دائرة الوحدة: الراديان والزوايا المرجعية والقيم المثلثية الدقيقة

ما دائرة الوحدة

دائرة الوحدة هي الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل، ومعادلتها $x^2 + y^2 = 1$. وتُقاس الزوايا من الاتجاه الموجب للمحور x، عكس اتجاه عقارب الساعة للزوايا الموجبة ومع اتجاهها للزوايا السالبة. ويُسمّى الضلع الذي تبدأ منه الزاوية الضلع الابتدائي، والضلع الذي تنتهي عنده الضلع النهائي.

لأي زاوية $\theta$، يلتقي الضلع النهائي بالدائرة في نقطة واحدة بالضبط. والتعريف الذي يجعل دائرة الوحدة مفيدة إلى هذا الحد هو أن إحداثيي هذه النقطة $(\cos\theta, \sin\theta)$. والظل هو النسبة بينهما:

وللزوايا الحادة يتّفق هذا مع تعريفات المثلث القائم التي قد تعرفها مسبقًا. أسقِط عمودًا من النقطة على المحور x فتحصل على مثلث قائم وتره 1، وضلعه المجاور $x$، وضلعه المقابل $y$. إذن $\cos\theta = \frac{x}{1}$ و$\sin\theta = \frac{y}{1}$. وتمدّ دائرة الوحدة هذه التعريفات لتشمل كل زاوية، بما فيها الزوايا المنفرجة والسالبة والكبيرة جدًا.

الدرجات والراديان

الدورة الكاملة $360^\circ$، أو $2\pi$ راديان. والراديان الواحد هو الزاوية التي تقطع قوسًا طوله يساوي نصف القطر. وعلى دائرة الوحدة، حيث نصف القطر 1، يكون قياس الزاوية بالراديان هو طول القوس الذي تقطعه بالضبط، ولهذا يكون الراديان الوحدة الطبيعية في التفاضل والتكامل.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$، $45^\circ = \frac{\pi}{4}$، $60^\circ = \frac{\pi}{3}$، $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• $\frac{7\pi}{4}$ راديان $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• الراديان الواحد يساوي نحو $57.3^\circ$.

الزوايا الخاصة في الربع الأول

لثلاث زوايا قيم دقيقة مستمدّة من مثلثين مألوفين. فالزاوية $45^\circ$ تأتي من مثلث قائم متساوي الساقين وتره 1، وطول كل من ساقيه $\frac{\sqrt{2}}{2}$. والزاويتان $30^\circ$ و$60^\circ$ تأتيان من نصف مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 1، وطولا ساقيه $\frac{1}{2}$ و$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$: النقطة $(1, 0)$، إذن $\cos 0 = 1$ و$\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: النقطة $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$، إذن $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: النقطة $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$، إذن $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: النقطة $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$، إذن $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: النقطة $(0, 1)$، إذن $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ و$\tan\frac{\pi}{2}$ غير معرَّف.

يساعد نمط للتذكّر: جيوب الزوايا $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ هي $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$، وجيوب تمامها هي القائمة نفسها معكوسة. وكل نقطة تحقّق أيضًا $x^2 + y^2 = 1$؛ فمثلًا $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

الزوايا المرجعية والأرباع الأخرى

لست بحاجة إلى حفظ النقاط القياسية الست عشرة كلًّا على حدة. فلكل زاوية زاوية مرجعية: الزاوية الحادة بين ضلعها النهائي والمحور x. وإحداثيا الزاوية لهما مقدار إحداثيي زاويتها المرجعية نفسه، ولا تتغيّر إلا الإشارات بحسب الربع.

• الربع الأول (من $0$ إلى $\frac{\pi}{2}$): $x$ و$y$ موجبان، فالدوال الثلاث كلها موجبة.
• الربع الثاني (من $\frac{\pi}{2}$ إلى $\pi$): $x$ سالب و$y$ موجب، فالجيب وحده موجب.
• الربع الثالث (من $\pi$ إلى $\frac{3\pi}{2}$): كلاهما سالب، فالظل وحده موجب.
• الربع الرابع (من $\frac{3\pi}{2}$ إلى $2\pi$): $x$ موجب و$y$ سالب، فجيب التمام وحده موجب.

وبالمثل، للزاوية $\frac{3\pi}{4}$ زاوية مرجعية $\frac{\pi}{4}$ في الربع الثاني، فتعطي النقطة $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ و$\tan\frac{3\pi}{4} = -1$.

الزوايا السالبة والزوايا التي تتجاوز دورة كاملة

إضافة دورة كاملة، أي $2\pi$، أو طرحها يوصلك إلى النقطة نفسها، لذا يتكرّر الجيب وجيب التمام كل $2\pi$. والزوايا التي تشترك في الضلع النهائي تُسمّى زوايا مشتركة الضلع النهائي. ولحساب زاوية كبيرة، اطرح مضاعفات $2\pi$ حتى تقع بين 0 و$2\pi$؛ وللزاوية السالبة، أضف مضاعفات $2\pi$.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$، فلها نقطة $\frac{\pi}{4}$ نفسها: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• الزاوية $-\frac{\pi}{6}$ تشترك في الضلع النهائي مع $\frac{11\pi}{6}$، إذن $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ و$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$، إذن $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

والانعكاس في المحور x يبيّن أيضًا قاعدتي تناظر: $\cos(-\theta) = \cos\theta$، فجيب التمام دالة زوجية، و$\sin(-\theta) = -\sin\theta$، فالجيب دالة فردية. أما الظل فدورته أقصر، وهي $\pi$، لأن نقطتي $\theta$ و$\theta + \pi$ متقابلتان وتعطيان النسبة $\frac{y}{x}$ نفسها.

