دالة أصلية أساسية أم تعويضًا أم تكاملًا بالتجزئة أم كسورًا جزئية، ويُتحقَّق من كل دالة أصلية باشتقاقها مرة أخرى.
تُحل النهايات بالتعويض المباشر عندما يكون ممكنًا، وإلا فبالتبسيط أو تطبيق قاعدة لوبيتال أو مقارنة معدلات النمو عند اللانهاية. وتعطي التكاملات المحدّدة قيمة دقيقة عندما توجد دالة أصلية، وقيمة عددية تقريبية موسومة بوضوح عندما لا توجد.
بناء الحدس
يصبح التفاضل والتكامل أسهل عندما تربط الرموز بالصور. فالمشتقة ميل المماس، والتكامل المحدّد مساحة ذات إشارة، وكثيرة حدود تايلور منحنى يلتصق بالدالة الأصلية قرب نقطة واحدة. استخدم حاسبة الرسم البياني إلى جانب هذه الأدوات لترى معنى كل نتيجة، ثم تحقّق من أن إشارة إجابتك ومقدارها يتّفقان مع الصورة.
الأدلة
- شرح قواعد الاشتقاق مع أمثلة محلولة
حساب المشتقات من تعريف النهاية بطيء. أما مجموعة صغيرة من القواعد، تُثبت كل واحدة منها مرة واحدة انطلاقًا من ذلك التعريف، فتتيح لك اشتقاق أي صيغة تقريبًا في بضعة أسطر. يشرح هذا الدليل كل قاعدة، ولماذا تنجح، وكيف تجمع بين القواعد.