شرح قواعد الاشتقاق مع أمثلة محلولة

لماذا القواعد بدلًا من النهايات

تُعرَّف المشتقة بأنها نهاية، $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$، ومقال ما المشتقة يطبّق هذا التعريف على دوال بسيطة. لكن فعل ذلك في كل مسألة سيكون مرهقًا. لذا أثبت الرياضيون قواعد عامة مرة واحدة، وهذه القواعد تتعامل الآن مع كثيرات الحدود والجذور والدوال الأسية واللوغاريتمات والدوال المثلثية وأي تركيب منها.

فكّر في القواعد على أنها مجموعتان: مشتقات اللبنات الأساسية، وقواعد لجمع هذه اللبنات عبر المجاميع ونواتج الضرب وخوارج القسمة وتركيب الدوال.

القواعد الأساسية: الثوابت والقوى والمجاميع

الثابت لا يتغيّر أبدًا، فمعدل تغيّره صفر. وقاعدة القوة تصلح لأي أس حقيقي $n$، لا للأعداد الصحيحة الموجبة فقط، وهذا يجعلها أنفع بكثير مما تبدو أول الأمر. والمضاعفات الثابتة تمر كما هي، ومشتقة المجموع هي مجموع المشتقات.

أعد كتابة الجذور والكسور التي يكون فيها $x$ في المقام على صورة قوى قبل الاشتقاق. فمعظم أخطاء قاعدة القوة تأتي من تخطّي هذه الخطوة.

الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية

هذه المشتقات تستحق الحفظ، لأن كل مسألة أكبر مبنية منها:

الدالة $e^x$ هي مشتقة نفسها، ولهذا يظهر $e$ في كل أرجاء التفاضل والتكامل. وتتطلّب القواعد المثلثية أن تكون الزاوية بالراديان؛ أما بالدرجات فيظهر عامل إضافي هو $\frac{\pi}{180}$. وبقية المشتقات المثلثية هي $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ و$\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ و$\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$، وكلها تنتج من قاعدة القسمة أدناه.

قاعدة الضرب

مشتقة حاصل الضرب ليست حاصل ضرب المشتقتين. ولترى السبب، تخيّل مستطيلًا ضلعاه $f$ و$g$. عندما يزداد الضلعان قليلًا، تكسب المساحة شريطًا بحجم $f' \cdot g$ على امتداد أحد الضلعين وشريطًا بحجم $f \cdot g'$ على امتداد الآخر، إضافةً إلى ركن صغير جدًا يتلاشى في النهاية.

قاعدة القسمة

الترتيب مهم هنا بسبب الطرح. ومن الطرق الشائعة للتذكّر: «المقام في مشتقة البسط، ناقص البسط في مشتقة المقام، على مربع المقام».

تطبيقها على $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ يعطي $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$، وهذا يؤكد الجدول أعلاه.

قاعدة السلسلة

تتعامل قاعدة السلسلة مع تركيب الدوال، أي الدوال داخل الدوال. فإذا كان $y = f(g(x))$، فإن:

بالكلمات: اشتقّ الدالة الخارجية تاركًا ما بداخلها كما هو، ثم اضرب في مشتقة الداخل. وبرمز لايبنتس، مع $u = g(x)$، تُقرأ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. فالمعدلات تتضاعف: إذا كان $u$ يتغيّر أسرع من $x$ بمعامل 3، وكان $y$ يتغيّر أسرع من $u$ بمعامل 2، فإن $y$ يتغيّر أسرع من $x$ بمعامل 6. والتعرّف على الدالتين الداخلية والخارجية هو المهارة التي يتدرّب عليها مقال تركيب الدوال.

الجمع بين القواعد

المسائل الحقيقية تمزج بين القواعد. اعمل من الخارج إلى الداخل: حدّد ما آخر عملية في العبارة، وطبّق قاعدتها، ثم تعامل مع كل جزء.

وعندما لا يمكن عزل $y$ إطلاقًا، كما في $x^2 + y^2 = 25$، تظل قاعدة السلسلة صالحة عبر الاشتقاق الضمني.