متطابقة فيثاغورس وإيجاد النسب الأخرى

بما أن كل نقطة على الدائرة تحقّق $x^2 + y^2 = 1$، فكل زاوية تحقّق أهم متطابقة في علم المثلثات:

الربع هو ما يحدّد الإشارة؛ أما المتطابقة وحدها فلا تعطي إلا المقدار. ويبني دليل المتطابقات المثلثية متطابقات كثيرة أخرى انطلاقًا من هذه المتطابقة.

حل المعادلات المثلثية الأساسية باستخدام الدائرة

لحل معادلة مثل $\sin\theta = \frac{1}{2}$ حيث $0 \le \theta < 2\pi$، ابحث عن كل نقطة على الدائرة إحداثيها y يساوي $\frac{1}{2}$. وهما نقطتان: واحدة في الربع الأول عند $\frac{\pi}{6}$، وأخرى في الربع الثاني عند $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

وبالمثل، تحتاج المعادلة $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى نقاط إحداثيها x يساوي $-\frac{\sqrt{2}}{2}$، وتقع عند $\frac{3\pi}{4}$ في الربع الثاني و$\frac{5\pi}{4}$ في الربع الثالث. وإذا طلب السؤال كل الحلول، فأضف $2\pi k$ لأي عدد صحيح $k$: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ أو $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

معكوس الجيب أو معكوس جيب التمام في الآلة الحاسبة لا يعيد إلا إجابة واحدة. أما دائرة الوحدة فتريك أين يقع الحل الثاني، وهذا ما لا تفعله الآلات الحاسبة أبدًا.

كيف تتعلّمها بكفاءة

حفظ ست عشرة نقطة بوصفها حقائق منفصلة بطيء وهشّ. والطريقة الأفضل أن تتقن ثلاثة أمور: نقاط الربع الأول الثلاث للزوايا $\frac{\pi}{6}$ و$\frac{\pi}{4}$ و$\frac{\pi}{3}$، وطريقة إيجاد الزاوية المرجعية، والإشارات المنطبقة في كل ربع. وبهذه الأمور تستغرق أي زاوية قياسية بضع ثوانٍ.

تدرّب برسم الدائرة من الذاكرة مرة يوميًا لمدة أسبوع، مع تسمية الزوايا بالدرجات والراديان معًا. ثم اختبر نفسك بزوايا عشوائية، بما فيها الزوايا السالبة والزوايا الأكبر من $2\pi$. وتعطي حاسبة دائرة الوحدة القيم الدقيقة والزاوية المرجعية لأي مُدخَل، فتستطيع التحقق من إجاباتك فورًا. والموضوعات اللاحقة، مثل قانون الجيوب وتفاضل الدوال المثلثية وتكاملها، تفترض هذه الطلاقة.

أخطاء شائعة

• تبديل الإحداثيين: الإحداثي x هو جيب التمام والإحداثي y هو الجيب.
• استخدام وضع الدرجات في الآلة الحاسبة لسؤال بالراديان، أو العكس.
• قياس الزاوية المرجعية من المحور y بدلًا من المحور x.
• إعطاء حل واحد فقط لمعادلة مثل $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
• نسيان أن الظل غير معرَّف حيث يكون جيب التمام صفرًا، أي عند $\frac{\pi}{2}$ و$\frac{3\pi}{2}$.

من الدائرة إلى منحنيي الجيب وجيب التمام

تخيّل نقطة تتحرّك عكس اتجاه عقارب الساعة حول دائرة الوحدة بسرعة ثابتة. يرتفع ارتفاعها فوق المحور x من 0 إلى 1 خلال ربع الدورة الأول، ثم يعود إلى 0 عند نصف الدورة، وينخفض إلى $-1$ عند ثلاثة أرباعها، ثم يعود إلى 0 بعد دورة كاملة. ورسم هذا الارتفاع مقابل الزاوية يُنتج الموجة المألوفة $y = \sin x$. أما رسم الموضع الأفقي بدلًا منه فيُنتج $y = \cos x$، وهي الموجة نفسها مُزاحة ربع دورة إلى اليسار.

كل ما يخصّ هذين المنحنيين يمكن قراءته من الدائرة. فمداهما $[-1, 1]$ لأن إحداثيي نقطة على دائرة نصف قطرها 1 لا يتجاوز مقدارهما 1 أبدًا. ودورتهما $2\pi$ لأن الدورة الكاملة تعيد النقطة إلى حيث بدأت. وأصفار الجيب عند مضاعفات $\pi$، حيث تعبر النقطة المحور x، وأصفار جيب التمام عند المضاعفات الفردية لـ $\frac{\pi}{2}$، حيث تعبر المحور y. والنظر إلى المنحنيين بوصفهما سجلًّا لحركة دائرية هو أيضًا سبب استخدام الدوال المثلثية لنمذجة المدّ والجزر وموجات الصوت والتيار المتردّد وكل ما يتكرّر في دورات.

الأسئلة الشائعة