حاسبة المشتقات

القواعد الأساسية

تأتي كل المشتقات تقريبًا في المقرر الأول من عدد قليل من القواعد. فقاعدة القوة تعطي $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ لأي عدد حقيقي $n$، وهذا يشمل الجذور أيضًا، لأن مشتقة $\sqrt{x} = x^{1/2}$ هي $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. وتسمح قاعدتا مضاعف الثابت والمجموع باشتقاق كثيرة الحدود حدًّا حدًّا. وتنص قاعدة الدالة الأسية على أن $e^x$ هي مشتقة نفسها، وتعطي قاعدة اللوغاريتم $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$. ولكل من الدوال المثلثية الست مشتقة قياسية، بدءًا من $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ و$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.

وتُجمع هذه المشتقات الأساسية بثلاث قواعد بنيوية. فقاعدة الضرب تعالج $f \cdot g$، وقاعدة القسمة تعالج $\frac{f}{g}$، وقاعدة السلسلة تعالج دالة داخل دالة أخرى. والتعرف على البنية التي أمامك هو معظم العمل، ولهذا تذكر الحاسبة اسم القاعدة في عنوان كل خطوة.

قاعدة السلسلة عمليًا

تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت $y = f(g(x))$ فإن $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$: اشتق الدالة الخارجية واترك ما بداخلها كما هو، ثم اضرب في مشتقة الداخل. ففي $\sin(x^2)$ الدالة الخارجية هي الجيب والداخل هو $x^2$، لذا فالمشتقة $\cos(x^2) \cdot 2x$. وتكتبها الحاسبة على الصورة $2\cos(x^2)\,x$، وهي العبارة نفسها بترتيب مختلف للعوامل.

وتختبئ قاعدة السلسلة أيضًا داخل قواعد أخرى. ففي $e^{3x}$ الداخل هو $3x$، لذا فالمشتقة $3e^{3x}$، وتسمي الحاسبة هذه الخطوة قاعدة الدالة الأسية مع $e^u \cdot u'$. ونسيان العامل الآتي من الدالة الداخلية هو أكثر أخطاء الاشتقاق شيوعًا على الإطلاق، ومقارنة نتيجتك بخطوة الحاسبة الخاصة بالدالة الداخلية هي أسرع طريقة لاكتشافه.

خوارج القسمة والتبسيط

لخارج القسمة $\frac{u}{v}$ تكون القاعدة $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. والترتيب في البسط مهم لأن الطرح ليس إبداليًا. فاشتقاق $\frac{e^{3x}}{x}$ يعطي $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$، وتبسّطه الحاسبة إلى $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$. والصورتان صحيحتان، وكذلك $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$. وحين تبدو إجابتك مختلفة عن المعروضة، عوّض بقيمة مثل $x = 1$ في كلتيهما؛ فتساوي القيم عند عدة نقاط دليل قوي على أن العبارتين متكافئتان.

المشتقات العليا والحساب عند نقطة

الاشتقاق مرة أخرى يعطي المشتقة الثانية، وهي تقيس كيف يتغير الميل نفسه. فالمشتقة الثانية الموجبة تعني أن التمثيل البياني مقعّر إلى أعلى، منحنٍ كالكوب، والسالبة تعني أنه مقعّر إلى أسفل. ففي $f(x) = x^3$ المشتقة الأولى $3x^2$ والثانية $6x$؛ والحساب عند $x = 2$ يعطي $f''(2) = 12$. وفي الفيزياء، لو كانت $x^3$ موقعًا، لكان 12 هو التسارع عند الزمن 2.

وحساب المشتقة الأولى عند نقطة يعطي ميل المماس هناك، ومع النقطة نفسها يمكنك كتابة معادلة المماس بصيغة النقطة والميل. وهذا أساس التقريب الخطي وطريقة نيوتن لحل المعادلات.

استخدام المشتقات لإيجاد القيم العظمى والصغرى

لا يمكن لدالة ملساء أن تبلغ قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية إلا حيث تكون مشتقتها صفرًا أو غير معرّفة، لأن المماس عند قمة التل أو قاع الوادي أفقي. ولإيجاد القيمة المثلى لدالة، اشتقها، وضع $f'(x) = 0$، وحُلّ لإيجاد $x$، واختبر كل نقطة مرشحة. ففي $f(x) = x^3 - 3x$ المشتقة $3x^2 - 3$، وهي صفر عند $x = -1$ و$x = 1$. والمشتقة الثانية $6x$ سالبة عند $-1$ وموجبة عند $1$، لذا للتمثيل البياني قيمة عظمى محلية عند $(-1, 2)$ وقيمة صغرى محلية عند $(1, -2)$.

وعلى فترة مغلقة قد تقع القيمتان الكبرى والصغرى أيضًا عند طرفي الفترة، لذا قارن قيم الدالة هناك أيضًا. وكثير من المسائل التطبيقية، مثل تقليل مادة صنع صندوق ذي حجم ثابت إلى أدنى حد، تتبع هذا النمط بالضبط بعد كتابة الكمية المراد تحسينها دالةً في متغير واحد.

كيف تتحقق الحاسبة من إجابتها

قد يخطئ الاشتقاق الرمزي بطرق خفية، ولا سيما أثناء التبسيط، لذا لا يُوثق بالنتيجة دون فحص. فتحسب الحاسبة مشتقتها عند مجموعة من نقاط العينة وتقارنها بخارج قسمة الفروق المركزي $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ لقيمة صغيرة من $h$، محسوبًا مباشرةً من دالتك الأصلية. فإذا توافقت القيمتان ضمن تفاوت ضيق عند كل نقطة تكون الدالة معرّفة عندها، نجح الفحص وذُكر أسفل الإجابة. ويمكنك تطبيق الفكرة نفسها يدويًا بآلة حاسبة: اختر قيمة لـ $x$، وزحزحها قليلًا إلى أعلى وإلى أسفل، وانظر هل التغير في $f$ مقسومًا على التغير في $x$ يطابق مشتقتك.