اختبارات تقارب المتسلسلات، مع استراتيجية للاختيار بينها

المتسلسلات والمجاميع الجزئية والتقارب

المتسلسلة اللانهائية مجموع عدد لانهائي من الحدود، $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$، ويُكتب $\sum a_n$. ولا يمكنك جمع عدد لانهائي من الأعداد مباشرةً، لذا تجمع أول $N$ منها لتحصل على المجموع الجزئي $S_N$، ثم تسأل ماذا يحدث عندما يكبر $N$. فإذا اقتربت المجاميع الجزئية من نهاية منتهية $S$، فالمتسلسلة متقاربة ومجموعها $S$. وإلا فهي متباعدة.

جمع عدد لانهائي من الأعداد الموجبة قد يعطي مجموعًا منتهيًا. فالمتسلسلة $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ مجاميعها الجزئية $0.5$ و$0.75$ و$0.875$ وهكذا، وكل منها يقطع نصف المسافة المتبقية نحو 1، فمجموعها 1 بالضبط. تخيّل أنك تمشي نحو جدار، وكل خطوة تقطع نصف المسافة المتبقية: تخطو عددًا لانهائيًا من الخطوات لكنك لا تقطع أبدًا أكثر من المسافة الأصلية. والموضوع كله قائم على النهايات، مطبّقةً على متتالية المجاميع الجزئية.

المتسلسلات الهندسية

في المتسلسلة الهندسية يُضرب كل حدّ في النسبة نفسها $r$ للحصول على الحدّ التالي. وهي من الأنواع القليلة من المتسلسلات التي يمكنك كتابة مجموعها بدقة:

إذا كان $|r| \ge 1$، فالحدود لا تتناقص نحو الصفر والمتسلسلة متباعدة. فمثلًا، $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ فيها $a = 3$ و$r = \frac{1}{3}$، فمجموعها $\frac{3}{2/3} = 4.5$. والكسور العشرية الدورية متسلسلات هندسية متنكّرة: $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$.

اختبار التباعد

إذا لم تقترب الحدود $a_n$ من 0، فالمتسلسلة متباعدة. وينبغي أن يكون هذا دائمًا فحصك الأول، لأنه يستغرق ثوانيَ. فمثلًا، $\sum\frac{n}{n + 1}$ متباعدة لأن حدودها تقترب من 1، فأنت تظل تضيف ما يقارب 1 إلى الأبد.

العكس غير صحيح، وهذا أشيع تصوّر خاطئ عن المتسلسلات. فاقتراب الحدود من الصفر لا يضمن التقارب. والمتسلسلة التوافقية $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ تتناقص حدودها نحو 0، ومع ذلك فهي متباعدة. اجمع حدودها في مجموعات: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$، والحدود الأربعة التالية مجموعها أكبر من $\frac{1}{2}$، والثمانية التالية أكبر من $\frac{1}{2}$، وهكذا. وجمع عدد لانهائي من الأنصاف يعطي مجموعًا غير محدود. غير أن النمو بطيء جدًا: فأول مليون حدّ لا يتجاوز مجموعها نحو 14.4.

متسلسلات p واختبار التكامل

متسلسلة p صورتها $\sum\frac{1}{n^p}$. وسلوكها يعتمد على $p$ وحده:

إذن $\sum\frac{1}{n^2}$ متقاربة، ومجموعها الشهير $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$، بينما $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ متباعدة. ويستخدم البرهان اختبار التكامل: إذا كانت $f$ موجبة ومتصلة ومتناقصة مع $f(n) = a_n$، فإن $\sum a_n$ و$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ إما متقاربان معًا أو متباعدان معًا. وبما أن $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ منتهٍ و$\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ لانهائي، تنتج الحالتان الأساسيتان. وهذه التكاملات المعتلّة محلولة في التكامل المحدد والتكامل غير المحدد.

اختبارات المقارنة

تحسم اختبارات المقارنة أمر المتسلسلة بربطها بمتسلسلة تعرفها من قبل، وغالبًا ما تكون هندسية أو متسلسلة p. وفي المتسلسلات ذات الحدود الموجبة:

• المقارنة المباشرة: إذا كان $0 \le a_n \le b_n$ وكانت $\sum b_n$ متقاربة، فإن $\sum a_n$ متقاربة أيضًا. وإذا كان $a_n \ge b_n \ge 0$ وكانت $\sum b_n$ متباعدة، فإن $\sum a_n$ متباعدة أيضًا.
• المقارنة بالنهاية: إذا كانت $\lim\frac{a_n}{b_n}$ عددًا موجبًا منتهيًا، فالمتسلسلتان تسلكان السلوك نفسه.

لاختيار متسلسلة للمقارنة، احتفظ بأعلى قوة لـ $n$ فقط في البسط وفي المقام. وما يتبقّى يخبرك بمتسلسلة p أو المتسلسلة الهندسية التي تقارن بها.

