كيف تحلّ المعادلات التربيعية: التحليل وإكمال المربع والقانون العام

ما الذي يجعل المعادلة تربيعية

يمكن كتابة المعادلة التربيعية على الصورة $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a \neq 0$. وأعلى قوة للمجهول هي 2، فلها على الأكثر حلّان، يُسمّيان جذرين. وقبل استخدام أي طريقة، انقل كل الحدود إلى طرف واحد بحيث يكون الطرف الآخر صفرًا. وهذا ليس اختياريًا: فخاصية الضرب الصفري والقانون العام كلاهما يعتمد عليه.

فمثلًا، $x^2 = 3x + 10$ تصير $x^2 - 3x - 10 = 0$، إذن $a = 1$ و$b = -3$ و$c = -10$. وكتابة المعاملات الثلاثة بإشاراتها قبل أن تبدأ هي أبسط طريقة لتجنّب أخطاء الإشارة لاحقًا.

وبيانيًا، الجذور هي مقاطع القطع المكافئ $y = ax^2 + bx + c$ مع المحور x. ويمكن للقطع المكافئ أن يقطع المحور x مرتين، أو يمسّه مرة واحدة عند رأسه، أو لا يلتقي به أصلًا، ولهذا يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان أو جذر واحد أو لا جذور حقيقية.

حالات سريعة: لا حدّ في x أو لا ثابت

صورتان خاصتان لا تحتاجان إلى أي طريقة عامة.

• إذا كان $b = 0$، فاعزل $x^2$ وخذ الجذرين التربيعيين متذكّرًا الإشارتين: $x^2 = 49$ تعطي $x = \pm 7$، و$4x^2 - 9 = 0$ تعطي $x^2 = \frac{9}{4}$، إذن $x = \pm\frac{3}{2}$.
• إذا كان $c = 0$، فأخرج $x$ عاملًا مشتركًا: $x^2 - 5x = 0$ تصير $x(x - 5) = 0$، إذن $x = 0$ أو $x = 5$.

لا تقسم أبدًا طرفي $x^2 - 5x = 0$ على $x$. فذلك يُضيّع الجذر $x = 0$، لأنك ستكون قد قسمت على صفر حين $x = 0$.

الطريقة 1: التحليل

إذا انقسمت العبارة التربيعية إلى عاملين خطيين، أنهت خاصية الضرب الصفري المهمة: إذا كان $pq = 0$ فإن $p = 0$ أو $q = 0$. وحين $a = 1$، ابحث عن عددين حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$.

هنا حاصل ضرب $-5$ و$2$ هو $-10$ ومجموعهما $-3$. وحين $a \neq 1$، توسّع طريقة AC البحث نفسه.

التحليل سريع لكنه عملي فقط حين تكون الجذور نسبية. واختبار مفيد: مع المعاملات الصحيحة، تتحلّل العبارة التربيعية على الأعداد الصحيحة إذا وفقط إذا كان المميّز $b^2 - 4ac$ مربعًا كاملًا. ففي $6x^2 + x - 2$ يساوي $1 + 48 = 49 = 7^2$. وتجد تدريبًا إضافيًا في دليل تحليل كثيرات الحدود.

الطريقة 2: إكمال المربع

يعيد إكمال المربع كتابة الطرف الأيسر على صورة مربع كامل مضافًا إليه ثابت. خذ $x^2 + 6x - 7 = 0$. انقل الثابت، ثم أضف $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ إلى الطرفين:

إذن $x = 1$ أو $x = -7$. والخطوات نفسها تعطي صيغة الرأس $y = (x + 3)^2 - 16$، التي تضع رأس القطع المكافئ عند $(-3, -16)$. والطريقة كاملة، بما فيها حالة $a \neq 1$، موجودة في دليلنا إلى إكمال المربع.

الطريقة 3: القانون العام

إكمال المربع في المعادلة العامة $ax^2 + bx + c = 0$ ينتج قانونًا يصلح لكل معادلة تربيعية:

أبقِ البسط كله فوق $2a$. فكتابة $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ من أكثر الأخطاء شيوعًا في هذا الموضوع.

قراءة المميّز

العبارة تحت الجذر التربيعي، $\Delta = b^2 - 4ac$، تتنبّأ بنوع الإجابة قبل أن تنتهي:

• $\Delta > 0$: جذران حقيقيان مختلفان؛ يقطع القطع المكافئ المحور x مرتين.
• $\Delta = 0$: جذر واحد مكرّر؛ يمسّ الرأس المحور x. مثال: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ لها الجذر الوحيد $x = 3$.
• $\Delta < 0$: لا جذور حقيقية، بل جذران مركّبان مترافقان. مثال: $x^2 + 2x + 5 = 0$ لها $\Delta = 4 - 20 = -16$، إذن $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

مسألة كلامية: ارتفاع المقذوف

تنمذج المعادلات التربيعية كل ما يرتفع وينخفض تحت تسارع ثابت. افترض أن ارتفاع كرة بالأمتار بعد $t$ ثانية هو $h = -5t^2 + 20t + 25$ (باستخدام $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

رفض الجذر الذي لا معنى له في السياق جزء من الإجابة، لا فكرة لاحقة.

