الاشتقاق الضمني خطوة بخطوة

المعادلات الصريحة والضمنية

تعطي المعادلة الصريحة $y$ مباشرةً على صورة صيغة في $x$، مثل $y = x^2 + 1$. لكن كثيرًا من المنحنيات المهمة توصف ضمنيًا، بمعادلة تربط بين $x$ و$y$. والدائرة $x^2 + y^2 = 25$ مثال مألوف. فحلّها لإيجاد $y$ يعطي دالتين، $y = \sqrt{25 - x^2}$ للنصف العلوي و$y = -\sqrt{25 - x^2}$ للنصف السفلي، واشتقاق كلٍّ منهما على حدة أمر مربك.

ومنحنيات أخرى لا يمكن حلّها لإيجاد $y$ أصلًا بالجبر المعتاد، مثل $x^3 + y^3 = 6xy$ أو $e^y + xy = e$. ومع ذلك تبقى لرسومها مماسات عند كل نقطة تقريبًا، والاشتقاق الضمني هو الأداة التي تجد ميولها. والطريقة تعتمد كليًا على قاعدة السلسلة، لذا يستحق الأمر مراجعة شرح قواعد الاشتقاق أولًا إن لم تكن واثقًا من تلك القاعدة.

الطريقة في أربع خطوات

1. اشتقّ طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$.
2. كلما اشتققت عبارة تحتوي على $y$، اضرب في $\frac{dy}{dx}$، لأن $y$ دالة في $x$ فتنطبق قاعدة السلسلة.
3. اجمع كل الحدود التي تحتوي على $\frac{dy}{dx}$ في طرف وكل ما عداها في الطرف الآخر.
4. أخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملًا مشتركًا واقسم لعزله.

الحقيقة الأساسية وراء الخطوة 2 هي متطابقة قاعدة السلسلة هذه، حيث $f$ أي دالة قابلة للاشتقاق:

إذن $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$، و$\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$، و$\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. ونواتج الضرب مثل $xy$ تحتاج إلى قاعدة الضرب أيضًا: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

مثال: الدائرة

لاحظ أن الإجابة الضمنية تصلح للنصفين معًا: فعند $(3, -4)$ يكون الميل $+\frac{3}{4}$. وتبيّن الصيغة أيضًا أين تكون المماسات أفقية، عندما $x = 0$، أي عند $(0, 5)$ و$(0, -5)$، وأين تكون رأسية، عندما $y = 0$، أي عند $(5, 0)$ و$(-5, 0)$. والإجابة تحتوي على $y$ إلى جانب $x$، وهذا طبيعي في المشتقات الضمنية؛ فأنت تحتاج إلى نقطة على المنحنى، لا إلى قيمة $x$ فقط، لتحصل على عدد.

أمثلة لا يمكن حلّها لإيجاد y

المشتقات الثانية

لإيجاد $\frac{d^2y}{dx^2}$، اشتقّ المشتقة الأولى ضمنيًا مرة أخرى، ثم عوّض بالمشتقة الأولى. ففي الدائرة، ابدأ من $y' = -\frac{x}{y}$ واستخدم قاعدة القسمة:

تستخدم الخطوة الأخيرة المعادلة الأصلية، $x^2 + y^2 = 25$، للتبسيط، وهي حيلة مفيدة في أحيان كثيرة. والنتيجة سالبة على النصف العلوي، حيث $y > 0$، فالمنحنى مقعّر إلى الأسفل هناك، وموجبة على النصف السفلي، وهذا يطابق صورة الدائرة.

استنتاج مشتقات الدوال العكسية

يفسّر الاشتقاق الضمني من أين تأتي مشتقات الدوال العكسية. ليكن $y = \arctan x$. إذن $\tan y = x$. والاشتقاق يعطي $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$، إذن $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

والطريقة نفسها مع $y = \ln x$، بعد إعادة كتابتها على الصورة $e^y = x$، تعطي $e^y\frac{dy}{dx} = 1$، إذن $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. وعمومًا، ميل الدالة العكسية هو مقلوب الميل الأصلي عند النقطة المقابلة، كما هو موضّح في مقالنا عن الدوال العكسية.

المعدلات المرتبطة

عندما تعتمد المتغيرات على الزمن، تنجح الفكرة نفسها بالنسبة إلى $t$ بدلًا من $x$. فلكل متغير معدله الخاص.

