حاسبة متسلسلة تايلور

من أين تأتي المعاملات

افترض أن كثيرة حدود $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ يُراد لها أن تطابق $f$ عند $a$. فوضع $x = a$ يلغي كل حد ما عدا $c_0$، لذا $c_0 = f(a)$. والاشتقاق مرة واحدة ثم وضع $x = a$ يترك $c_1 = f'(a)$. والاشتقاق مرتين يترك $2c_2 = f''(a)$، وبوجه عام $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

هذا هو الاشتقاق كله، وهو يفسر المضروبات: فهي تلغي الثوابت التي تتراكم حين تُشتق $(x - a)^k$ عدد $k$ من المرات. وتعرض الحاسبة ذلك جدولًا لـ $f^{(k)}(a)$ و$\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ لكل $k$، وهو الجدول نفسه الذي كنت ستبنيه يدويًا.

أنماط في المتسلسلات القياسية

لـ $\sin x$ حول 0 تدور المشتقات عبر $\sin, \cos, -\sin, -\cos$، وقيمها عند 0 هي $0, 1, 0, -1$. فكل معامل لقوة زوجية صفر، وكثيرة الحدود من الرتبة 7 هي $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$. أما جيب التمام فيعطي القوى الزوجية بدلًا من ذلك: فحتى الرتبة 4 هو $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

ولـ $\ln x$ حول 1 تكون المشتقة ذات الرتبة $k$ هي $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$، لذا فالمعاملات $\pm\frac1k$ والمتسلسلة $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$. والتعرف على هذه الأنماط يتيح لك كتابة كثير من المتسلسلات دون حساب أي مشتقة، والتعويض فيها، كأن تضع $-x^2$ مكان $x$ في متسلسلة $e^x$.

ما دقة التقريب؟

تضع مبرهنة تايلور حدًّا للخطأ. فالباقي $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ يساوي $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ لعدد ما $c$ بين $a$ و$x$. وأمران يجعلانه صغيرًا: القرب من المركز، فتكون $(x - a)^{n+1}$ ضئيلة، والمضروب في المقام، الذي يتفوق في النهاية على أي قوة.

ومثال الجذر التربيعي يبيّن الأثر الأول. فكثيرة الحدود من الرتبة 3 لـ $\sqrt{x}$ حول 4 هي $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$. وعند $x = 4.1$ تعطي نحو 2.024845703 مقابل القيمة الحقيقية 2.024845673، أي خطأ قريب من $3\times10^{-8}$، لأن $0.1^4$ صغيرة جدًا أصلًا.

وبعيدًا عن المركز تتغير الصورة. ففي $\frac{1}{1-x}$ تطابق كثيرات الحدود جيدًا عند $x = 0.1$ لكنها عديمة الفائدة عند $x = 2$، لأن المتسلسلة لا تتقارب إلا عندما $|x| < 1$. وعند $x = 2$ تعطي كثيرة الحدود من الرتبة 5 القيمة 63 بينما تساوي الدالة $-1$، أي خطأ قدره 64 يكبر مع كل حد إضافي. وتقرير الخطأ في الحاسبة يجعل هذا مرئيًا: جرّب الدالة والرتبة نفسيهما عند نقطة قريبة ونقطة بعيدة وقارن.

اختيار المركز

اختر مركزًا يسهل عنده حساب الدالة ومشتقاتها ويقع قريبًا من الموضع الذي تحتاج فيه إلى التقريب. ففك $\sqrt{x}$ حول 4 طبيعي لأن $\sqrt4 = 2$ تمامًا. أما فك $\ln x$ حول 0 فمستحيل لأن الدالة غير معرّفة هناك، وفك $|x|$ حول 0 يفشل لأنها ليست لها مشتقة عند تلك النقطة؛ والحاسبة تشرح مثل هذه الحالات بدلًا من إنتاج كثيرة حدود بلا معنى.

كثيرات حدود تايلور في التطبيق

تقريب الزاوية الصغيرة $\sin\theta \approx \theta$ ليس سوى كثيرة حدود ماكلورين من الرتبة 1 للجيب، ودقته أفضل من 1% للزوايا التي تقل عن نحو 14 درجة. وصيغة زمن دورة البندول، وتقريب الأشعة القريبة من المحور في البصريات، وقانون النابض الخطي، كلها تأتي من الاحتفاظ بأول حد أو حدين فقط من مفكوك تايلور.

وكثيرات حدود تايلور تحوّل أيضًا المسائل الصعبة إلى سهلة. فنهاية مثل $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ تصبح واضحة بمجرد وضع $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ مكان $\cos x$، وتكامل ليست له دالة أصلية أولية، مثل $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$، يمكن تقريبه بتكامل كثيرة حدود حدًّا حدًّا.