متسلسلات تايلور: تقريب الدوال بكثيرات الحدود

الفكرة: مطابقة المشتقات

كثيرات الحدود أسهل الدوال تعاملًا. فيمكنك حساب قيمها بالجمع والضرب فقط، واشتقاقها أو تكاملها أمر روتيني. أما دوال مثل $e^x$ و$\sin x$ و$\ln x$ فحسابها يدويًا أصعب بكثير. وفكرة متسلسلة تايلور هي إيجاد كثيرة حدود تسلك سلوك الدالة قرب نقطة مختارة $a$.

أفضل مستقيم يمرّ بنقطة هو المماس، الذي يطابق قيمة الدالة ومشتقتها الأولى هناك. ويستطيع القطع المكافئ أن يطابق المشتقة الثانية أيضًا، فيتبع انحناء المنحنى. ويستطيع كثير الحدود التكعيبي أن يطابق المشتقة الثالثة كذلك، وهكذا. وكل مشتقة إضافية مطابَقة تجعل كثيرة الحدود تلتصق بالدالة على امتداد أوسع حول النقطة. والاستمرار إلى ما لا نهاية يعطي متسلسلة تايلور.

صيغة متسلسلة تايلور

اشتراط أن تساوي المشتقة رقم $n$ لكثيرة الحدود عند $a$ القيمة $f^{(n)}(a)$ يفرض أن يكون معامل $(x - a)^n$ هو $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. ويظهر المضروب لأن اشتقاق $(x - a)^n$ عدد $n$ من المرات يُنتج $n!$. والمتسلسلة كاملةً هي:

عندما $a = 0$، تُسمّى المتسلسلة متسلسلة ماكلورين، وتكون القوى ببساطة $x^n$. وكثيرة الحدود المكوّنة من الحدود حتى $(x - a)^n$ هي كثيرة حدود تايلور من الدرجة $n$، وتُكتب $P_n(x)$. والحدّان الأولان وحدهما هما التقريب الخطي بالمماس، ويُسمّى أيضًا التخطيط الخطي.

بناء متسلسلة e أس x

وضع $x = 1$ يعطي صيغة شهيرة للثابت نفسه: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$، وهي تبلغ 2.71828 بعد نحو اثني عشر حدًّا لأن المضروبات تنمو بسرعة كبيرة.

متسلسلات تستحق المعرفة

تظهر متسلسلات ماكلورين هذه باستمرار، ويمكن بناء معظم المتسلسلات الأخرى منها بالتعويض أو الضرب أو الاشتقاق أو التكامل:

متسلسلة الجيب لا تحتوي إلا على قوى فردية، وهذا يتّسق مع كونه دالة فردية، ومتسلسلة جيب التمام لا تحتوي إلا على قوى زوجية، وهذا يتّسق مع تماثله. واشتقاق متسلسلة الجيب حدًّا حدًّا يعطي متسلسلة جيب التمام، تمامًا كما ينبغي أن تكون مشتقة $\sin x$ هي $\cos x$.

وللتحقق، $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$، بينما القيمة الحقيقية $0.0998334$. فحدّان فقط يعطيان ست منازل عشرية صحيحة، ولهذا تستطيع الحاسبات حساب الدوال المثلثية بهذه السرعة بكثيرات حدود قصيرة.

النشر حول نقطة غير الصفر

اختيار $a$ قريبة من المُدخل الذي يهمّك يجعل التقريب يتقارب أسرع بكثير. ولتقدير $\sqrt{4.1}$، انشر $\sqrt{x}$ حول $a = 4$، حيث الجذر التربيعي سهل.

ما مقدار الخطأ؟

تعطي مبرهنة تايلور خطأ كثيرة حدود تايلور. فإذا كان $|f^{(n+1)}| \le M$ بين $a$ و$x$، فإن الباقي بعد الحدّ من الدرجة $n$ يحقّق:

في $e^{0.5}$ مع $n = 3$، المشتقة الرابعة هي $e^t \le e^{0.5} < 2$ على الفترة، فالخطأ لا يتجاوز $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. والخطأ الفعلي، $0.0029$، يقع ضمن هذا الحدّ. والحدّ مفيد بالاتجاه المعاكس أيضًا: فهو يخبرك بعدد الحدود الذي تحتاجه لضمان دقة معيّنة قبل أن تبدأ الحساب.

وفي المتسلسلات المتناوبة مثل متسلسلتي الجيب وجيب التمام، هناك تقدير أبسط: الخطأ لا يزيد على أول حدّ محذوف. والأفكار التي تقوم عليها هذه القاعدة مشروحة في اختبارات تقارب المتسلسلات.

