إكمال المربع: دليل خطوة بخطوة

الفكرة وراء الطريقة

ثلاثي الحدود المربع الكامل هو مفكوك مربع ذي حدّين. ففكّ $(x + h)^2$ يعطي $x^2 + 2hx + h^2$: والحدّ الثابت هو مربع نصف معامل $x$. وإكمال المربع يعني إضافة هذا الثابت بالضبط لتصير العبارة مربعًا كاملًا.

فمثلًا، نصف 6 هو 3 و$3^2 = 9$، إذن $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. وفكّ الطرف الأيمن يعطي $x^2 + 6x + 9 - 9$، وهذا يؤكّد ذلك. وهندسيًا، $x^2 + 6x$ مربع أبعاده $x$ في $x$ مع شريطين أبعاد كل منهما $3$ في $x$، والركن الناقص مربع أبعاده $3$ في $3$ ومساحته 9.

والنمط نفسه يصلح مع إشارة السالب. فنصف $-10$ هو $-5$ و$(-5)^2 = 25$، إذن $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. والثابت الذي تضيفه موجب دائمًا، لأنه مربع، بينما الإشارة داخل القوس تطابق إشارة $b$. والفصل بين هاتين الحقيقتين يمنع معظم الأخطاء في الخطوات التالية.

حل معادلة تربيعية بإكمال المربع

1. إذا لم يكن معامل $x^2$ مساويًا لـ 1، فاقسم كل حدّ عليه.
2. انقل الحدّ الثابت إلى الطرف الأيمن.
3. أضف $(b/2)^2$ إلى الطرفين.
4. اكتب الطرف الأيسر على الصورة $(x + b/2)^2$ وبسّط الطرف الأيمن.
5. خذ الجذر التربيعي للطرفين، متذكّرًا $\pm$، وحلّ بالنسبة إلى $x$.

حين لا يكون المعامل الرئيسي 1

والقانون العام يتّفق مع ذلك: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. وحين يكون المعامل الأوسط فرديًا لا مفرّ من الكسور، لكن التعامل معها ممكن. ففي $x^2 + 5x - 1 = 0$، نصف 5 هو $\frac{5}{2}$، إذن $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ و$x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

الحلول المركّبة

إذا انتهى الطرف الأيمن سالبًا، فلا حلول حقيقية، لكن الطريقة تعطي الحلول المركّبة رغم ذلك.

التحقّق: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$، و$-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

صيغة الرأس للقطع المكافئ

أكثر استخدامات إكمال المربع شيوعًا في الرسم البياني تحويل $y = ax^2 + bx + c$ إلى صيغة الرأس $y = a(x - h)^2 + k$، حيث $(h, k)$ هو الرأس. وبما أن المربع لا يكون سالبًا أبدًا، فالرأس نقطة صغرى حين $a > 0$ ونقطة عظمى حين $a < 0$.

أكثر الأخطاء تكرارًا في المثال 4 نسيان ضرب العدد 9 المطروح في العامل المُخرَج $-2$. وفكّ صيغة الرأس التي حصلت عليها تحقّق سريع.

والاختصار $h = -\frac{b}{2a}$ يعطي الإحداثي x نفسه للرأس؛ وإكمال المربع يبيّن من أين تأتي هذه الصيغة. وتعرض حاسبة المعادلة التربيعية الرأس إلى جانب الجذور.

اشتقاق القانون العام

إكمال المربع في المعادلة العامة $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a \neq 0$ ينتج القانون العام، ولهذا يصلح القانون دائمًا.

تأتي الخطوة الوسطى من إضافة $\frac{b^2}{4a^2}$ إلى الطرفين وكتابة $-\frac{c}{a}$ على الصورة $-\frac{4ac}{4a^2}$. ويشرح دليل كيفية حل المعادلات التربيعية متى تستخدم القانون أو التحليل أو هذه الطريقة.

الدوائر وتطبيقات أخرى

إكمال المربع في $x$ و$y$ معًا يحوّل معادلة الدائرة العامة إلى صيغة المركز ونصف القطر.

وفي التفاضل والتكامل، تُهيّئ الخطوة نفسها تكاملات مثل $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$: فكتابة المقام على الصورة $(x + 1)^2 + 4$ تعطي $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. وتستخدم حاسبة التكاملات هذا التعويض حين ينطبق.

أخطاء شائعة

• إضافة $(b/2)^2$ إلى طرف واحد فقط.
• إكمال المربع قبل القسمة على معامل رئيسي لا يساوي 1.
• نسيان $\pm$ عند أخذ الجذر التربيعي، مما يُضيّع حلًّا.
• استخدام $b^2$ أو $b/2$ بدلًا من $(b/2)^2$.
• قراءة إشارة الرأس خطأً: في $(x - 3)^2$ يكون $h = 3$، وفي $(x + 3)^2$ يكون $h = -3$.

