يدرس التفاضل والتكامل التغيّر والتراكم. تشرح هذه الأدلة النهايات والمشتقات والتكاملات والمتسلسلات بأمثلة محلولة وبالمنطق الذي يجعل كل قاعدة تعمل.
تقوم كل فكرة في التفاضل والتكامل على ما قبلها. فالنهايات تعرّف المشتقة، والمشتقات تعطي قواعد معدلات التغيّر، والتكاملات تعكس الاشتقاق وتقيس المساحة المتراكمة، والمتسلسلات تقرّب الدوال بكثيرات الحدود. وتسلك أدلة هذا القسم هذا المسار.
إلى جانب القواعد ستجد أسبابها، وأمثلة محلولة بالكامل، وطرق التحقق التي تكشف معظم الأخطاء: اشتقّ الدالة الأصلية لتتأكّد منها، أو قارن كثيرة حدود تايلور بالدالة عند نقطة قريبة. وتعرض حاسبات المشتقات والتكاملات والنهايات والمتسلسلات عملًا مطابقًا خطوة بخطوة.
يكافئ التفاضل والتكامل أيضًا الدقة في الرموز. فكتابة أمام ما تشتقّه، والإبقاء على في كل تكامل غير محدّد، وذكر فترة التقارب لكل متسلسلة عادات صغيرة تمنع معظم الدرجات الضائعة، والأمثلة المحلولة تطبّق كلًّا منها.
ينبغي للطلاب المبتدئين قراءة دليل النهايات، ثم ما المشتقة وقواعد الاشتقاق، قبل الانتقال إلى التكاملات والمتسلسلات.
التفاضل والتكامل
تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب مُدخلها من عدد ما، سواء بلغت الدالة تلك القيمة فعلًا أم لا. والنهايات أساس المشتقات والتكاملات والمتسلسلات اللانهائية، لذا فإن حسابها بثقة هو أول مهارة حقيقية في التفاضل والتكامل.
التفاضل والتكامل
تقيس مشتقة الدالة سرعة تغيّر مخرجها عندما يتغيّر مُدخلها، في لحظة واحدة. وهي بيانيًا ميل المماس، وجبريًا نهاية متوسطات معدل التغيّر على فترات تصغر شيئًا فشيئًا.
التفاضل والتكامل
حساب المشتقات من تعريف النهاية بطيء. أما مجموعة صغيرة من القواعد، تُثبت كل واحدة منها مرة واحدة انطلاقًا من ذلك التعريف، فتتيح لك اشتقاق أي صيغة تقريبًا في بضعة أسطر. يشرح هذا الدليل كل قاعدة، ولماذا تنجح، وكيف تجمع بين القواعد.
التفاضل والتكامل
يجمع التكامل عددًا لانهائيًا من القطع الصغيرة جدًا ليجد مجموعًا كليًا: مساحة، أو مسافة، أو حجمًا، أو أي كمية متراكمة. وتربط المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل عملية الجمع هذه بالدوال الأصلية، وهذا ما يجعل حساب التكاملات عمليًا.
التفاضل والتكامل
التكامل غير المحدد عائلة من الدوال، هي الدوال الأصلية، ويُكتب مع ثابت $+ C$. أما التكامل المحدد فله حدّا تكامل ويُنتج عددًا واحدًا، هو مساحة ذات إشارة أو مجموع متراكم. وتتيح لك المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل حساب الثاني انطلاقًا من الأول.
التفاضل والتكامل
يجد الاشتقاق الضمني dy/dx لمنحنيات معرّفة بمعادلة في x وy، دون أن تحلّها أولًا لإيجاد y. فتشتقّ الطرفين بالنسبة إلى x، وتعامل y على أنها دالة في x فتنطبق قاعدة السلسلة، ثم تحلّ لإيجاد dy/dx.
التفاضل والتكامل
تعيد متسلسلة تايلور كتابة الدالة على صورة كثيرة حدود لانهائية مبنية من مشتقاتها عند نقطة واحدة. وقطع المتسلسلة بعد بضعة حدود يعطي كثيرة حدود تايلور، وهي تقريب سهل الحساب يمكن وضع حدّ لخطئه.
التفاضل والتكامل
تتقارب المتسلسلة اللانهائية عندما تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. وبدلًا من حساب ذلك العدد، تحسم اختبارات التقارب ما إذا كان موجودًا، وكل اختبار يناسب شكلًا معيّنًا من الحدود. والمهارة الحقيقية هي معرفة أي اختبار يلائم أي متسلسلة.