حاسبة التكامل

اختيار الطريقة

لا توجد خوارزمية واحدة يمكنك تنفيذها يدويًا لكل تكامل، لذا فالمهارة في التعرف على الصورة. ابدأ بالخطية: افصل المجاميع وأخرج العوامل الثابتة، ثم استخدم جدول التكاملات الأساسية للقوى والدوال الأسية و$\frac1x$ والدوال المثلثية. وإذا كان جزء من الدالة المكامَلة مشتقةً لجزء آخر، فجرّب التعويض. وإذا كانت حاصل ضرب نوعين مختلفين من الدوال، ككثيرة حدود ودالة أسية أو كثيرة حدود وجيب، فجرّب التكامل بالتجزئة. والدوال الكسرية تستدعي الكسور الجزئية، والصور مثل $\frac{1}{x^2 + 1}$ تقود إلى الدوال المثلثية العكسية.

تجرّب الحاسبة هذه الطرق بترتيب مشابه وتذكر اسم الطريقة التي نجحت، فتصلح خطواتها أيضًا دليلًا للطريقة التي تلجأ إليها في المرة القادمة.

التعويض خطوة بخطوة

التعويض عكس قاعدة السلسلة. ففي $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ الدالة الداخلية $x^2$ ومشتقتها $2x$ تظهر عاملًا، لذا ضع $u = x^2$ و$du = 2x\,dx$. فيصبح التكامل $\int \cos u\,du = \sin u$، وإعادة التعويض تعطي $\sin(x^2) + C$. وتعرض الحاسبة كل سطر من هذه الأسطر. وإذا لم تظهر مشتقة الدالة الداخلية إلا مضروبة في ثابت، كما في $x\cos(x^2)$، فالتعويض نفسه ينجح بعد التعديل بالعامل $\frac12$.

التكامل بالتجزئة والطريقة الجدولية

التكامل بالتجزئة عكس قاعدة الضرب: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. اختر $u$ العامل الذي يصبح أبسط بالاشتقاق، وهو عادةً كثيرة الحدود، واختر $dv$ العامل الذي يسهل تكامله. وحين تكون $u$ كثيرة حدود من الدرجة $n$، فإن تكرار العملية $n$ مرة يردّها إلى الصفر، والطريقة الجدولية تنظم هذه التكرارات في عمودين. ولهذا ينتهي المثال المحلول بعد صفين: فمشتقة $x$ هي 1 ثم 0.

التكاملات المحددة والحدود

املأ الحدّين الأدنى والأعلى لتحويل المسألة إلى تكامل محدد. فتجد الحاسبة دالة أصلية أولًا ثم تطبق المبرهنة الأساسية: ففي $\int_0^3 x^2\,dx$ تستخدم $F(x) = \frac{x^3}{3}$ وتحسب $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$. ويمكن أن تكون الحدود عبارات مثل pi/2. وإذا كنت تحتاج إلى العدد فقط، فإن حاسبة التكامل المحدد المخصصة تعمل أيضًا حين لا توجد دالة أصلية أولية، إذ تحسب المساحة عدديًا.

حين لا توجد دالة أصلية أولية

بعض الدوال البسيطة المظهر، مثل $e^{x^2}$ و$\frac{\sin x}{x}$ و$\sqrt{1 + x^3}$، لها دوال أصلية لا يمكن كتابتها بتركيب منتهٍ من كثيرات الحدود والجذور والدوال الأسية واللوغاريتمات والدوال المثلثية. وهذه حقيقة مُثبتة، لا قصور في الطريقة. ولهذه المدخلات تذكر الحاسبة أنها لم تجد دالة أصلية بدلًا من اختلاق واحدة، ويظل من الممكن حساب التكامل المحدد على فترة معينة عدديًا.

فمثلًا تحسب حاسبة التكامل المحدد $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ عدديًا وتَسِم النتيجة بأنها تقريبية.

لماذا يهم ثابت التكامل

لأن مشتقة أي ثابت صفر، فإن $\frac{x^3}{3}$ و$\frac{x^3}{3} + 5$ و$\frac{x^3}{3} - 2$ كلها مشتقتها $x^2$. وتمثيلاتها البيانية إزاحات رأسية بعضها لبعض، والحد $+ C$ يسجل هذه العائلة كلها. ويتحدد الثابت حين تتوفر معلومة إضافية تُسمى الشرط الابتدائي. فإذا كانت السرعة $v(t) = 2t$ والموقع عند الزمن 0 هو 4، فالتكامل يعطي $s(t) = t^2 + C$، والشرط $s(0) = 4$ يفرض $C = 4$. وفي التكامل المحدد يُختصر الثابت في $F(b) - F(a)$، ولهذا لا يظهر أبدًا في الإجابة العددية.

المساحة ذات الإشارة والمساحة الكلية

يحسب التكامل المحدد المساحة فوق محور x موجبة والمساحة تحته سالبة. فعلى دورة كاملة واحدة يكون $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$، مع أن المنحنى يحصر مساحة موجبة: فالقبة فوق المحور والتجويف تحته يلغي أحدهما الآخر تمامًا. وحين تطلب المسألة المساحة الكلية بين منحنى والمحور، أوجد مواضع تغير إشارة الدالة، وكامل كل جزء على حدة، واجمع القيم المطلقة. ففي $\sin x$ على $[0, 2\pi]$ يعطي ذلك $2 + 2 = 4$.

ويظهر الفرق نفسه في مسائل الحركة. فتكامل السرعة المتجهة يعطي صافي التغير في الموقع، بينما تكامل السرعة القياسية، أي القيمة المطلقة للسرعة المتجهة، يعطي المسافة الكلية المقطوعة.

قراءة الخطوات

تعرض كل خطوة تحويلًا واحدًا للتكامل، مع القاعدة أو مدخل الجدول في العنوان والصيغة تحته. وخطوات الخطية تقسم المسألة إلى تكاملات أصغر تُحل واحدًا تلو الآخر ثم يُعاد جمعها، فتنتج الدالة المكامَلة الطويلة قائمة أطول من الخطوات القصيرة بدلًا من قفزة كبيرة واحدة. وحين يُستخدم التعويض، فإن السطر الذي يقدّم $u$ يعرض أيضًا $du$، وهناك ترى سبب صلاحية الطريقة. وتضيف الخطوة الأخيرة دائمًا ثابت التكامل في التكامل غير المحدد، أو تعوّض بالحدّين في التكامل المحدد.