حاسبة إكمال المربع

لماذا نصف المعامل مربّعًا؟

فكّ $(x + p)^2$ يعطي $x^2 + 2px + p^2$. وبالمقارنة مع $x^2 + bx$ يتطابق الحدان الأوسطان عندما $2p = b$، أي $p = b/2$، والثابت الناقص هو $p^2 = (b/2)^2$. وهندسيًا، $x^2 + bx$ مربع طول ضلعه $x$ ومعه مستطيلان أبعاد كل منهما $x \times b/2$؛ والمربع الصغير في الزاوية الذي مساحته $(b/2)^2$ هو ما يُكمل المربع الكبير.

عندما لا يساوي المعامل الرئيسي 1

أخرج $a$ عاملًا مشتركًا من حدّي $x^2$ و$x$ فقط، واترك الثابت خارجًا. أكمل المربع داخل القوس، ثم اضرب المربع المطروح في $a$ عند إخراجه. ونسيان هذا الضرب هو أكثر الأخطاء تكرارًا: ففي المثال يصبح $-4$ داخل القوس $-8$ خارجه.

إذا كان $a$ سالبًا فالقطع المكافئ مفتوح إلى الأسفل والرأس قيمة عظمى. وتُخرج الحاسبة المعامل السالب بالطريقة نفسها، فتنقلب الإشارات داخل القوس.

حل المعادلات بإكمال المربع

في $x^2 - 4x - 1 = 0$ يعطي إكمال المربع $(x - 2)^2 = 5$. وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، بالإشارتين، نحصل على $x - 2 = \pm\sqrt5$، إذن $x = 2 \pm \sqrt5$. وتنفيذ الخطوات نفسها بالحروف بدل الأعداد ينتج القانون العام.

عندما يكون الطرف الأيمن سالبًا، كما في $(x + 3)^2 = -4$ الناتجة عن $x^2 + 6x + 13 = 0$، فلا يوجد حل حقيقي. وتذكر الحاسبة ذلك، وتذكر أيضًا الزوج المركب $-3 \pm 2i$ الذي تحصل عليه إذا سمحت بأن $\sqrt{-4} = 2i$.

قراءة الرسم البياني من صيغة الرأس

تصف صيغة الرأس القطع المكافئ على أنه تحويل للمنحنى $y = x^2$. فالقيمة $h$ تزيح الرسم إلى اليمين (أو إلى اليسار عندما تكون $h$ سالبة)، و$k$ تزيحه إلى الأعلى أو الأسفل، و$a$ تمدّه رأسيًا وتقلبه عندما تكون سالبة. ومحور التماثل هو المستقيم الرأسي $x = h$، لذا فالنقاط الواقعة على بعدين متساويين من جهتي $h$ لها الارتفاع نفسه.

وهذا يجعل الرسم سريعًا. ففي $2(x - 2)^2 - 5$ عيّن الرأس $(2, -5)$، ثم تحرك وحدة واحدة إلى كل جهة: يرتفع المنحنى بمقدار $a \cdot 1^2 = 2$، فتحصل على $(1, -3)$ و$(3, -3)$. ويُستنتج المدى مباشرة: $y \ge -5$، ولهذا تُعد صيغة الرأس نقطة البداية الطبيعية لأسئلة المجال والمدى.