جرّب مثالك الخاص في حاسبة إكمال المربع، التي تعرض كل خطوة من الخطوات السابقة.

قراءة المعلومات من المربع المكتمل

بعد كتابة العبارة التربيعية على الصورة $a(x - h)^2 + k$، يمكن قراءة معلومات كثيرة دون حساب إضافي. فالرأس $(h, k)$ ومحور التماثل هو المستقيم الرأسي $x = h$. والمدى يتبع مباشرة: إن كان $a > 0$، فأصغر قيمة $k$ والمدى $[k, \infty)$؛ وإن كان $a < 0$، فأكبر قيمة $k$ والمدى $(-\infty, k]$.

وعدد المقاطع مع المحور x يتبع أيضًا. فوضع $a(x - h)^2 + k = 0$ يعطي $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. فإن كان $-\frac{k}{a}$ موجبًا فهناك مقطعان، وإن كان صفرًا فالرأس يمسّ المحور، وإن كان سالبًا فالقطع المكافئ لا يقطع المحور أبدًا. ففي المثال 3، $(x - 2)^2 = -3$ ليس لها حلّ حقيقي، وهذا يتّفق مع وجود الرأس على ارتفاع 3 في قطع مكافئ مفتوح إلى الأعلى. وفي المثال 4، $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ تعطي $(x - 3)^2 = 4$، فالمقطعان $x = 1$ و$x = 5$.

ومسائل القيم المثلى تستخدم الفكرة نفسها. فإذا كان الربح من البيع بالسعر $p$ هو $P = -2p^2 + 12p - 10$ بمئات الدولارات، فالمثال 4 يبيّن أن أقصى ربح 8 مئات من الدولارات عند $p = 3$. ولا حاجة إلى التفاضل والتكامل، لأن حدّ المربع لا يمكنه إلا أن يُنقص القيمة عن ارتفاع الرأس.

تمارين مع الإجابات

جرّب هذه التمارين قبل النظر في الإجابات. وكل منها يستخدم خطوة من الأمثلة السابقة.

1. حلّ $x^2 - 10x + 21 = 0$. الإجابة: $(x - 5)^2 = 4$، إذن $x = 3$ أو $x = 7$.
2. حلّ $x^2 + 2x - 4 = 0$. الإجابة: $(x + 1)^2 = 5$، إذن $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. اكتب $y = x^2 + 8x + 10$ بصيغة الرأس. الإجابة: $y = (x + 4)^2 - 6$، والرأس $(-4, -6)$.
4. اكتب $y = 3x^2 - 6x + 1$ بصيغة الرأس. الإجابة: $y = 3(x - 1)^2 - 2$، والرأس $(1, -2)$.
5. أوجد مركز $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ ونصف قطرها. الإجابة: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$، والمركز $(-1, 4)$، ونصف القطر 3.

إن لم تتطابق إجابة، ففكّ المربع المكتمل الذي حصلت عليه وقارنه بالأصل سطرًا بسطر؛ فالفرق يبيّن عادةً بالضبط أي ثابت أُضيف أو طُرح خطأً.

لماذا تستحق الطريقة التعلّم

مع توفّر القانون العام، من المنطقي أن تسأل لماذا لا يزال إكمال المربع يُدرَّس. والجواب أنه تحويل، لا مجرد حيلة للحل. فهو يعيد كتابة العبارة بحيث يظهر المتغيّر في موضع واحد فقط، داخل مربع. وعندئذ يسهل تحليل العبارة: فأصغر قيمها أو أكبرها، وتماثلها، وأصفارها، كلها تظهر دفعة واحدة.

وهذه الفكرة تتكرّر في أنحاء الرياضيات. فالقطوع المخروطية مثل الدوائر والقطوع الناقصة والقطوع الزائدة تُحدَّد بإكمال المربع في متغيّرين. وفي الإحصاء، تتضمّن دالة كثافة التوزيع الطبيعي مربعًا مكتملًا في أسّها، ويعتمد اشتقاق كثير من خصائصه على الجبر نفسه. وفي التفاضل والتكامل، تصير التكاملات التي فيها عبارة تربيعية تحت جذر تربيعي أو في مقام صيغًا قياسية بعد هذه الخطوة. والفيزياء تستخدمه لإيجاد نقاط الاتزان لدوال الطاقة.

لذا فالتدرّب عليه في عبارات تربيعية بسيطة يبني مهارة تفترض الموضوعات اللاحقة أنك تملكها. فإن استطعت حلّ الأمثلة من 1 إلى 5 دون ملاحظات، فأنت مستعدّ جيدًا لتلك الاستخدامات، ولأسئلة الامتحانات التي تطلب عرض الطريقة لا مجرد ذكر الجذور.

الأسئلة الشائعة