حاسبة الضرب الاتجاهي: متجهات 3D والمساحة والمتجهات العمودية

عن حاسبة الضرب الاتجاهي

يأخذ الضرب الاتجاهي متجهين في الفضاء وينتج متجهًا ثالثًا عموديًا على كليهما. وهو الطريقة القياسية لإيجاد متجه عمودي على مستوى، وحساب مساحة متوازي أضلاع أو مثلث في الفضاء ثلاثي الأبعاد (3D)، ووصف الكميات الدورانية في الفيزياء مثل العزم وكمية الحركة الزاوية.

تحسب هذه الحاسبة $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ للمتجهات ثلاثية الأبعاد بترتيب المحدّدة المألوف، مع $\mathbf{i}$ و $\mathbf{j}$ و $\mathbf{k}$ في الصف الأول. وتعرض كل مركبة على حدة، بما في ذلك تغيّر الإشارة في الحد الأوسط الذي يسبب معظم الأخطاء، ثم تعطي الطول وتؤكد أن النتيجة عمودية على كلا المتجهين.

ما الضرب الاتجاهي؟

للمتجهين $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ و $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ ، الضرب الاتجاهي هو المتجه $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . وهو معرّف للمتجهات ثلاثية الأبعاد، والنتيجة متجه ثلاثي الأبعاد أيضًا.

اتجاهه عمودي على كل من $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$ ، ويُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى: لُفّ أصابع يدك اليمنى من $\mathbf{u}$ نحو $\mathbf{v}$ فيشير إبهامك على امتداد $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . وطوله $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ ، أي مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده المتجهان.

كيف تستخدم حاسبة الضرب الاتجاهي

أدخل المركبات الثلاث للمتجه الأول u مفصولة بفواصل، مثل 1, 2, 3.
أدخل المركبات الثلاث للمتجه الثاني v.
اضغط «احسب».
اقرأ المركبات i وj وk والمتجه الناتج.
استخدم خطوة الطول لحساب المساحات، والتحقق من التعامد لتأكيد النتيجة.

الصيغ

صيغة المحدّدة

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

الطول

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

الإبدال العكسي

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

مساحة المثلث

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

مثال محلول: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

يضرب المثال $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ ضربًا اتجاهيًا في $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . فالمركبة $\mathbf{i}$ هي $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ ؛ والمركبة $\mathbf{j}$ هي $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ ؛ والمركبة $\mathbf{k}$ هي $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

إذن $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ ، وطوله $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ ، وهو مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده المتجهان. وضربه القياسي في كل من المتجهين 0، مما يؤكد أنه عمودي على كليهما.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

كيف فهمنا مسألتك

الضرب الاتجاهي لمتجهين 3D.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

الحل خطوة بخطوة

اكتب المحدّدة بمتجهات الوحدة i, j, k في الصف الأول
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
المركبة i
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
المركبة j (لاحظ إشارة السالب في النشر)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
المركبة k
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
الطول = مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده u وv
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
التحقق من التعامد
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

الصيغ المستخدمة

الضرب الاتجاهي
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
الطول
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

النتيجة عمودية على كل من u وv؛ وطولها 3√6 ≈ 7.348469228 هو مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّدانه (ومساحة المثلث نصف ذلك).

التحقق

النتيجة عمودية على كلا متجهي الإدخال (حاصلا الضرب القياسي كلاهما 0)).

شرح مفصّل

طريقة المحدّدة

كتابة متجهات الوحدة في الصف الأول لمحدّدة $3 \times 3$ والنشر على هذا الصف أسهل طريقة لتذكّر الصيغة. فكل مركبة محدّدة $2 \times 2$ مكوّنة من العمودين اللذين لا ينتميان إلى متجه الوحدة ذاك. ويحمل الحد الأوسط إشارة سالبة من نمط العوامل المرافقة $+, -, +$ ، ولهذا تنبّه إليه الحاسبة صراحةً.

يتوزع الضرب الاتجاهي على الجمع، $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ ، وضرب أيٍّ من المتجهين في عدد يضرب النتيجة فيه. لكنه ليس تجميعيًا: فـ $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ و $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ متجهان مختلفان عمومًا. وللمتجهين المستويين $\langle 1, 2, 0 \rangle$ و $\langle 3, 4, 0 \rangle$ تشير النتيجة $\langle 0, 0, -2 \rangle$ مباشرة إلى أسفل المحور $z$ ، وطولها 2 هو مساحة متوازي الأضلاع في المستوى.

