حاسبة الضرب القياسي: الزاوية بين المتجهين والإسقاط

عن حاسبة الضرب القياسي

الضرب القياسي أبسط طريقة للمقارنة بين متجهين. فهو يضرب المركبات المتناظرة ويجمع النتائج، فينتج عددًا واحدًا يقيس مدى اتجاه المتجهين في الاتجاه نفسه. ومن هذا العدد يمكنك إيجاد الزاوية بينهما، واختبار تعامدهما، وإسقاط أحدهما على الآخر.

تقبل هذه الحاسبة متجهات بأي عدد من المركبات، ما دام للمتجهين الطول نفسه. وتعرض حواصل ضرب المركبات، ومجموعها، والطولين، والزاوية بالدرجات، والإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي للمتجه الأول على الثاني. وإذا كان أحد المتجهين هو المتجه الصفري، فإنها تشرح لماذا لا يمكن تعريف الزاوية.

ما الضرب القياسي؟

الضرب القياسي، أو الضرب الداخلي، للمتجهين $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ هو $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . وخلافًا للضرب الاتجاهي، فالنتيجة عدد لا متجه.

هندسيًا، $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ ، حيث $\theta$ الزاوية بين المتجهين. ويكون الضرب القياسي موجبًا حين تكون الزاوية حادة، وصفرًا حين يكون المتجهان متعامدين، وسالبًا حين تكون الزاوية منفرجة.

كيف تستخدم حاسبة الضرب القياسي

أدخل في خانة «المتجه u» مركبات المتجه الأول مفصولة بفواصل، مثل 1, 2, 3.
أدخل في خانة «المتجه v» المتجه الثاني بعدد المركبات نفسه.
اضغط «احسب».
اقرأ الضرب القياسي والطولين والزاوية بين المتجهين.
استخدم خطوة الإسقاط إذا احتجت إلى مركبة أحد المتجهين على امتداد الآخر.

الصيغ

الضرب القياسي

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

الطول

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

الزاوية بين المتجهين

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

إسقاط u على v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

مثال محلول: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

يستخدم المثال $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . وحواصل ضرب المركبات 4 و $-10$ و18، ومجموعها 12.

الطولان $\sqrt{14}$ و $\sqrt{77}$ ، لذا فإن $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ والزاوية نحو $68.56°$ . والضرب القياسي الموجب يؤكد أن الزاوية حادة.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

u v = 12

كيف فهمنا مسألتك

الضرب القياسي لمتجهين من البعد 3.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

الحل خطوة بخطوة

اضرب المركبات المتناظرة
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
اجمع حواصل الضرب
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
أوجد الأطوال
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
الزاوية بين المتجهين
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ راديان})$
الإسقاط القياسي والإسقاط المتجهي لـ u على v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

الصيغ المستخدمة

الضرب القياسي
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

الضرب القياسي موجب، لذا فالزاوية بين المتجهين حادة.

التحقق

حُسب بدقة؛ والضرب القياسي متماثل، لذا فإن v·u يعطي القيمة نفسها.

شرح مفصّل

قياس الزوايا والتعامد

إعادة ترتيب الصيغة الهندسية تعطي الزاوية بين أي متجهين غير صفريين. ولأن إشارة $\cos\theta$ وحدها تحدد هل الزاوية حادة أم منفرجة، فإن إشارة الضرب القياسي وحدها تخبرك بذلك، قبل أن تحسب أي طول.

يكون المتجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان ضربهما القياسي صفرًا. فللمتجهين $\langle 1, 0 \rangle$ و $\langle 0, 1 \rangle$ الضرب القياسي 0 والزاوية $90°$ . وهذا الاختبار يعمل في أي بُعد، ولهذا يُعرَّف التعامد بالضرب القياسي في أربعة أبعاد أو أكثر، حيث لا يمكن رسم الزوايا.

الإسقاطات

الإسقاط القياسي $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ هو الطول الموجّه للظل الذي يلقيه $\mathbf{u}$ على المستقيم المار بـ $\mathbf{v}$ . ويضرب الإسقاط المتجهي متجه الوحدة في اتجاه $\mathbf{v}$ في ذلك الطول. وطرح الإسقاط من $\mathbf{u}$ يُبقي المركبة العمودية على $\mathbf{v}$ ، وهي الفكرة التي تقوم عليها عملية غرام–شميدت والتوفيق بطريقة المربعات الصغرى.

