حاسبة المتطابقات المثلثية

استراتيجية الجيب وجيب التمام

كل دالة مثلثية يمكن كتابتها بدلالة الجيب وجيب التمام، لذا فإن تحويل كل شيء إلى هاتين الدالتين يضع طرفي المتطابقة في لغة مشتركة. فيختفي الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام في كسور، وتصبح المسألة سؤالًا عن عبارات كسرية في $\sin x$ و$\cos x$.

وبمجرد أن يصبح الطرفان كسرين، فإن طرحهما وجمعهما على مقام مشترك يحوّل المتطابقة إلى عبارة واحدة: بسط معيّن يجب أن يساوي صفرًا. ولا حاجة إلى فحص المقامات أكثر، لأنها لا تسجل إلا المواضع التي كانت فيها العبارات الأصلية غير معرّفة.

والعقبة الأخيرة أن $\sin x$ و$\cos x$ ليستا مستقلتين؛ فهما مرتبطتان بـ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. ووضع قوى $1 - \sin^2 x$ مكان كل قوة زوجية لجيب التمام يزيل هذا الارتباط من القوى الزوجية. وبعد جمع الحدود المتشابهة لا تترك المتطابقة الصحيحة شيئًا. ولهذا تنتهي الطريقة دائمًا بإجابة واضحة للعبارات التي تقبلها، على خلاف أسلوب المحاولة والخطأ الذي يختار طرفًا واحدًا ويحوّله خطوة بخطوة.

الزوايا المضاعفة والإزاحات

تُفك الزوايا مثل $2x$ و$3x$ أولًا إلى دوال في $x$ نفسها. فصيغ ضعف الزاوية تعطي $\sin 2x$ و$\cos 2x$، والاستخدام المتكرر لصيغ الجمع يعطي $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. وتتحقق الحاسبة من هذه المتطابقة، ومن $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ أيضًا، بالمسار نفسه تمامًا الذي تعالج به أي مُدخل آخر.

وتُعالج الإزاحات بمضاعفات $\frac{\pi}{2}$ بقواعد الدوال المتتامة وربع الدورة. وعمومًا تقبل الحاسبة أي زاوية على الصورة $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ حيث $k$ و$m$ عددان صحيحان. أما أنصاف الزوايا مثل $\frac{x}{2}$ والإزاحات الاعتباطية مثل $x + 1$ فلا يمكن ردّها إلى كثيرات حدود في $\sin x$ و$\cos x$، لذا ترفضها الحاسبة مع شرح بدلًا من تقديم برهان غير موثوق.

تعمل الحاسبة بمتغير واحد. وصيغة جمع مثل $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ تتضمن زاويتين مستقلتين وهي خارج نطاقها؛ وستقول ذلك بدلًا من محاولتها.

نفي معادلة

إذا لم يُختصر البسط إلى صفر، فالمعادلة ليست متطابقة. ولتوضيح ذلك تحسب الحاسبة الطرفين عند زاوية عينة وتبيّن أنهما مختلفان. ففي الخطأ الشائع $\sin 2x = 2\sin x$ تذكر أنه عند $x = 30°$ يكون الطرف الأيسر نحو $0.866$ بينما الطرف الأيمن $1$.

يكفي مثال مضاد واحد لنفي متطابقة، لكن أي عدد من الأمثلة المتوافقة لا يكفي لإثباتها. فقد تتطابق عبارتان عند زوايا كثيرة مصادفةً. ولهذا يكون برهان الحاسبة جبريًا، ولهذا أيضًا يفيد فحص بضع قيم على التمثيل البياني تحققًا مبدئيًا لكنه لا يغني عن البرهان.

تبسيط العبارات

من دون علامة يساوي، تكتب الحاسبة العبارة بالجيب وجيب التمام، وتجمعها في كسر واحد، وتستخدم متطابقة فيثاغورس وتختصر العوامل المشتركة. ثم تقارن النتيجة بالصور القياسية. ففي $\tan x + \cot x$ يُختصر الكسر الواحد $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ إلى $\frac{1}{\sin x\cos x}$، وتتعرف عليه بأنه $\sec x\csc x$.

نادرًا ما توجد صورة مبسطة صحيحة واحدة في حساب المثلثات. فـ $\sec x\csc x$ و$\frac{1}{\sin x\cos x}$ و$\frac{2}{\sin 2x}$ كلها متكافئة. وتختار الحاسبة صورة قياسية مختصرة، وتعرض الخطوات الكسور الوسيطة لتتوقف عند الصيغة التي يتوقعها مقررك.

كتابة البرهان يدويًا

كثيرًا ما يشترط المعلمون أن تحوّل أحد الطرفين إلى الآخر بدلًا من طرح الطرفين، لأن العمل على الطرفين معًا قد يُخفي خطوات غير صحيحة مثل التربيع. وخطوات الحاسبة تتحول مباشرةً إلى هذا الأسلوب. ابدأ بالطرف الأكثر تعقيدًا، واكتبه بالجيب وجيب التمام، واجمع الكسور، وطبّق $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ في الاتجاه المفيد، وبسّط حتى يطابق الطرف الآخر.

ومن الحركات المفيدة الضرب في المرافق، كما في إثبات $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$، وتحليل فرق مربعين، كما في $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$، وتقسيم الكسر إلى حدود منفصلة. وتؤكد الحاسبة أن كلتا المتطابقتين صحيحة، فتركّز أنت على عرض الحجة بترتيب.