شرح قانون جيوب التمام بالأمثلة

الصيغة

سمِّ عناصر المثلث بالطريقة المعتادة: الزوايا $A$ و$B$ و$C$، والأضلاع المقابلة لها $a$ و$b$ و$c$. لقانون جيوب التمام ثلاث صيغ، واحدة لكل ضلع، وكلها تتبع النمط نفسه:

اقرأها هكذا: مربع أحد الأضلاع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، مطروحًا منه حدّ تصحيح. والزاوية في حدّ التصحيح هي المقابلة للضلع في الطرف الأيسر، وهي أيضًا الزاوية المحصورة بين الضلعين في الطرف الأيمن. وحين $C = 90^\circ$ يكون $\cos C = 0$ ويختفي التصحيح، فيبقى $c^2 = a^2 + b^2$. إذن مبرهنة فيثاغورس حالة خاصة منه.

وحلّ الصيغة بالنسبة إلى جيب التمام يعطي الشكل المستخدم لإيجاد الزوايا:

برهان قصير بالإحداثيات

ضع الرأس $C$ في نقطة الأصل والضلع $a$ على الاتجاه الموجب للمحور x، فيكون الرأس $B$ عند $(a, 0)$. والرأس $A$ على بعد $b$ من نقطة الأصل في اتجاه الزاوية $C$، فإحداثياه $(b\cos C, b\sin C)$.

الضلع $c$ هو المسافة من $A$ إلى $B$. وبصيغة المسافة، $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. والفكّ يعطي $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$، وبما أن $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$، فهذا يساوي $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. ويصحّ البرهان سواء أكانت $C$ حادة أم منفرجة، لأن الإحداثيات تتولّى الإشارات تلقائيًا.

وتظهر المتطابقة نفسها بالصيغة المتجهية $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$، ولهذا يمكن استخدام الضرب النقطي لإيجاد الزاوية بين متجهين.

إيجاد ضلع: ضلعان والزاوية المحصورة بينهما

حين تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (ضلع-زاوية-ضلع)، لا يستطيع قانون الجيوب أن يبدأ، لأنه لا يوجد ضلع مقترن بزاويته المقابلة. أما قانون جيوب التمام فيعطي الضلع الثالث مباشرة.

إيجاد الزوايا: الأضلاع الثلاثة

حين تكون الأضلاع الثلاثة معلومة (ضلع-ضلع-ضلع)، استخدم صيغة جيب التمام لكل زاوية. ابدأ بأكبر زاوية، وهي المقابلة لأطول ضلع. فإن كانت منفرجة كان جيب تمامها سالبًا، ومعكوس جيب التمام يتعامل مع ذلك تعاملًا صحيحًا لأنه يعيد زوايا من $0^\circ$ إلى $180^\circ$. وبعد معرفة أكبر زاوية، تكون الزاويتان الأخريان حادتين حتمًا، فحتى قانون الجيوب يستطيع إتمام الحل دون أي التباس.

وإذا لم تستطع الأطوال الثلاثة تكوين مثلث، أخبرتك الصيغة بذلك: إذ يخرج جيب التمام خارج $[-1, 1]$. فللأضلاع 3 و4 و8، يكون للزاوية المقابلة للضلع 8 القيمة $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$، وهذا مستحيل، ويتّفق مع متباينة المثلث $3 + 4 < 8$.

حادّ أم قائم أم منفرج دون آلة حاسبة

إشارة $a^2 + b^2 - c^2$ هي إشارة $\cos C$ نفسها. وإذا كان $c$ أطول ضلع، فهذا يعطي تصنيفًا سريعًا:

• $c^2 < a^2 + b^2$: أكبر زاوية حادة، فالمثلث حادّ الزوايا.
• $c^2 = a^2 + b^2$: المثلث قائم الزاوية.
• $c^2 > a^2 + b^2$: المثلث منفرج الزاوية.

للأضلاع 5 و7 و10، $100 > 74$، فالمثلث منفرج الزاوية، كما أكّد المثال 3. وللأضلاع 6 و8 و9، $81 < 100$، فهو حادّ الزوايا.

