حاسبة المصفوفات: الضرب والجمع والشكل الدرجي المختزل والرتبة والقوى

عن حاسبة المصفوفات

تخزّن المصفوفات الأعداد في صفوف وأعمدة، وهي لغة الجبر الخطي ورسوميات الحاسوب والنماذج الاقتصادية والإحصاء وتعلّم الآلة. والعمليات نفسها بسيطة، لكنها تتضمن عمليات ضرب وجمع صغيرة كثيرة، وخطأ واحد في عنصر واحد يفسد الإجابة كلها.

تُجري هذه الحاسبة تسع عمليات على المصفوفات: الضرب، والجمع، والطرح، والضرب في عدد قياسي، والقوى ذات الأسس الصحيحة، والمنقول، والشكل الدرجي الصفّي المختزل، والرتبة، والأثر. ويمكن أن تكون العناصر أعدادًا صحيحة أو عشرية أو كسورًا، وكل العمليات الحسابية دقيقة، فتظهر نتيجة مثل $\frac32$ كسرًا لا عددًا عشريًا مقرّبًا. ويسرد الاختزال الصفّي كل عملية صفّية بالترتيب.

ما المصفوفة؟

المصفوفة جدول مستطيل من الأعداد فيه $m$ من الصفوف و $n$ من الأعمدة، ويُسمى مصفوفة $m \times n$ . ويُكتب العنصر الواقع في الصف $i$ والعمود $j$ على الصورة $a_{ij}$ . والمصفوفة المربعة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها، ومصفوفة الوحدة $I$ فيها آحاد على القطر الرئيسي وأصفار في سائر المواضع.

تمثّل المصفوفات التحويلات الخطية وأنظمة المعادلات الخطية. فضرب مصفوفة في متجه يطبّق تحويلًا مثل الدوران أو التكبير، وضرب مصفوفتين يركّب تحويلين في تحويل واحد.

كيف تستخدم حاسبة المصفوفات

اختر عملية من قائمة «العملية».
أدخل «المصفوفة A» بمسافات بين العناصر وفواصل منقوطة (;) بين الصفوف، مثل 1 2; 3 4.
في الضرب والجمع والطرح، أدخل «المصفوفة B» بالصيغة نفسها.
في الضرب في عدد قياسي أو القوى، أدخل العدد $k$ في الخانة المخصصة له.
اضغط «احسب» وتتبّع الخطوات حتى النتيجة.

الصيغ

عنصر حاصل ضرب المصفوفات

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

المجموع

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

المنقول

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

الأثر

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

مثال محلول: A × B (2×2)

يضرب المثال $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ في $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . وكل عنصر في حاصل الضرب هو حاصل الضرب القياسي لصف من $A$ في عمود من $B$ ؛ فالعنصر في الزاوية العليا اليسرى هو $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

وتكرار ذلك للمواضع الثلاثة الأخرى يعطي $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . أما عكس الترتيب فينتج $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ ، وهي مصفوفة مختلفة، مما يبيّن أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًا.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

كيف فهمنا مسألتك

احسب A × B حسابًا دقيقًا.

الحل خطوة بخطوة

قراءة المصفوفة A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
قراءة المصفوفة B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
كل عنصر هو حاصل الضرب القياسي لصف من A في عمود من B
النتيجة 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
الناتج
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

الصيغ المستخدمة

حاصل ضرب المصفوفات
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A هي 2×2 وB هي 2×2، لذا فإن AB هي 2×2. ضرب المصفوفات ليس إبداليًا: فـ BA تختلف عمومًا.

التحقق

كل العمليات الحسابية دقيقة (بكسور، دون تقريب).

شرح مفصّل

متى تكون العمليات معرّفة

يحتاج الجمع والطرح إلى مصفوفتين بالحجم نفسه تمامًا، ويجريان عنصرًا بعنصر. أما الضرب $AB$ فيحتاج إلى أن يساوي عدد أعمدة $A$ عدد صفوف $B$ ؛ فمصفوفة $m \times n$ مضروبة في مصفوفة $n \times p$ تعطي نتيجة $m \times p$ . ولا يمكن ضرب مصفوفة $2 \times 3$ في مصفوفة $2 \times 2$ ، وتشرح الحاسبة عدم توافق الحجمين بدلًا من إرجاع رمز خطأ.

القوى معرّفة للمصفوفات المربعة فقط، لأن $A \cdot A$ يحتاج إلى حجمين متوافقين. ورفع $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ إلى القوة الخامسة يعطي $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ ، وعناصرها أعداد فيبوناتشي.