اختبارا النسبة والجذر

ينظر اختبار النسبة في كيفية مقارنة كل حدّ بالحدّ الذي قبله. لتكن $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. إذا كان $L < 1$ فالمتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا، وإذا كان $L > 1$ فهي متباعدة، وإذا كان $L = 1$ فالاختبار لا يعطي أي معلومة. وهو الخيار الطبيعي للمتسلسلات التي تحتوي على مضروبات أو قوى مثل $2^n$.

يستخدم اختبار الجذر $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ بالاستنتاجات نفسها، ويناسب الحدود المرفوعة إلى القوة $n$. ففي $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$، الجذر من الرتبة $n$ هو $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$، فالمتسلسلة متقاربة.

المتسلسلات المتناوبة

المتسلسلة المتناوبة تتبدّل إشارتها مع كل حدّ. وينصّ اختبار المتسلسلات المتناوبة على أنه إذا تناقصت القيم المطلقة للحدود واقتربت من 0، فالمتسلسلة متقاربة. لذلك فالمتسلسلة التوافقية المتناوبة $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ متقاربة، ومجموعها $\ln 2 \approx 0.6931$.

وهناك فائدة إضافية: الخطأ بعد التوقف عند أي حدّ لا يزيد على أول حدّ متروك. فالتوقف في المتسلسلة التوافقية المتناوبة بعد 99 حدًّا يعطي $\ln 2$ بخطأ لا يتجاوز $\frac{1}{100}$.

تتقارب المتسلسلة تقاربًا مطلقًا إذا كانت $\sum|a_n|$ متقاربة، وتقاربًا مشروطًا إذا لم تتقارب إلا بفضل تلاشي الإشارات المتعاكسة. والمتسلسلة التوافقية المتناوبة متقاربة تقاربًا مشروطًا، لأنها بلا إشارات هي المتسلسلة التوافقية المتباعدة. والتقارب المطلق هو الخاصية الأقوى: فإعادة ترتيب حدود متسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا لا تغيّر مجموعها أبدًا، بينما يمكن إعادة ترتيب متسلسلة متقاربة تقاربًا مشروطًا ليصبح مجموعها أي عدد تشاء.

استراتيجية لاختيار الاختبار

1. هل تقترب الحدود من 0؟ إن لم تقترب، فالمتسلسلة متباعدة.
2. هل هي هندسية أو متسلسلة p؟ طبّق القاعدة المعروفة.
3. هل تحتوي على مضروبات أو قوى أسّها $n$ مثل $3^n$؟ استخدم اختبار النسبة.
4. هل الحدّ كله مرفوع إلى القوة $n$؟ استخدم اختبار الجذر.
5. هل هو دالة نسبية في $n$ أو ما شابه؟ استخدم المقارنة بالنهاية مع متسلسلة p.
6. هل تتناوب الإشارات؟ استخدم اختبار المتسلسلات المتناوبة، ثم تحقّق من التقارب المطلق.
7. هل الحدّ دالة يسهل تكاملها؟ فكّر في اختبار التكامل.

تطبّق حاسبة تقارب المتسلسلات هذه الاختبارات، وتبيّن أيها يحسم المسألة، وتقدّر المجموع. ومتسلسلات القوى، التي تحتوي حدودها على $x$، تُعالَج بالطريقة نفسها: يعطي اختبار النسبة نصف قطر التقارب، ويُفحص الطرفان كلٌّ على حدة، وبهذا تُوجد الفترات الواردة في دليل متسلسلات تايلور.

المتسلسلات المتداخلة ومسائل للتدريب

المتسلسلة المتداخلة (التلسكوبية) هي التي تنطوي مجاميعها الجزئية لأن الحدود المتجاورة يلغي بعضها بعضًا. فكتابة $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ تبيّن أن المجموع الجزئي $S_N$ يساوي $1 - \frac{1}{N + 1}$، وهو يقترب من 1. واكتشاف نمط التداخل، وغالبًا بالكسور الجزئية، يعطي المجموع الدقيق بدلًا من مجرد إجابة بنعم أو لا.

اختبر نفسك في هذه المتسلسلات قبل مراجعة الإجابات: $\sum\frac{5}{4^n}$ هندسية نسبتها ربع ومتقاربة؛ و$\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ متباعدة باختبار التباعد لأن حدودها تقترب من 1؛ و$\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ متقاربة لأنها متسلسلة p فيها $p > 1$؛ و$\sum\frac{3^n}{n!}$ متقاربة باختبار النسبة؛ و$\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ متقاربة تقاربًا مشروطًا، لأن اختبار المتسلسلات المتناوبة ينطبق عليها لكن متسلسلة القيم المطلقة متسلسلة p متباعدة.

الأسئلة الشائعة