حاسبة تقارب المتسلسلات: اختبارات النسبة والجذر والمقارنة

عن حاسبة تقارب المتسلسلات

الحكم على تقارب متسلسلة لانهائية مهارة تعتمد على اختيار الاختبار المناسب. فمقررات التفاضل والتكامل تدرّس سبعة منها على الأقل: اختبار الحد النوني، والمتسلسلات الهندسية، ومتسلسلات p، والمقارنة والمقارنة النهائية، واختبار النسبة، واختبار الجذر، واختبار التكامل، واختبار المتسلسلة المتناوبة. وكل منها يعمل ببراعة مع بعض المتسلسلات ولا يقول شيئًا على الإطلاق عن غيرها، والصعوبة في معرفة أيها تستخدم.

تطبق هذه الحاسبة الاختبارات بترتيب ثابت ومعقول، وتذكر أول اختبار يعطي إجابة قاطعة. فهي تتعرف على المتسلسلات الهندسية وتجمعها بدقة، وتتحقق هل تؤول الحدود إلى الصفر، وتتعامل مع الإشارات المتناوبة، وللحدود الموجبة تجرب اختبار النسبة، واختبار الجذر، والمقارنة مع متسلسلة p، وتكثيف كوشي، واختبار التكامل. وكل نهاية تحتاج إليها يحسبها محرك النهايات، الذي يتحقق من نفسه عدديًا.

وحين يعتمد اختبار على خاصية لا يمكن إثباتها رمزيًا، مثل تناقص الحدود في النهاية، تتحقق منها الحاسبة على أدلة كثيرة وتصرّح بذلك. وإذا لم يكن أي اختبار حاسمًا، أخبرتك بالاختبارات التي جُرِّبت بدلًا من التخمين. وفي المتسلسلات المتناوبة تميّز أيضًا بين التقارب المطلق والتقارب المشروط.

ماذا يعني أن تتقارب متسلسلة؟

المتسلسلة اللانهائية $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ هي مجموع عدد لا نهائي من الحدود. ولإعطائها معنى، انظر إلى المجاميع الجزئية $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ . فإذا اقتربت من نهاية منتهية $S$ كلما كبرت $N$ ، فالمتسلسلة تتقارب ومجموعها $S$ . وإذا كبرت بلا حدود أو ظلت تتذبذب، فالمتسلسلة تتباعد.

والتقارب دقيق لأنه يعتمد على سرعة تناقص الحدود، لا على مجرد تناقصها. فحدود $\sum \frac1n$ تؤول إلى الصفر، ومع ذلك تتجاوز المجاميع الجزئية كل عدد، لذا تتباعد المتسلسلة التوافقية. أما حدود $\sum \frac{1}{n^2}$ فتتناقص أسرع قليلًا فقط، وتلك المتسلسلة تتقارب إلى $\frac{\pi^2}{6}$ .

وفي معظم المتسلسلات يمكنك الحكم على التقارب دون إيجاد المجموع، وكثيرًا ما لا يكون للمجموع صيغة مغلقة بسيطة أصلًا. والمتسلسلات الهندسية هي الاستثناء الرئيسي: فكلما حقق الأساس المشترك $|r| < 1$ ، كان المجموع $\frac{a}{1-r}$ ، حيث $a$ الحد الأول.

كيف تستخدم حاسبة تقارب المتسلسلات

اكتب في خانة «الحد العام aₙ» الحد مستخدمًا n دليلًا، مثل 1/n^2 أو (-1)^(n+1)/n أو 2^n/n!.
تُدعم المضروبات (n!) والقوى والجذور واللوغاريتمات المكتوبة log بمعنى ln، و(−1)^n.
أدخل «دليل البداية»، أي أول قيمة لـ n في المجموع. وقيمته الافتراضية 1.
اضغط «اختبر التقارب» لترى الاختبارات التي طُبِّقت، والنهايات المحسوبة، والحكم.
في المتسلسلات الهندسية، اقرأ المجموع الدقيق من السطر الأخير.