الاختزال الصفّي والرتبة

يُحصل على الشكل الدرجي الصفّي المختزل بثلاث عمليات صفّية: تبديل صفين، وضرب صف في عدد غير صفري، وإضافة مضاعف صف إلى صف آخر. والهدف عنصر قائد يساوي 1 في كل صف غير صفري، تحته وفوقه أصفار. وهذا الشكل هو الطريقة القياسية لحل الأنظمة الخطية، وإيجاد الأساس، واختبار الاستقلال الخطي.

الرتبة هي عدد الصفوف غير الصفرية في الشكل الدرجي الصفّي المختزل، وتساوي عدد الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا. فالمصفوفة $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ تُختزل إلى شكل فيه صف صفري، لذا فرتبتها 2: فالصف الثالث تركيب خطي من الصفين الأولين.

المنقول والأثر

يقلب المنقول المصفوفة حول قطرها الرئيسي، فتصبح الصفوف أعمدة. ويظهر في حاصل الضرب القياسي، والتوفيق بطريقة المربعات الصغرى، وتعريف المصفوفات المتماثلة التي تساوي منقولها. أما الأثر فهو مجموع عناصر القطر في مصفوفة مربعة؛ ويساوي مجموع القيم الذاتية، مما يجعله فحصًا سريعًا لحسابات القيم الذاتية.

أخطاء شائعة

ضرب المصفوفات عنصرًا بعنصر بدلًا من ضرب الصفوف في الأعمدة.
افتراض أن $AB = BA$ ؛ فترتيب العوامل مهم.
محاولة جمع مصفوفتين مختلفتين في الحجم.
قراءة حجم حاصل الضرب خطأً؛ فحاصل ضرب $m \times n$ في $n \times p$ هو $m \times p$ .
تغيير صف بضربه في صفر أثناء الاختزال الصفّي، وهذا يُضيع معلومات.

نصائح

اكتب حجم كل مصفوفة بجانبها قبل الضرب لتتأكد من وجود حاصل الضرب.
استخدم الكسور بدلًا من الأعداد العشرية المقرّبة ليبقى الاختزال الصفّي دقيقًا.
تحقق من حاصل الضرب بحساب عنصر واحد يدويًا.
استخدم حاسبة المحدّدة لتختبر هل المصفوفة المربعة قابلة للعكس.
استخدم حاسبة أنظمة المعادلات حين تأتي مصفوفتك من نظام خطي.

الأسئلة الشائعة

كيف أُدخل مصفوفة؟

افصل عناصر الصف الواحد بمسافات أو فواصل، وافصل الصفوف بفواصل منقوطة. فمثلًا 1 2; 3 4 هي المصفوفة 2×2 ذات الصفين (1, 2) و(3, 4).

لماذا ليس ضرب المصفوفات إبداليًا؟

يجمع AB صفوف A مع أعمدة B، بينما يجمع BA صفوف B مع أعمدة A. وهذان حسابان مختلفان، لذا تختلف النتيجتان عادةً، وقد يوجد أحد حاصلي الضرب دون الآخر.

متى يمكن ضرب مصفوفتين؟

حين يساوي عدد أعمدة الأولى عدد صفوف الثانية. ولحاصل الضرب عدد صفوف الأولى وعدد أعمدة الثانية.

ما الشكل الدرجي الصفّي المختزل؟

شكل يبدأ فيه كل صف غير صفري بالعدد 1 عنصرًا قائدًا، ويقع كل 1 قائد على يمين الذي فوقه، وكل عنصر آخر في عمود الـ 1 القائد يساوي صفرًا.

ماذا تخبرني رتبة المصفوفة؟

عدد الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا. وفي المصفوفة المربعة تعني الرتبة الكاملة أن المصفوفة قابلة للعكس وأن للنظام الخطي المرتبط بها حلًا وحيدًا.

هل يمكنني استخدام الكسور في المصفوفة؟

نعم. تُقبل عناصر مثل 1/2، وتُحسب كل النتائج بكسور دقيقة.

ما أثر المصفوفة؟

مجموع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي لمصفوفة مربعة. ويساوي أيضًا مجموع القيم الذاتية للمصفوفة.

أجرِ عمليتك على المصفوفات

أدخل مصفوفاتك في الأعلى لتضربها أو تختزلها أو تحللها بكسور دقيقة مع كل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة المصفوفات