حاسبة التكامل المحدد

لماذا يعطي F(b) − F(a) المساحة

تخيّل دالة مساحة $A(t)$ تقيس المساحة تحت $f$ من $a$ حتى نقطة متحركة $t$. فإذا حرّكت $t$ إلى الأمام بمقدار ضئيل $h$، فالمساحة الإضافية شريحة رفيعة ارتفاعها نحو $f(t)$ وعرضها $h$، لذا $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. والقسمة على $h$ ثم جعلها تتناقص تبيّن أن $A'(t) = f(t)$: أي أن دالة المساحة دالة أصلية لـ $f$.

وأي دالتين أصليتين لا تختلفان إلا بثابت، لذا $A(t) = F(t) + C$ لأي دالة أصلية $F$ وجدتها. ولأن $A(a) = 0$، فالثابت هو $-F(a)$، والمساحة الكاملة $A(b) = F(b) - F(a)$. ولهذا أيضًا لا يظهر ثابت التكامل أبدًا في التكامل المحدد: فهو يُختصر في عملية الطرح.

المساحة ذات الإشارة والمساحة المطلقة

حين ينخفض التمثيل البياني تحت المحور، يطرح التكامل ذلك الجزء. ففي $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ تلغي القبة الموجبة والقبة السالبة إحداهما الأخرى تمامًا، والإجابة 0. وهذه هي القيمة الصحيحة للتكامل، لكنها ليست المساحة التي تظللها على التمثيل البياني.

ولإيجاد المساحة الكلية، حدّد أصفار الدالة داخل الفترة، وكامل على كل جزء، واجمع القيم المطلقة للأجزاء. والحاسبة تقبل abs()، فإدخال abs(x-1) من 0 إلى 2 يعطي 1، وهو مجموع مساحتي مثلثين، بينما x-1 على الفترة نفسها يعطي 0.

التكاملات المعتلة: الحدود اللانهائية وخطوط التقارب الرأسية

يكون التكامل معتلًا حين يكون أحد طرفيه لا نهائيًا أو حين تصبح الدالة المكامَلة غير محدودة في موضع ما من الفترة. وعندئذ تُعرَّف قيمته بوصفها نهاية. ففي $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ تجد الحاسبة $F(x) = -\frac1x$، وتأخذ النهاية عندما $x \to \infty$، وهي 0، وتطرح $F(1) = -1$، وتذكر أن التكامل يتقارب إلى 1.

والفكرة نفسها تعالج خطوط التقارب. فـ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ يتقارب إلى 2 لأن $2\sqrt{x}$ لها نهاية منتهية عند 0، بينما $\int_0^1 \frac1x\,dx$ يتباعد لأن $\ln x$ تتجه إلى $-\infty$. فكلتا الدالتين المكامَلتين تنفجر عند الصفر؛ وما يحسم النتيجة هو سرعة ذلك. وإذا كانت نقطة الانفراد في وسط الفترة، وجب تقسيم التكامل عندها ويجب أن يتقارب كل نصف على حدة.

وعلى خط الأعداد الحقيقية كله يحتاج الطرفان كلاهما إلى نهاية. فتحسب الحاسبة $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ بوصفه $\arctan x$ من $-\frac{\pi}{2}$ إلى $\frac{\pi}{2}$ وتعطي $\pi$ تمامًا.

حين لا توجد صيغة: التكامل العددي

بعض الدوال العادية تمامًا لها دوال أصلية لا يمكن كتابتها بالدوال الأولية. فالدالة الجرسية $e^{-x^2}$، و$\frac{\sin x}{x}$، و$\sqrt{1 + x^3}$ أمثلة معروفة. وتكاملاتها المحددة موجودة مع ذلك؛ لكنها ببساطة يجب أن تُحسب عدديًا.

وفي هذه الحالة تستخدم الحاسبة قاعدة سمبسون التكيفية، التي توفّق قطوعًا مكافئة على أجزاء صغيرة من المنحنى وتقسّم أكثر حيثما لم يبلغ التقدير الدقة المطلوبة بعد، مستهدفةً خطأً أقل من $10^{-10}$. ففي $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ تعطي نحو 0.7468241328، موسومًا بأنه تقريب عددي حتى لا يُخلط أبدًا بقيمة دقيقة.

خصائص مفيدة توفر الجهد

تبديل الحدّين يغيّر الإشارة، لذا $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. والتكامل على فترة عرضها صفر يساوي صفرًا. وللدالة الفردية مثل $x^3$ أو $\sin x$، يكون التكامل على فترة متماثلة $[-a, a]$ صفرًا، وللدالة الزوجية يساوي ضعف التكامل من 0 إلى $a$. وملاحظة التماثل قبل الحساب قد تحوّل مسألة معقدة إلى إجابة في سطر واحد.

والتكاملات خطية أيضًا: فالثوابت تخرج عاملًا مشتركًا والمجاميع تنفصل إلى تكاملات منفصلة. ومع قاعدة تقسيم الفترة، تتيح لك هذه الخصائص تجزئة منطقة معقدة إلى أجزاء يسهل التعامل مع كل منها.