الصيغ

المتسلسلة الهندسية

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

اختبار الحد النوني

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ تتباعد}

متسلسلة p

\sum \frac{1}{n^p} \text{ تتقارب} \iff p > 1

اختبار النسبة

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ تتقارب},\ L > 1 \text{ تتباعد}

اختبار الجذر

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ تتقارب},\ L > 1 \text{ تتباعد}

اختبار المتسلسلة المتناوبة

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ تتقارب}

مثال محلول: متسلسلة p‏ Σ 1/n²

يُحسب المثال المحلول أدناه مباشرةً لمتسلسلة p ‏ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ . فالحدود تؤول إلى 0، لذا فاختبار الحد النوني غير حاسم. ثم تقدّر الحاسبة سرعة تناقص الحدود وتقارنها بـ $\frac{1}{n^2}$ ؛ ونهاية النسبة 1، وهي عدد موجب منتهٍ.

وبحسب اختبار المقارنة النهائية تسلك المتسلسلة تمامًا مثل متسلسلة p ذات $p = 2$ ، التي تتقارب لأن $p > 1$ . والحكم أن المتسلسلة تتقارب. أما مجموعها، $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ ، فقد وجده أويلر عام 1734، لكن يمكن حسم التقارب دون معرفته.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{تتقارب} \approx 1.644934067

كيف فهمنا مسألتك

حدّد هل المتسلسلة Σ 1 / n² (n من 1 إلى ∞) تتقارب أم تتباعد.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

الحل خطوة بخطوة

اكتب المتسلسلة
Σ a(n) حيث n = 1, 2, 3، … مع a(n) = 1 / n^2. الحدود الأولى: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625، …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
اختبار الحد النوني
lim a(n) = 0، لذا فاختبار التباعد غير حاسم؛ فالحدود تتناقص فعلًا، ولذلك يلزم اختبار أدق.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
المقارنة النهائية مع متسلسلة p
حدود موجبة: تتناقص الحدود تقريبًا مثل 1/n^2 (تقدير من a(2N)/a(N))، لذا نقارن مع Σ 1/n^2: lim a(n)·n^2 = 1. والنهاية عدد موجب منتهٍ، لذا تسلك المتسلسلة تمامًا مثل متسلسلة p ‏Σ 1/n^2، التي تتقارب لأن p > 1.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
قدّر المجموع عدديًا
حُسبت المجاميع الجزئية S_N لعدة قيم N واستُكملت إلى N → ∞ (استكمال ريتشاردسون؛ تُؤخذ أولًا المتوسطات للحدود المتناوبة). يتفق استكمالان مستقلان بدقة أفضل من 10⁻¹⁰، ويعطيان S ≈ 1.644934067. أي صيغة مغلقة معروضة هي مطابقة عددية وليست برهانًا.

الصيغ المستخدمة

اختبار الحد النوني (اختبار التباعد)
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ تتباعد}$
متسلسلة p
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ تتقارب} \iff p > 1$

تتقارب المتسلسلة حين تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. ولكي يحدث ذلك يجب أن تؤول الحدود إلى 0، لكن هذا وحده لا يكفي (فالمتسلسلة التوافقية تتباعد)، لذا يُستخدم للحسم اختبار المقارنة أو النسبة أو الجذر أو المتسلسلة المتناوبة أو التكامل.

التحقق

المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ = 1.5497677، S₁₀₀ = 1.6349839، S₁₀₀₀ = 1.6439346، S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

شرح مفصّل

ابدأ بالاختبارات السريعة

ينبغي أن يأتي فحصان أولًا دائمًا لأنهما سريعان. فإذا كانت المتسلسلة هندسية، فالأساس $r$ يحسم كل شيء: فهي تتقارب عندما $|r| < 1$ وتحصل على المجموع فورًا. ففي $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ الحد الأول $a = -2$ و $r = -\frac23$ ، لذا فالمجموع $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ .

ثم اختبار الحد النوني. فإذا لم تقترب الحدود من الصفر، وجب أن تتباعد المتسلسلة، لأنك ستجمع كميات تبقى بحجم ثابت إلى الأبد. فـ $\sum \frac{n}{n+1}$ تتباعد بهذه الطريقة، لأن حدودها تقترب من 1. واحذر من العكس: فالحدود التي تقترب من الصفر لا تضمن التقارب، كما تبيّن المتسلسلة التوافقية.

اختبارا النسبة والجذر

يقارن اختبار النسبة كل حد بالحد الذي قبله. فإذا اقتربت النسبة $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ من نهاية $L < 1$ ، تتناقص الحدود في النهاية بسرعة لا تقل عن سرعة متسلسلة هندسية متقاربة، لذا تتقارب المتسلسلة. وإذا كانت $L > 1$ تكبر الحدود وتتباعد المتسلسلة. وإذا كانت $L = 1$ فالاختبار غير حاسم.

