ما المشتقة؟ مقدمة واضحة

من المعدل المتوسط إلى المعدل اللحظي

إذا قطعت سيارة 120 كم في 2 ساعة، فسرعتها المتوسطة 60 كم في الساعة. لكن هذا العدد لا يقول شيئًا عن السرعة التي يعرضها العدّاد في لحظة بعينها، فربما كانت 0 عند إشارة المرور أو 100 على الطريق السريع. والمشتقة هي الصورة الرياضية لقراءة العدّاد: معدل التغيّر في لحظة واحدة لا على فترة.

لأي دالة $f$، يكون معدل التغيّر المتوسط بين $x$ و$x + h$ هو ميل المستقيم المارّ بهاتين النقطتين على الرسم، ويُسمّى القاطع:

وللحصول على المعدل اللحظي، صغّر الفترة. فعندما يقترب $h$ من 0، يدور القاطع نحو المماس، أي المستقيم الذي يمسّ المنحنى عند النقطة. ونهاية ميول القواطع هي المشتقة.

التعريف الدقيق

مشتقة $f$ عند $x$ هي

بشرط أن توجد النهاية. وعندما توجد، نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x$. ولا يمكنك ببساطة وضع $h = 0$ في الكسر، لأن ذلك يعطي $\frac{0}{0}$. بل بسّط جبريًا حتى يُختصر $h$ الذي في المقام، ثم خذ النهاية. وإذا كانت النهايات جديدة عليك، فإن دليلنا إلى النهايات يشرح الفكرة أولًا.

الرموز

هناك عدة رموز شائعة الاستخدام، وكلها تعني الشيء نفسه. يكتب رمز الشرطة عند لاغرانج $f'(x)$. ويكتب رمز لايبنتس $\frac{dy}{dx}$ أو $\frac{d}{dx}f(x)$، وهو يذكّرك بأن المشتقة نسبة بين تغيّرات صغيرة ويجعل قاعدة السلسلة تبدو طبيعية. وكثيرًا ما يكتب الفيزيائيون نقطة، $\dot{x}$، للمشتقة بالنسبة إلى الزمن.

تطبيق الاشتقاق مرتين يعطي المشتقة الثانية، وتُكتب $f''(x)$ أو $\frac{d^2y}{dx^2}$. فإذا كانت $s(t)$ هي الموضع، فإن $s'(t)$ هي السرعة و$s''(t)$ هي التسارع.

ماذا تخبرك المشتقة عن الرسم البياني

• حيث $f'(x) > 0$، تكون الدالة متزايدة.
• حيث $f'(x) < 0$، تكون متناقصة.
• حيث $f'(x) = 0$، يكون المماس أفقيًا؛ وتقع القيم العظمى والصغرى المحلية عند مثل هذه النقاط (أو حيث لا توجد $f'$).
• حيث $f''(x) > 0$، يكون الرسم مقعّرًا إلى الأعلى، منحنيًا كالكوب؛ وحيث $f''(x) < 0$، يكون مقعّرًا إلى الأسفل.

القواعد التي تجعل هذا سريعًا، مثل قاعدة القوة المستخدمة هنا، مشروحة في شرح قواعد الاشتقاق.

مثال فيزيائي: حجر يسقط

حجر أُفلت من السكون يسقط مسافة $s(t) = 4.9t^2$ مترًا بعد $t$ ثانية، مع إهمال مقاومة الهواء. وبين $t = 1$ و$t = 3$ ينتقل من 4.9 م إلى 44.1 م، فتكون سرعته المتوسطة $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ م/ث.

وسرعته اللحظية هي المشتقة، $s'(t) = 9.8t$ م/ث. وعند $t = 2$ تساوي 19.6 م/ث، وهي بالضبط السرعة المتوسطة على الفترة من 1 إلى 3 ثوانٍ؛ ففي الدالة التربيعية يساوي المعدل المتوسط على فترة دائمًا المعدل اللحظي عند منتصفها. والمشتقة الثانية، $s''(t) = 9.8$ م/ث²، هي التسارع الثابت الناتج عن الجاذبية.