في الفيزياء، الشغل الذي تبذله قوة ثابتة $\mathbf{F}$ تحرّك جسمًا على امتداد إزاحة $\mathbf{d}$ هو $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : فمركبة القوة على امتداد الحركة وحدها هي التي تبذل شغلًا.

الخصائص

الضرب القياسي إبدالي، $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ ، ويتوزع على الجمع. والضرب القياسي لمتجه في نفسه هو مربع طوله، وهكذا تُحسب الأطوال. وضرب أحد المتجهين في $k$ يضرب الضرب القياسي في $k$ لكنه يترك الزاوية دون تغيير حين تكون $k$ موجبة.

ويرتبط الضرب القياسي أيضًا بقانون جيب التمام. فنشر $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ يعطي $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ ، وهو قانون جيب التمام بعينه للمثلث المكوَّن من المتجهين والفرق بينهما. وهذه المتطابقة هي سبب صحة صيغة الزاوية.

أخطاء شائعة

توقّع متجه إجابةً؛ فالضرب القياسي عدد واحد.
ضرب مركبات غير متناظرة أو متجهات مختلفة الطول.
نسيان أخذ الجذر التربيعي عند حساب الأطوال.
ترك الآلة الحاسبة على وضع الراديان حين تُطلب الزاوية بالدرجات.
الإسقاط على المتجه الخطأ؛ فـ $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ و $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ مختلفان.

نصائح

تحقق من التعامد أولًا: فالضرب القياسي الصفري يعني زاوية قائمة.
استخدم إشارة الضرب القياسي لتتوقع هل الزاوية حادة أم منفرجة.
وحّد المتجهين إلى الطول 1 أولًا فيساوي الضرب القياسي $\cos\theta$ مباشرة.
استخدم حاسبة الضرب الاتجاهي حين تحتاج إلى متجه عمودي على كليهما.
استخدم حاسبة المصفوفات لحساب ضروب قياسية كثيرة دفعة واحدة على صورة ضرب مصفوفات.
اكتب كل متجه عمودًا بجانب الآخر لتصطف المركبات المتناظرة قبل الضرب.

الأسئلة الشائعة

كيف يُحسب الضرب القياسي؟

اضرب المركبات المتناظرة للمتجهين واجمع حواصل الضرب. فللمتجهين ⟨1, 2, 3⟩ و⟨4, −5, 6⟩ يعطي ذلك 4 − 10 + 18 = 12.

كيف أجد الزاوية بين متجهين؟

اقسم الضرب القياسي على حاصل ضرب الطولين وخذ معكوس جيب التمام. وتعرض الحاسبة النتيجة بالدرجات.

ماذا يعني أن يكون الضرب القياسي صفرًا؟

المتجهان متعامدان، بشرط ألا يكون أيٌّ منهما المتجه الصفري.

هل يمكن أن يكون الضرب القياسي سالبًا؟

نعم. الضرب القياسي السالب يعني أن الزاوية بين المتجهين أكبر من 90°.

هل تعمل الحاسبة في أكثر من ثلاثة أبعاد؟

نعم. يمكن أن يكون للمتجهات أي عدد من المركبات، ما دام للمتجهين العدد نفسه.

ما الفرق بين الضرب القياسي والضرب الاتجاهي؟

يعطي الضرب القياسي عددًا يقيس مدى التوافق في الاتجاه ويعمل في أي بُعد. أما الضرب الاتجاهي فيعطي متجهًا عموديًا على كلا المتجهين، وهو معرّف للمتجهات ثلاثية الأبعاد.

ماذا يحدث إذا كان أحد المتجهين صفريًا؟

الضرب القياسي 0، لكن الزاوية غير معرّفة لأن المتجه الصفري لا اتجاه له. وتذكر الحاسبة ذلك بدلًا من إعطاء زاوية.

احسب ضربك القياسي

أدخل متجهين في الأعلى لترى ضربهما القياسي وطوليهما والزاوية بينهما والإسقاط، مع كل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة الضرب القياسي