وهو الخيار الطبيعي للمضروبات والدوال الأسية. ففي $\sum \frac{2^n}{n!}$ تُبسَّط النسبة إلى $\frac{2}{n+1}$ ، وهي تؤول إلى 0، لذا تتقارب المتسلسلة. واختبار الجذر، المبني على $\sqrt[n]{|a_n|}$ ، مشابه ويعمل أفضل ما يكون حين يكون الحد كله مرفوعًا إلى القوة n. والاختباران كلاهما يعطيان دائمًا $L = 1$ لمتسلسلات p وللدوال الكسرية في $n$ ، لذا تلزم أدوات أخرى هناك.

المقارنة مع متسلسلات p

للحدود التي تسلك سلوك قوة لـ $n$ ، قارن مع $\sum \frac{1}{n^p}$ ، التي تتقارب إذا وفقط إذا كانت $p > 1$ . ويقول اختبار المقارنة النهائية إنه إذا اقتربت $\frac{a_n}{b_n}$ من عدد موجب منتهٍ، فللمتسلسلتين المصير نفسه. وتقدّر الحاسبة قيمة $p$ المناسبة من تغير الحدود حين تتضاعف $n$ ، ثم تحسب تلك النهاية بدقة.

لذا تتباعد $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ بالمقارنة مع $\sum \frac1n$ ، بينما تتقارب $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ تقاربًا مطلقًا، لأن $|\sin n| \le 1$ يعني أن حدودها محدودة بـ $\frac{1}{n^2}$ .

اللوغاريتمات: التكثيف واختبار التكامل

المتسلسلات التي فيها لوغاريتمات، مثل $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ ، تقع تمامًا على الحد الفاصل الذي تفشل عنده اختبارات النسبة والجذر والمقارنة البسيطة. وتكثيف كوشي يعالجها: فللحدود الموجبة المتناقصة، تتقارب $\sum a_n$ إذا وفقط إذا تقاربت $\sum 2^n a_{2^n}$ . وهنا حدود المتسلسلة المكثفة نحو $\frac{1.4427}{n}$ ، أي مضاعف للمتسلسلة التوافقية، لذا تتباعد المتسلسلة الأصلية.

ويصل اختبار التكامل إلى نتيجة من النوع نفسه بمقارنة المجموع بـ $\int f(x)\,dx$ ، حيث $f(n) = a_n$ موجبة ومتناقصة. والطريقتان كلتاهما تبيّنان مدى بطء تباعد متسلسلة: فالمجاميع الجزئية لـ $\sum \frac{1}{n \ln n}$ تنمو مثل $\ln(\ln N)$ ، التي تبقى أقل من 4 حتى بعد مليار حد.

المتسلسلات المتناوبة والتقارب المشروط

حين تتناوب الإشارات، يساعد التلاشي المتبادل. فاختبار المتسلسلة المتناوبة يقول إنه إذا تناقصت القيم المطلقة $b_n$ إلى الصفر، تتقارب المتسلسلة. والمتسلسلة التوافقية المتناوبة $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ تتقارب بهذا الاختبار إلى $\ln 2$ ، مع أن $\sum \frac1n$ تتباعد.

وهذا الجمع يُسمى التقارب المشروط. فإذا تقاربت متسلسلة القيم المطلقة أيضًا، كما في $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ ، فالتقارب مطلق، وهو أقوى: فالمتسلسلات المتقاربة تقاربًا مطلقًا يمكن إعادة ترتيبها دون تغيير المجموع، بينما لا يمكن ذلك في المتقاربة تقاربًا مشروطًا. وتذكر الحاسبة أي النوعين لديك.

أخطاء شائعة

استنتاج أن متسلسلة تتقارب لأن حدودها تقترب من الصفر.
معاملة $L = 1$ في اختبار النسبة أو الجذر على أنها حكم؛ فهي تعني أن الاختبار غير حاسم.
استخدام حد أول خاطئ في مجموع هندسي حين يبدأ الدليل من 1 بدلًا من 0.
تطبيق اختبار المتسلسلة المتناوبة دون التحقق من تناقص القيم المطلقة.
الخلط بين تقارب المتتالية $a_n$ وتقارب المتسلسلة $\sum a_n$ .
المقارنة في الاتجاه الخاطئ، مثل حصر متسلسلة من الأعلى بمتسلسلة متباعدة.