أين تتقارب المتسلسلة

متسلسلة تايلور لا تساوي دالتها في كل مكان دائمًا. فالمتسلسلة الهندسية للدالة $\frac{1}{1 - x}$ لا تصلح إلا عندما $|x| < 1$؛ فعند $x = 2$ يكون الطرف الأيسر $-1$ بينما تنمو حدود المتسلسلة بلا حدود. ومجموعة قيم $x$ التي تتقارب عندها المتسلسلة فترة مركزها $a$، ونصف عرضها هو نصف قطر التقارب. ويُوجد عادةً باختبار النسبة.

متسلسلات $e^x$ و$\sin x$ و$\cos x$ تتقارب لكل $x$ حقيقي. ومتسلسلة $\ln(1 + x)$ تتقارب عندما $-1 < x \le 1$؛ وعند $x = 1$ تعطي النتيجة اللافتة $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$، وإن كانت تتقارب ببطء شديد.

فيمَ تُستخدم متسلسلات تايلور

• حساب قيم الدوال: تستخدم الحاسبات والبرمجيات تقريبات بكثيرات حدود وثيقة الصلة بكثيرات حدود تايلور.
• النهايات: استبدال $\sin x$ بـ $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ يبيّن أن $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ دون قاعدة لوبيتال.
• التكاملات التي ليست لها دالة أصلية أولية: تكامل متسلسلة $e^{-x^2}$ حدًّا حدًّا يعطي $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$، وهي قريبة من القيمة الحقيقية $0.7468$.
• الفيزياء: تقريب الزاوية الصغيرة $\sin\theta \approx \theta$ المستخدم في البندول هو الحدّ الأول من متسلسلة الجيب.
• صيغة أويلر $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$، التي تنتج من مقارنة المتسلسلات الثلاث.

تنشر حاسبة متسلسلات تايلور أي دالة إلى رتبة مختارة حول أي نقطة وتعرض كل مشتقة. ومهارات الاشتقاق أساسية هنا، لذا فإن شرح قواعد الاشتقاق رفيق مفيد.

وصفة لأي كثيرة حدود تايلور

1. اختر المركز $a$: نقطة قريبة من حيث تحتاج إلى القيم، ويسهل عندها حساب الدالة ومشتقاتها.
2. اشتقّ الدالة بعدد مرات يساوي الدرجة التي تريدها، وبسّط كل مشتقة.
3. احسب كل مشتقة عند $a$.
4. اقسم القيمة رقم $n$ على $n!$ لتحصل على كل معامل.
5. اكتب كثيرة الحدود بقوى $(x - a)$، لا بقوى $x$، إلا إذا كان $a = 0$.
6. تحقّق من المعامل الأول: يجب أن تساوي $P_n(a)$ القيمة $f(a)$، وأن يساوي ميل $P_n$ عند $a$ القيمة $f'(a)$.

كثيرًا ما يكون بناء متسلسلة جديدة من متسلسلة معروفة أسرع من الاشتقاق المتكرر. فمثلًا، استبدال $x$ بـ $-x^2$ في متسلسلة $e^x$ يعطي فورًا $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$، وضرب متسلسلة الجيب في $x$ يعطي متسلسلة $x\sin x$.

رؤية التقريبات على الرسم البياني

ارسم $\cos x$ مع كثيرات حدود تايلور الخاصة بها من الدرجات 2 و4 و6، فيظهر نمط واضح. كثيرة الحدود من الدرجة 2، وهي قطع مكافئ مفتوح إلى الأسفل، تطابق منحنى جيب التمام جيدًا قرب الصفر لكنها تبتعد عنه بعد نحو وحدة واحدة. وكثيرة الحدود من الدرجة 4 تبقى قريبة مدة أطول، وكثيرة الحدود من الدرجة 6 تتبع المنحنى عبر معظم قوسه الأول. وكل كثيرة حدود تنطلق في النهاية نحو اللانهاية، لأنه لا توجد كثيرة حدود تتذبذب إلى الأبد، لكن إضافة الحدود تدفع نقطة الافتراق أبعد فأبعد، وهذا بالضبط ما يعنيه تقارب المتسلسلة عمليًا.

هذه الصورة أفضل طريقة لبناء الحدس: التقريب ممتاز قرب المركز ويسوء مع الابتعاد عنه. ويمكن لـحاسبة الرسم البياني رسم دالة وعدة كثيرات حدود تايلور الخاصة بها معًا لتشاهدها وهي تتقارب.

الأسئلة الشائعة