شرح الضرب النقطي

صيغة المركّبات

الضرب النقطي، ويُسمّى أيضًا الضرب القياسي، يأخذ متّجهين لهما عدد المركّبات نفسه ويعيد عددًا واحدًا، لا متّجهًا. ولحسابه، اضرب المركّبات المتناظرة واجمع النتائج:

تصلح الصيغة في أي عدد من الأبعاد، ولهذا ينتشر الضرب النقطي في علم البيانات، حيث قد تكون للمتّجهات آلاف المركّبات. وهو أيضًا لبنة ضرب المصفوفات: فكل عنصر من حاصل ضرب مصفوفتين هو الضرب النقطي لصف في عمود.

الصيغة الهندسية والزاوية بين متّجهين

للضرب النقطي وصف ثانٍ هندسي. فإذا كانت $\theta$ الزاوية بين المتّجهين عند رسمهما من النقطة نفسها، فإن:

هنا $|\mathbf{a}|$ هو طول $\mathbf{a}$، أي مقداره. والصيغتان متّفقتان دائمًا، وهذه حقيقة تنتج من قانون جيب التمام مطبّقًا على المثلث المكوَّن من $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ و$\mathbf{a} - \mathbf{b}$. والجمع بينهما يعطي طريقة عملية لإيجاد الزاوية بين أي متّجهين:

ما الذي تخبرك به الإشارة

بما أن الأطوال موجبة، فإشارة الضرب النقطي تطابق إشارة $\cos\theta$. وهذا يعطي قراءة سريعة للزاوية دون حسابها:

• موجب: الزاوية حادّة، أقل من 90 درجة، والمتّجهان يتّجهان على وجه العموم الوجهة نفسها.
• صفر: المتّجهان متعامدان.
• سالب: الزاوية منفرجة، أكبر من 90 درجة، والمتّجهان يتّجهان على وجه العموم في اتجاهين متعاكسين.

حالة الصفر هي الأكثر فائدة. فمثلًا، $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$، فهذان المتّجهان متعامدان. وفي بُعدين، مبادلة مركّبتي متّجه وعكس إشارة إحداهما تُنتج دائمًا متّجهًا عموديًا عليه، وهي حيلة مفيدة لإيجاد العموديات على المستقيمات.

الأطوال ومتّجهات الوحدة

الضرب النقطي لمتّجه في نفسه يعطي مربع طوله، لأن الزاوية صفر و$\cos 0 = 1$:

إذن طول $(2, -1, 3)$ هو $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. وقسمة متّجه على طوله تُنتج متّجه وحدة، طوله 1 ويتّجه الوجهة نفسها. ومتّجهات الوحدة مريحة لأن الضرب النقطي لمتّجهي وحدة هو ببساطة جيب تمام الزاوية بينهما.

إسقاط متّجه على آخر

إسقاط $\mathbf{a}$ على $\mathbf{b}$ هو الظل الذي يلقيه $\mathbf{a}$ على المستقيم المارّ بـ $\mathbf{b}$ عندما يسقط الضوء عموديًا على ذلك المستقيم. والضرب النقطي يعطيه مباشرةً:

العدد $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$، وهو نحو 4.427 هنا، هو المركّبة القياسية لـ $\mathbf{a}$ على امتداد $\mathbf{b}$: أي الطول المُوجَّه للظل. والإسقاطات تجزّئ المتّجه إلى جزء على امتداد اتجاه ما وجزء عمودي عليه، وهي خطوة تُستخدم في كل مكان من الفيزياء إلى طريقة المربعات الصغرى في الإحصاء.

الشغل الذي تبذله قوة

في الفيزياء، لا يبذل شغلًا إلا جزء القوة المؤثّر في اتجاه الحركة. لذا فالشغل الذي تبذله قوة ثابتة $\mathbf{F}$ تحرّك جسمًا إزاحةً $\mathbf{d}$ هو ضرب نقطي: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

الخصائص والتطبيقات

• إبدالي: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• توزيعي: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• الأعداد القياسية تُخرج عاملًا: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• متباينة كوشي-شفارتس: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$، وهي تضمن أن صيغة جيب التمام تعطي دائمًا قيمة بين $-1$ و1.

وخارج الهندسة، يقوم الضرب النقطي عليه تشابه جيب التمام، الذي تستخدمه محرّكات البحث وأنظمة التوصية لقياس مدى تشابه وثيقتين أو مستخدمَين؛ والإضاءة في الرسوميات ثلاثية الأبعاد (3D)، حيث يعتمد السطوع على الضرب النقطي للعمودي على السطح في اتجاه الضوء؛ والشبكات العصبية، التي تحسب عصبوناتها الضرب النقطي للمُدخلات في الأوزان. وتحسب حاسبة الضرب النقطي حاصل الضرب والزاوية والإسقاطات مع الخطوات، وحاسبة الضرب الاتجاهي تتولّى الطريقة الأخرى لضرب المتّجهات، التي يتناولها دليل الضرب الاتجاهي.

مسألة هندسية كلاسيكية

يجعل الضرب النقطي بعض المسائل الهندسية سريعة على نحو مدهش. ما الزاوية التي يصنعها القطر الطويل لمكعب مع أحد أحرفه؟ ضع المكعب بحيث يكون أحد رؤوسه عند نقطة الأصل وأحرفه التي طولها 1 على المحاور. يمتدّ القطر من نقطة الأصل إلى $(1, 1, 1)$، ويمتدّ أحد الأحرف إلى $(1, 0, 0)$.

ضربهما النقطي 1، وطول القطر $\sqrt{3}$ وطول الحرف 1، إذن $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ و$\theta \approx 54.7^\circ$. وحلّ هذا بالهندسة التقليدية يتطلّب إنشاء مثلث قائم داخل المكعب والاستدلال بعناية على أضلاعه؛ أما بالمتّجهات فيكفيه ثلاثة أسطر. والطريقة نفسها تجد الزاوية بين أي مستقيمين أو مستويين أو رابطتين كيميائيتين ما دمت تستطيع وصف اتجاهاتها بمتّجهات.

أخطاء شائعة

• كتابة الإجابة متّجهًا، مثل $(8, 0, -6)$ بدلًا من المجموع 2.
• نسيان أخذ الجذور التربيعية عند حساب الأطوال لصيغة الزاوية.
• القسمة على $|\mathbf{b}|$ بدلًا من $|\mathbf{b}|^2$ في صيغة الإسقاط المتّجهي.
• الخلط بين الدرجات والراديان عند حساب $\cos\theta$ أو معكوسها على الآلة الحاسبة.
• استنتاج أن المتّجهين متعامدان بينما أحدهما في الحقيقة المتّجه الصفري.

الإشارة وسيلة جيدة للتحقق المنطقي. فإذا كان المتّجهان يتّجهان بوضوح في اتجاهين متقاربين في رسمك، فيجب أن يكون الضرب النقطي موجبًا؛ وإذا أعطاك حسابك عددًا سالبًا، فابحث عن خطأ في إشارة إحدى المركّبات.

مسائل للتدريب

حلّ هذه المسائل، ثم قارن بالإجابات التي تليها. أولًا، جد $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$؛ حواصل الضرب 4 و$-3$ و$-10$، فالإجابة $-9$، والقيمة السالبة تعني أن الزاوية منفرجة. ثانيًا، جد $k$ بحيث يكون $(2, k)$ عموديًا على $(3, -6)$: وضع $6 - 6k = 0$ يعطي $k = 1$. ثالثًا، جد الزاوية بين $(1, 0)$ و$(1, 1)$: الضرب النقطي 1 والطولان 1 و$\sqrt{2}$، فالزاوية 45 درجة، كما يؤكّد رسم سريع.

لمحة تاريخية

الترميز المتّجهي أحدث من معظم رياضيات المدرسة. ففي أربعينيات القرن التاسع عشر (بدءًا من عام 1840)، ابتكر ويليام روان هاملتون الكواتيرنيونات، وهي أعداد لها جزء حقيقي واحد وثلاثة أجزاء تخيّلية، وكان حاصل ضرب اثنين من كواتيرنيوناته البحتة يحتوي على جزء قياسي وجزء متّجهي معًا. وفي ثمانينيات القرن نفسه (بدءًا من عام 1880)، فصل جوزايا ويلارد جيبس وأوليفر هيفيسايد هذين الجزأين إلى الضرب النقطي والضرب الاتجاهي، فقدّما للفيزيائيين الجبر المتّجهي الأبسط الذي لا يزال يُدرَّس اليوم. واختار جيبس النقطة الوسطى رمزًا، ومن هنا جاء الاسم الشائع للعملية.

الأسئلة الشائعة