نصائح

ابدأ باختبار الحد النوني؛ فهو يحسم كثيرًا من المتسلسلات المتباعدة فورًا.
الجأ إلى اختبار النسبة كلما رأيت مضروبات أو $c^n$ .
للدوال الكسرية في $n$ ، قارن الدرجات: فالمتسلسلة تسلك سلوك $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ .
استخدم التكثيف أو اختبار التكامل حين تظهر اللوغاريتمات.
في المتسلسلات المتناوبة، اختبر التقارب المطلق أيضًا لتحدد نوع التقارب.
احسب بضعة مجاميع جزئية أولى عدديًا لتكوّن إحساسًا بما إذا كانت تستقر.

الأسئلة الشائعة

أي اختبار تقارب تستخدم الحاسبة؟

تجربها بالترتيب: المتسلسلة الهندسية، واختبار الحد النوني، واختبار المتسلسلة المتناوبة، ثم للحدود الموجبة اختبار النسبة، واختبار الجذر، والمقارنة النهائية مع متسلسلة p، وتكثيف كوشي، واختبار التكامل. ويُذكر أول اختبار حاسم.

هل يمكنها إيجاد مجموع المتسلسلة؟

تعطي المجموع الدقيق للمتسلسلات الهندسية، مثل −6/5 لـ Σ 3(−2/3)ⁿ بدءًا من n = 1. أما المتسلسلات الأخرى فتحكم على تقاربها فقط، لأن معظم المتسلسلات المتقاربة ليس لمجموعها صيغة مغلقة بسيطة.

لماذا تتباعد المتسلسلة التوافقية مع أن حدودها تؤول إلى الصفر؟

لأن الحدود تتناقص ببطء شديد. فتجميعها على صورة 1/2، ثم 1/3 + 1/4 > 1/2، ثم 1/5 + … + 1/8 > 1/2 وهكذا يبيّن أن المجاميع الجزئية تزداد في كل مرة بما لا يقل عن 1/2، لذا تكبر بلا حدود.

ما الفرق بين التقارب المطلق والتقارب المشروط؟

تتقارب المتسلسلة تقاربًا مطلقًا إذا تقارب مجموع |aₙ|. وتتقارب تقاربًا مشروطًا إذا كان تقاربها راجعًا فقط إلى تلاشي الإشارات، مثل المتسلسلة التوافقية المتناوبة.

كيف أكتب المضروبات والإشارات المتناوبة؟

اكتب n! للمضروب و(-1)^n أو (-1)^(n+1) للإشارات المتناوبة، مثل (-1)^(n+1)/n أو 2^n/n!. واستخدم log(n) للوغاريتم الطبيعي.

هل يؤثر دليل البداية في التقارب؟

لا. فتغيير موضع بدء المجموع يضيف عددًا منتهيًا من الحدود أو يحذفه، وهذا يغيّر المجموع لكنه لا يغيّر أبدًا كونها متقاربة. لكنه مهم في المجموع الهندسي، وفي حدود مثل 1/(n ln n) غير المعرّفة عند قيم n الصغيرة.

ماذا يحدث إذا لم ينجح أي اختبار؟

تسرد الحاسبة الاختبارات التي جربتها وتذكر أن أيًّا منها لم يكن حاسمًا. فهي لا تخمّن أبدًا. والحدود المتذبذبة مثل sin(n)، التي لا يمكن تحديد نهايتها، تُذكر أيضًا بوضوح.

ما متسلسلة p؟

هي متسلسلة على الصورة Σ 1/nᵖ. تتقارب حين p > 1 وتتباعد حين p ≤ 1. وهي المعيار القياسي لاختبارات المقارنة، وΣ 1/n مع p = 1 هي المتسلسلة التوافقية.

لماذا يفشل اختبار النسبة مع 1/n²؟

النسبة n²/(n + 1)² تقترب من 1، وهي الحالة غير الحاسمة. ويحدث الشيء نفسه لكل متسلسلة p، ولهذا تنتقل الحاسبة إلى اختبارات المقارنة لمثل هذه الحدود.

اختبر تقارب متسلسلتك

أدخل الحد العام في الأعلى لترى الاختبار الحاسم والنهايات المحسوبة والحكم، مع المجموع الدقيق للمتسلسلات الهندسية.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي