النهايات في التفاضل والتكامل: دليل عملي

فكرة النهاية

خذ $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. عند $x = 3$ تعطي الصيغة $\frac{0}{0}$، فتكون $f(3)$ غير معرّفة. ومع ذلك، إذا حسبت $f$ عند 2.9 و2.99 و3.01 و3.1، فستحصل على 5.9 و5.99 و6.01 و6.1. فالمخرجات تقترب من 6. نقول إن نهاية $f(x)$ عندما يقترب $x$ من 3 هي 6، ونكتب:

قيمة الدالة عند النقطة نفسها لا علاقة لها بالنهاية. المهم هو السلوك بالقرب منها فقط. وبيانيًا، رسم $f$ هو المستقيم $y = x + 3$ وفيه ثقب عند $(3, 6)$، والنهاية هي ارتفاع هذا الثقب.

بصورة غير رسمية، يعني $\lim_{x \to a} f(x) = L$ أنه يمكن جعل $f(x)$ قريبة من $L$ بالقدر الذي تريده بأخذ $x$ قريبًا بما يكفي من $a$، دون أن يساويه. والصيغة الدقيقة لهذه الجملة، أي تعريف إبسيلون-دلتا، تحوّلها إلى عبارة يمكن إثباتها.

الطريقة 1: التعويض المباشر

كثيرات الحدود، والدوال النسبية حيث لا يكون المقام صفرًا، والجذور، والدوال الأسية، واللوغاريتمات، والدوال المثلثية كلها متصلة على مجالاتها. وفي الدوال المتصلة تكون النهاية ببساطة قيمة الدالة، فعوّض مباشرةً.

فمثلًا، $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$، و$\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. جرّب التعويض أولًا دائمًا. فإذا أعطى عددًا حقيقيًا، فقد انتهيت. وإذا أعطى عددًا غير صفري على صفر، فالنهاية لانهائية أو غير موجودة. ولا تحتاج إلى عمل إضافي إلا $\frac{0}{0}$ وما يشبهها من الصيغ غير المعيّنة.

الطريقة 2: حلّل واختصر

إذا أعطى التعويض $\frac{0}{0}$ في دالة نسبية، فإن البسط والمقام يشتركان في العامل $(x - a)$. حلّل كليهما، واختصر، ثم عوّض مرة أخرى.

الاختصار جائز لأن النهاية لا تستخدم أبدًا القيمة عند $x = a$ نفسها. ويغطي دليل التحليل إلى عوامل التقنيات التي تحتاجها هنا.

الطريقة 3: الضرب في المرافق

عندما يكون الجذر التربيعي هو سبب $\frac{0}{0}$، اضرب البسط والمقام في العبارة المرافقة، فيزول الجذر بفضل الفرق بين مربعين.

النهايات من جهة واحدة ومتى لا توجد النهاية

تنظر النهاية من جهة واحدة إلى المُدخلات من اتجاه واحد فقط: $x \to a^-$ من اليسار و$x \to a^+$ من اليمين. ولا توجد النهاية من الجهتين إلا إذا وُجدت النهايتان من جهة واحدة وكانتا متساويتين.

في $f(x) = \frac{|x|}{x}$، يعطي كل مُدخل موجب 1 ويعطي كل مُدخل سالب $-1$. لذا $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ و$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. وهما مختلفتان، فلا توجد $\lim_{x \to 0} f(x)$. والدوال المتعددة التعريف أكثر مصادر هذا السلوك شيوعًا، فتحقّق دائمًا من الجهتين عند الحدّ الفاصل بين قطعتين.

وقد لا توجد النهاية أيضًا لأن الدالة تتذبذب. فعندما $x \to 0$، تتأرجح $\sin\frac{1}{x}$ بين $-1$ و1 عددًا لانهائيًا من المرات ولا تستقر على أي قيمة.

النهايات اللانهائية والنهايات عند اللانهاية

إذا نمت الدالة بلا حدود قرب $a$، نكتب النهاية $\infty$، كما في $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. وبالمعنى الدقيق لا توجد النهاية عددًا، لكن الرمز يسجّل طريقة عدم وجودها، ويدلّ على خط تقارب رأسي عند $x = a$.