أخطاء شائعة

• نسيان العامل $\frac{dy}{dx}$ عند اشتقاق حدّ فيه $y$.
• معاملة $xy$ على أنها متغير واحد بدلًا من استخدام قاعدة الضرب.
• اشتقاق الثابت في الطرف الأيمن كأنه متغير؛ فالثوابت تعطي 0.
• التعويض بالأعداد قبل الاشتقاق، وهذا يجمّد كميات متغيّرة.
• استخدام نقطة لا تقع فعلًا على المنحنى. تحقّق من النقطة أولًا دائمًا.

تنفّذ حاسبة الاشتقاق الضمني كل خطوة، وتجمع حدود المشتقة، ويمكنها حساب الميل عند نقطة. وللدوال الصريحة، استخدم حاسبة المشتقات.

لماذا تصحّ الطريقة

يفترض الاشتقاق الضمني أن المنحنى، قرب النقطة المعنية، هو فعلًا رسم دالة ما قابلة للاشتقاق $y(x)$، حتى لو لم نستطع كتابة تلك الدالة. والتعويض بها في المعادلة يحوّل المعادلة إلى متطابقة في $x$، صحيحة لكل $x$ قرب النقطة. وعبارتان متساويتان لكل $x$ لا بد أن تتساوى مشتقتاهما، ولهذا يجوز لنا اشتقاق الطرفين.

ولا يسقط هذا الافتراض إلا عند نقاط خاصة، مثل حيث يكون المماس رأسيًا أو حيث يقطع المنحنى نفسه. فورقة ديكارت تقطع نفسها عند نقطة الأصل، وهناك تعطي صيغة المشتقة $\frac{0}{0}$. وعند مثل هذه النقاط لا يكون المنحنى محليًا رسمًا لدالة واحدة، فلا يكون له ميل واحد. ومبرهنة الدالة الضمنية، التي تصادفها في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، تحدّد بالضبط متى يكون الافتراض آمنًا.

طريق مختصر بالمشتقات الجزئية

إذا كُتب المنحنى على الصورة $F(x, y) = 0$، فهناك صيغة موجزة للميل تنتج من الاستدلال نفسه:

هنا $F_x$ و$F_y$ مشتقتان جزئيتان، نجدهما بالاشتقاق بالنسبة إلى متغير واحد مع معاملة الآخر على أنه ثابت. ففي الدائرة، $F = x^2 + y^2 - 25$ تعطي $F_x = 2x$ و$F_y = 2y$، فيكون الميل $-\frac{x}{y}$، كما سبق. وتحسب لك حاسبة المشتقات الجزئية كلًّا من $F_x$ و$F_y$.

تمارين مع إجاباتها

1. $x^2 - y^2 = 9$. الإجابة: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$، الميل عند $(3, 4)$. الإجابة: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$، وهي تساوي $-\frac{4}{3}$ هناك.
3. $y^3 + y = x$. الإجابة: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$، وهي موجبة دائمًا، فالمنحنى صاعد دائمًا.
4. $\cos y = x$. الإجابة: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$، وهذا يقود إلى مشتقة دالة جيب التمام العكسية.

في كل تمرين، تحقّق من إجابتك باختيار نقطة على المنحنى، وتقدير الميل عدديًا من نقطة قريبة، ثم المقارنة.

أين تظهر المنحنيات الضمنية

المعادلات الضمنية شائعة في التطبيق. فالقطوع المخروطية مثل القطع الناقص والقطع الزائد تُكتب ضمنيًا بطبيعتها. وفي الاقتصاد، يربط منحنى السواء بين كميات سلعتين تمنحان المستهلك الرضا نفسه، وميله، الذي نجده ضمنيًا، هو المعدل الذي سيبادل به المستهلك إحدى السلعتين بالأخرى. وفي الديناميكا الحرارية، تربط معادلات الحالة بين الضغط والحجم ودرجة الحرارة، ويبيّن الاشتقاق الضمني كيف يتغيّر أحدها عندما يتغيّر آخر. وكلما ارتبطت كميتان بقاعدة لا بصيغة، أعطتك هذه الطريقة معدل تغيّرهما.

الأسئلة الشائعة