أيّ طريقة تستخدم؟

1. إذا كان $b = 0$ أو $c = 0$، فاستخدم الحالات السريعة السابقة.
2. جرّب التحليل إذا كانت المعاملات أعدادًا صحيحة صغيرة والمميّز مربعًا كاملًا.
3. أكمل المربع حين تحتاج أيضًا إلى الرأس أو صيغة الرأس.
4. استخدم القانون العام في كل حالة أخرى؛ فهو لا يفشل أبدًا.

وأيًّا كانت الطريقة التي تختارها، تحقّق من الجذور بصيغ فييت: يجب أن يكون مجموعهما $-\frac{b}{a}$ وحاصل ضربهما $\frac{c}{a}$. ففي $6x^2 + x - 2 = 0$، مجموع الجذرين $\frac{1}{2}$ و$-\frac{2}{3}$ هو $-\frac{1}{6}$ وحاصل ضربهما $-\frac{1}{3}$، وهما بالضبط $-\frac{b}{a}$ و$\frac{c}{a}$.

أخطاء شائعة

• حلّ $x^2 = 3x + 10$ دون نقل كل الحدود أولًا إلى طرف واحد.
• أخذ الجذر التربيعي الموجب فقط، فتفقد $x^2 = 49$ الجذر $x = -7$.
• تربيع $b$ السالب خطأً: إذا كان $b = -3$ فإن $b^2 = 9$، لا $-9$. استخدم الأقواس عند التعويض.
• قسمة جزء من البسط فقط على $2a$.
• مساواة كل عامل بالطرف الخطأ: في $(x - 5)(x + 2) = 0$ الجذران $5$ و$-2$، أي بعكس إشارتي العددين في القوسين.

قارن حلّك بـ حاسبة المعادلة التربيعية، وارسم القطع المكافئ في حاسبة الرسم البياني لترى الجذور مقاطع مع المحور x.

اختيار الطريقة عمليًا

كثيرًا ما يسأل الطلاب أيّ الطرق هي الصحيحة. وكل طريقة صحيحة تعطي الجذور نفسها، فالسؤال الحقيقي هو أيّها الأسرع والأقل عرضة للخطأ في المعادلة التي أمامك. وروتين قرار سريع يؤدّي الغرض جيدًا. أولًا، ابحث عن حدّ ناقص: إن لم يكن هناك ثابت، فأخرج $x$ عاملًا مشتركًا؛ وإن لم يكن هناك حدّ في $x$، فاعزل $x^2$ وخذ الجذرين التربيعيين. ثانيًا، اقضِ نحو خمس عشرة ثانية في البحث عن عوامل صحيحة. ثالثًا، إن لم يظهر شيء، فانتقل مباشرة إلى القانون العام بدلًا من تجربة مزيد من أزواج العوامل.

إكمال المربع هو الخيار الأفضل حين يطلب السؤال الرأس أيضًا، أو حين يكون معامل $x$ زوجيًا والمعامل الرئيسي 1، أو حين يُطلب منك استخدامه. والرسم البياني ممتاز لتقدير الجذور وللتحقّق من عدد الحلول الحقيقية، لكن القراءة من الرسم تقريبية، فعاملها تحقّقًا لا إجابة نهائية ما لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة بوضوح.

في الاختبار المحدّد الوقت، احسب المميّز أولًا. فإن كان مربعًا كاملًا، تتحلّل المعادلة على الأعداد الصحيحة أو النسبية؛ وإن كان سالبًا، عرفت فورًا أنه لا جذور حقيقية.

التحقّق من الجذور

التعويض هو أوثق طرق التحقّق: ضع كل جذر في المعادلة الأصلية وتأكّد أن الطرف الأيسر يساوي صفرًا. وفي الجذور غير النسبية يكون ذلك مرهقًا باليد، فاستخدم مجموع الجذرين وحاصل ضربهما بدلًا من ذلك. ففي $2x^2 + 4x - 3 = 0$، مجموع الجذرين $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ هو $-2$، ويساوي $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$، وحاصل ضربهما $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$، ويساوي $\frac{c}{a}$. والقيمتان متطابقتان، فالجذران صحيحان.

وتحقّق أيضًا من أن الإجابة منطقية في السياق. ففي مثال المقذوف، كان أحد جذري المعادلة سالبًا، والزمن السالب قبل الإطلاق لا معنى فيزيائيًا له، فلا يجيب عن السؤال إلا الجذر الموجب. والمسائل الكلامية عن الأطوال والأسعار والأعداد كثيرًا ما تستبعد جذرًا للسبب نفسه، ومن المفيد كتابة جملة توضّح السبب.

يمكنك مقارنة كل خطوة بـ حاسبة المعادلة التربيعية، التي تعرض المميّز والجذور الدقيقة والرأس.

الأسئلة الشائعة