تصف النهايات عندما $x \to \infty$ السلوك على المدى البعيد وخطوط التقارب الأفقية. وفي الدوال النسبية، اقسم كل حد على أعلى قوة للمتغير $x$ في المقام:

إذا كانت درجة المقام أعلى، فالنهاية 0؛ فمثلًا $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. وإذا كانت درجة البسط أعلى، فالدالة تنمو بلا حدود. وهناك نهاية شهيرة عند اللانهاية تعرّف ثابتًا: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

النهايات المثلثية الخاصة ومبرهنة الشطيرة

نهايتان تقوم عليهما كل مشتقات الدوال المثلثية:

يعطي التعويض $\frac{0}{0}$ في كلتيهما، ولا يكفي الجبر وحده لإزالتها. عدديًا، $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ و$\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$، وهذا يوحي بالإجابة، ويثبتها برهان هندسي بمبرهنة الشطيرة. ويجب أن تكون الزاوية بالراديان.

تنص مبرهنة الشطيرة على أنه إذا كان $g(x) \le f(x) \le h(x)$ قرب $a$ واقتربت كلٌّ من $g$ و$h$ من $L$، فإن $f$ تقترب من $L$ أيضًا. فمثلًا، $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$، وكلا الحدّين يقترب من 0، لذا $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$ مع أن $\sin\frac{1}{x}$ وحدها ليست لها نهاية.

قاعدة لوبيتال

عندما تكون النهاية على الصورة $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$، وتكون الدالتان قابلتين للاشتقاق قرب النقطة، يمكنك استبدال البسط والمقام بمشتقتيهما: $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$، بشرط أن توجد النهاية الجديدة.

اشتقّ البسط والمقام كلًّا على حدة. فقاعدة لوبيتال ليست قاعدة مشتقة القسمة، ولا تنطبق إلا على الصيغ غير المعيّنة.

النهايات والاتصال والمشتقات

تكون الدالة متصلة عند $a$ عندما $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: أي توجد النهاية، والدالة معرّفة هناك، والقيمتان متساويتان. والمشتقة نفسها نهاية، $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$، تبدأ دائمًا على الصورة $\frac{0}{0}$؛ انظر ما المشتقة. والتكاملات وتقارب المتسلسلات معرّفة بالنهايات أيضًا.

تحسب حاسبة النهايات النهايات من جهة واحدة ومن الجهتين، بما فيها النهايات عند اللانهاية، وتبيّن الطريقة التي استخدمتها. وللتحقق من النهاية بصريًا، تتيح لك حاسبة الرسم البياني تكبير الرسم حول النقطة.

قوانين النهايات

تتوافق النهايات جيدًا مع العمليات الحسابية. فإذا وُجدت $\lim f(x)$ و$\lim g(x)$ كلتاهما، فإن نهاية المجموع هي مجموع النهايتين، ونهاية حاصل الضرب هي حاصل ضرب النهايتين، ونهاية خارج القسمة هي خارج قسمة النهايتين ما دامت نهاية المقام ليست صفرًا. والمضاعفات الثابتة والقوى تمر بالطريقة نفسها. وهذه القوانين هي سبب نجاح التعويض المباشر في الدوال المتصلة: فكثيرة الحدود مبنية من مجاميع ونواتج ضرب للمتغير $x$ والثوابت، فتُبنى نهايتها بالطريقة نفسها.

تتطلّب القوانين وجود كل نهاية على حدة. فنهاية $x\sin\frac{1}{x}$ عند 0 هي 0، لكن لا يمكنك الحصول عليها بضرب النهايتين، لأن $\sin\frac{1}{x}$ ليست لها نهاية هناك. ومثل هذه الحالات تحتاج إلى مبرهنة الشطيرة بدلًا من ذلك.

استراتيجية تصلح لمعظم المسائل

1. عوّض. فإن حصلت على عدد حقيقي فهو الإجابة.
2. عدد غير صفري على صفر: تحقّق من الإشارة من كل جهة لتحسم بين $\infty$ أو $-\infty$ أو عدم وجود النهاية.
3. صفر على صفر مع كثيرات الحدود: حلّل واختصر.
4. صفر على صفر مع الجذور التربيعية: اضرب في المرافق.
5. صفر على صفر مع الدوال المثلثية: أعد الكتابة مستخدمًا $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
6. النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة في المقام.
7. إذا تعثّر الجبر، فاستخدم قاعدة لوبيتال، أو تحقّق عدديًا بقيم من الجهتين.

تمارين مع إجاباتها: $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$، بتحليل الفرق بين مكعبين. و$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$، بكتابتها على الصورة $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$. و$\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$، بقسمة البسط والمقام على $x$.

الأسئلة الشائعة