الوحدات وسيلة جيدة للتحقق من أي مشتقة. فمشتقة كمية مقيسة بالأمتار بالنسبة إلى الزمن بالثواني تُقاس بالأمتار في الثانية. وفي الاقتصاد، مشتقة التكلفة الكلية بالدولارات بالنسبة إلى الكمية المنتَجة هي التكلفة الحدّية، بالدولارات لكل وحدة.

متى لا توجد المشتقة

لا تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة إذا لم توجد هناك نهاية خارج قسمة الفروق. ويظهر ذلك على الرسم بأربع صور:

• زاوية حادّة، مثل $|x|$ عند 0، حيث الميل $-1$ من اليسار و$+1$ من اليمين.
• نتوء مدبّب، مثل $x^{2/3}$ عند 0، حيث يصبح الميلان شديدَي الانحدار إلى ما لا نهاية في اتجاهين متعاكسين.
• مماس رأسي، مثل $\sqrt[3]{x}$ عند 0، حيث الميل لانهائي.
• انقطاع، مثل قفزة أو ثقب.

قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال: فإذا وُجدت $f'(a)$، كانت $f$ متصلة عند $a$. والعكس غير صحيح، كما تُظهر $|x|$، إذ إنها متصلة في كل مكان لكن لها زاوية حادّة عند 0.

تقدير المشتقة عدديًا

عندما لا تتوفر صيغة، كما في البيانات المقيسة مثلًا، يمكن تقدير المشتقة بخطوة صغيرة. وخارج قسمة الفروق المتماثل أدقّ عادةً من الصيغة ذات الجهة الواحدة:

في $f(x) = \sin x$ عند $x = 0$ مع $h = 0.01$، يعطي هذا $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$، وهو قريب جدًا من القيمة الدقيقة $\cos 0 = 1$. وتستخدم الحاسبات البيانية وجداول البيانات هذا النوع من التقدير. أما حاسبة المشتقات فتشتقّ رمزيًا وتبيّن كل قاعدة تطبّقها، وحاسبة النهايات تحسب تعريف النهاية مباشرةً.

أين تُستخدم المشتقات

كل سؤال من نوع «ما مدى السرعة» أو «أي قيمة هي الأفضل» سؤالٌ عن مشتقة. فالمهندسون يجدون أبعاد الوعاء التي تستهلك أقل قدر من المادة بمساواة مشتقة المساحة السطحية بالصفر. والاقتصاديون يجدون مستوى الإنتاج الذي يعظّم الربح، وهو حيث يتساوى الإيراد الحدّي والتكلفة الحدّية. والأطباء ينمذجون تغيّر تركيز الدواء في الدم مع الزمن، والمشتقة تخبرهم متى يبلغ ذروته.

ويعتمد تعلّم الآلة على المشتقات على نطاق هائل. فتدريب النموذج يعني ضبط ملايين المعاملات لتقليل مقياس للخطأ، واتجاه تحريك كل معامل تحدّده مشتقة، وهي طريقة تُسمّى الانحدار التدرّجي. والفيزياء مكتوبة كلها تقريبًا بلغة المشتقات: فقانون نيوتن الثاني يقول إن القوة تساوي الكتلة مضروبة في المشتقة الثانية للموضع.

تاريخ موجز

طوّر إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنتس حساب التفاضل والتكامل كلٌّ على حدة في النصف الثاني من القرن السابع عشر. فكّر نيوتن بلغة كميات تتدفّق مع الزمن، بينما عمل لايبنتس بفروق صغيرة صغرًا لانهائيًا، ورمزه $\frac{dy}{dx}$ هو الذي تستخدمه معظم الكتب المدرسية اليوم. نجحت طرقهما نجاحًا باهرًا، لكنها قامت على أفكار مبهمة عن الأعداد الصغيرة صغرًا لانهائيًا. أما تعريف النهاية الدقيق المستخدم في هذا المقال فقد طُوّر في القرن التاسع عشر، على يد أوغستان لوي كوشي وكارل فايرشتراس أساسًا، فوضع الموضوع أخيرًا على أساس صارم.

الأسئلة الشائعة