المعنى الهندسي

طول الضرب الاتجاهي يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$ ، ونصفه مساحة المثلث الذي يكوّنانه. ولمثلث رؤوسه $P$ و $Q$ و $R$ ، اضرب $\overrightarrow{PQ}$ ضربًا اتجاهيًا في $\overrightarrow{PR}$ وخذ نصف الطول.

إذا كان المتجهان متوازيين، ينطبق متوازي الأضلاع ويكون الضرب الاتجاهي المتجه الصفري. فللمتجهين $\langle 1, 2, 3 \rangle$ و $\langle 2, 4, 6 \rangle$ تعيد الحاسبة $\langle 0, 0, 0 \rangle$ ، وهذا اختبار سريع لتوازي المتجهات.

المتجهات العمودية والمستويات والفيزياء

الضرب الاتجاهي لمتجهي اتجاه يقعان في مستوى يعطي متجهًا عموديًا على المستوى، ومع نقطة واحدة على المستوى يمكنك كتابة معادلته $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . وفي رسوميات الحاسوب يعطي الحساب نفسه المتجهات العمودية على السطوح لحساب الإضاءة.

في الفيزياء، العزم $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ والقوة المغناطيسية على شحنة متحركة $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . وفي كل حالة تشير النتيجة عموديًا على مستوى المتجهين، كما تتنبأ قاعدة اليد اليمنى.

أخطاء شائعة

نسيان الإشارة السالبة في المركبة $\mathbf{j}$ .
افتراض أن $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ؛ فعكس الترتيب يعكس الاتجاه.
تطبيق الضرب الاتجاهي على متجهات ثنائية الأبعاد دون إضافة مركبة ثالثة صفرية أولًا.
الخلط بين الضرب الاتجاهي والضرب القياسي، الذي يعطي عددًا.
نسيان أخذ نصف الطول عند إيجاد مساحة مثلث.

نصائح

تحقق من إجابتك بضربها ضربًا قياسيًا في كل من المتجهين؛ فيجب أن تكون النتيجتان 0.
استخدم $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ و $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ و $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ وسيلةً للتذكّر.
للمتجهات في 2D، أدخل 0 مركبةً ثالثة؛ فتشير الإجابة عندئذٍ على امتداد المحور $z$ .
استخدم حاسبة الضرب القياسي لإيجاد الزاوية بين المتجهين.
استخدم حاسبة المحدّدة لحساب الضرب الثلاثي القياسي $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ على صورة محدّدة $3 \times 3$ .
ارسم المتجهين وطبّق قاعدة اليد اليمنى لتتوقع إشارة كل مركبة قبل الحساب.

الأسئلة الشائعة

كيف يُحسب الضرب الاتجاهي؟

ضع i وj وk في الصف الأول لمحدّدة 3×3 والمتجهين في الصفين التاليين، ثم انشر على الصف الأول. وتذكّر الإشارة السالبة في المركبة j.

ماذا يمثّل طول الضرب الاتجاهي؟

مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده المتجهان. ونصفه مساحة المثلث الذي يكوّنانه.

هل الضرب الاتجاهي إبدالي؟

لا. تبديل الترتيب يعكس الاتجاه: v × u = −(u × v).

هل يمكنني حساب الضرب الاتجاهي لمتجهات في 2D؟

ليس مباشرة؛ فالضرب الاتجاهي معرّف لثلاث مركبات. أضف 0 مركبةً ثالثة لكل متجه، فتشير النتيجة على امتداد المحور z.

ماذا يعني أن يكون الضرب الاتجاهي صفرًا؟

المتجهان متوازيان (أو أحدهما المتجه الصفري)، لذا لا يولّدان أي مساحة.

كيف أتحقق من ضرب اتجاهي؟

احسب ضربه القياسي في كل من المتجهين الأصليين. فيجب أن تكون النتيجتان صفرًا لأن الضرب الاتجاهي عمودي على كليهما. والحاسبة تجري هذا التحقق نيابةً عنك.

كيف أجد متجهًا عموديًا على مستوى؟

خذ متجهين غير متوازيين يقعان في المستوى واحسب ضربهما الاتجاهي. فالنتيجة عمودية على المستوى.

احسب ضربك الاتجاهي

أدخل متجهين ثلاثيي الأبعاد في الأعلى لترى كل مركبة وطول النتيجة والتحقق من تعامدها.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة الضرب الاتجاهي