المساحة من الأضلاع الثلاثة: صيغة هيرون

الجمع بين قانون جيوب التمام وصيغة المساحة $\frac{1}{2}ab\sin C$ يقود إلى صيغة هيرون، التي لا تحتاج إلا إلى أطوال الأضلاع. ليكن $s = \frac{a + b + c}{2}$ نصف المحيط. عندئذ:

للأضلاع 5 و7 و10، $s = 11$ والمساحة $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$. وللتحقّق، تعطي $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ القيمة نفسها 16.25.

الاختيار بين القانونين

استخدم قانون جيوب التمام لحالتي «ضلع-زاوية-ضلع» و«ضلع-ضلع-ضلع»، وهما الحالتان اللتان لا يوجد فيهما زوج من ضلع وزاويته المقابلة. واستخدم قانون الجيوب حين يكون لديك ضلع مع زاويته المقابلة. وفي المسائل المختلطة، كثيرًا ما يأتي قانون جيوب التمام أولًا ويُتمّ قانون الجيوب الحل. ويعرض دليل حل المثلثات كل الحالات في مكان واحد.

ومن المزايا العملية لقانون جيوب التمام أنه لا يعطي أبدًا إجابة ملتبسة لزاوية، لأن كل جيب تمام بين $-1$ و1 يقابل زاوية واحدة بالضبط بين $0^\circ$ و$180^\circ$. أما قانون الجيوب فلا يستطيع التمييز بين زاوية حادة ومكمّلتها المنفرجة. ولهذا توصي كتب مدرسية كثيرة بإيجاد أكبر زاوية بجيوب التمام كلما كان وجود زاوية منفرجة ممكنًا.

أخطاء شائعة

• حساب $a^2 + b^2 - 2ab$ أولًا ثم الضرب في $\cos C$. يجب إجراء الضرب $2ab\cos C$ قبل الطرح.
• استخدام زاوية غير محصورة بين الضلعين المعطيين.
• نسيان أخذ الجذر التربيعي في النهاية عند إيجاد ضلع.
• الخلط بين الدرجات والراديان في الآلة الحاسبة.
• تقريب $c$ مبكرًا ثم استخدام القيمة المقرّبة لإيجاد الزوايا.

تحلّ حاسبة قانون جيوب التمام حالات «ضلع-زاوية-ضلع» و«ضلع-ضلع-ضلع» وغيرها مع عرض كل تعويض. ولمراجعة القيم الدقيقة لجيب التمام عند الزوايا الخاصة، راجع حاسبة دائرة الوحدة.

أين يُستخدم قانون جيوب التمام

أي موقف فيه مسافتان معلومتان والزاوية بينهما هو مسألة في قانون جيوب التمام. يستخدمه الملّاحون لمعرفة بعد سفينة عن الميناء بعد مرحلتين من رحلة في اتجاهين مختلفين. ويستخدمه المهندسون لإيجاد طول دعامة أو كابل يصل طرفي عارضتين تلتقيان بزاوية معلومة. وفي الروبوتات، تُوجَد الزاوية التي يجب أن يتخذها كل مفصل في ذراع ذات وصلتين لبلوغ نقطة ما بحلّ قانون جيوب التمام بالنسبة إلى زاوية، لأن طولي الوصلتين والمسافة إلى الهدف كلها معلومة.

والصيغة نفسها تقيس مدى تشابه قائمتين من الأعداد في علم البيانات. فبمعاملة كل قائمة كمتجه، يُسمّى جيب تمام الزاوية بينهما، المحسوب من الضرب النقطي، تشابه جيب التمام، ويُستخدم في محرّكات البحث وأنظمة التوصية. والهندسة مطابقة لصيغة المثلث؛ ولا يتغيّر إلا عدد الأبعاد.

تمارين مع الإجابات

1. ضلعان طولاهما 4 و6 يلتقيان بزاوية $120^\circ$. أوجد الضلع الثالث. الإجابة: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$، لأن $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. أوجد أكبر زاوية في المثلث الذي أضلاعه 7 و8 و13. الإجابة: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$، فالزاوية $120^\circ$ بالضبط.
3. هل المثلث الذي أضلاعه 9 و12 و15 حادّ الزوايا أم قائم أم منفرج؟ الإجابة: $81 + 144 = 225 = 15^2$، فهو مثلث قائم.
4. أوجد مساحة المثلث الذي أضلاعه 13 و14 و15. الإجابة: $s = 21$، والمساحة $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

الأسئلة الشائعة