أخطاء شائعة

• نسيان مشتقة الداخل في قاعدة السلسلة، كأن تكتب $\cos(x^2)$ مشتقةً للدالة $\sin(x^2)$.
• ضرب المشتقتين في حالة حاصل الضرب بدلًا من استخدام قاعدة الضرب.
• عكس الترتيب في بسط قاعدة القسمة، وهذا يقلب الإشارة.
• تطبيق قاعدة القوة على $e^x$ أو على $2^x$؛ فهاتان دالتان أسيتان، لا قوتان.
• استخدام الدرجات في مشتقات الدوال المثلثية.

للتحقق من الإجابة، تبيّن حاسبة المشتقات القاعدة التي تطبّقها في كل خطوة، وتتيح لك حاسبة الرسم البياني مقارنة ميل المنحنى بقيم مشتقتك.

الدوال المثلثية العكسية

للدوال المثلثية العكسية مشتقات جبرية، وهذا يفاجئ كثيرًا من الطلاب أول مرة يرونها. وهي تنتج من اشتقاق العلاقة العكسية ضمنيًا؛ فمثلًا، إذا كان $y = \arcsin x$ فإن $\sin y = x$، واشتقاق الطرفين يعطي $\cos y \cdot y' = 1$. وبما أن $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ على مدى دالة الجيب العكسية، تنتج النتيجة:

هاتان النتيجتان أهم في التكامل منهما في الاشتقاق، لأنهما تفسّران لماذا تُنتج تكاملات مثل $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ دالة الظل العكسية.

المشتقات العليا

اشتقاق المشتقة يعطي المشتقة الثانية، وتنطبق القواعد نفسها في كل مرة. ففي $y = x^4$، المشتقات هي $4x^3$، ثم $12x^2$، ثم $24x$، ثم 24، وكل مشتقة بعد ذلك تساوي 0. وكثيرة الحدود من الدرجة $n$ تتلاشى دائمًا بعد $n + 1$ من الاشتقاقات.

أما الجيب وجيب التمام فيدوران في حلقة: مشتقات $\sin x$ هي $\cos x$ و$-\sin x$ و$-\cos x$ ثم $\sin x$ من جديد، وتتكرر كل أربع خطوات. والدالة الأسية $e^x$ لا تتغيّر أبدًا. وهذه الأنماط نقطة الانطلاق لبناء متسلسلات تايلور، التي تقرّب الدوال باستخدام جميع مشتقاتها عند نقطة واحدة.

تمارين مع إجاباتها

جرّب كل تمرين قبل قراءة الإجابة. وحدّد أولًا أي قاعدة هي الخارجية.

1. $\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$. الإجابة: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$.
2. $\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$. الإجابة: $x^2e^x(3 + x)$، بقاعدة الضرب.
3. $\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$. الإجابة: $-5\sin(5x + 1)$، بقاعدة السلسلة.
4. $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$. الإجابة: $\frac{1 - \ln x}{x^2}$، بقاعدة القسمة.
5. $\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$. الإجابة: $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$، بقاعدة السلسلة مع القوة $\frac{1}{2}$.

القواعد في سياقها: معدلات يعتمد بعضها على بعض

قاعدة السلسلة هي ما يجعل مسائل المعدلات المرتبطة ممكنة. افترض أن تموّجًا دائريًا ينتشر على سطح بركة بحيث يزداد نصف قطره بمعدل 2 سم في الثانية. المساحة هي $A = \pi r^2$، واشتقاقها بالنسبة إلى الزمن يعطي $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$. وعندما يكون نصف القطر 10 سم، تزداد المساحة بمعدل $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ سنتيمترًا مربعًا في الثانية.

والفكرة نفسها تجيب عن أسئلة حول سلّم ينزلق على جدار، أو بالون يُنفخ، أو ظل شخص يبتعد عن مصباح شارع. ففي كل حالة تكتب معادلة تربط بين الكميات، وتشتقّ كل حد بالنسبة إلى الزمن مستخدمًا قاعدة السلسلة، ثم تعوّض بالقيم في اللحظة التي تهمّك. والتعويض قبل الاشتقاق خطأ كلاسيكي، لأنه يحوّل الكميات المتغيّرة إلى ثوابت.

الأسئلة الشائعة