الدوال العكسية: كيف تجد الدالة العكسية وترسمها وتتحقّق منها

ماذا تفعل الدالة العكسية

تأخذ الدالة مدخلًا وتنتج مخرجًا. ودالتها العكسية، وتُكتب $f^{-1}$، تُجري العملية بالعكس: تأخذ مخرجًا من $f$ وتعيد المدخل الذي أنتجه. فإذا كان $f(a) = b$، فإن $f^{-1}(b) = a$. وتطبيق إحداهما ثم الأخرى يعيدك إلى حيث بدأت.

ومثال يومي بسيط هو تحويل درجات الحرارة. فالدالة $F = \frac{9}{5}C + 32$ تحوّل من سيلزيوس إلى فهرنهايت. ودالتها العكسية، $C = \frac{5}{9}(F - 32)$، تحوّل في الاتجاه المعاكس. فإدخال 37 درجة سيلزيوس في الأولى يعطي 98.6 درجة فهرنهايت، وإدخال 98.6 في الثانية يعيد 37.

والترميز يحتاج إلى انتباه. فالعدد $-1$ في $f^{-1}$ ليس أسًّا. والدالة العكسية $f^{-1}(x)$ تختلف عن المقلوب $\frac{1}{f(x)}$. ففي $f(x) = 2x$، الدالة العكسية $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$، أما المقلوب فهو $\frac{1}{2x}$.

متى توجد الدالة العكسية؟

عكس الدالة لا ينجح إلا إذا جاء كل مخرج من مدخل واحد بالضبط. وتُسمّى هذه الدالة دالة متباينة، أو دالة واحد لواحد. فإذا أعطى مدخلان مختلفان المخرج نفسه، فلا سبيل لمعرفة أي مدخل يجب إعادته، فلا توجد دالة عكسية على ذلك المجال.

الدالة $f(x) = x^2$ تفشل في هذا الاختبار على جميع الأعداد الحقيقية، لأن $f(3) = f(-3) = 9$. فإذا طُلب من الدالة العكسية إبطال 9، فلن تعرف هل تعيد 3 أم $-3$. وبيانيًا، هذا هو اختبار الخط الأفقي: تكون الدالة متباينة إذا وفقط إذا لم يقطع أي خط أفقي رسمها أكثر من مرة. والمستقيم $y = 9$ يقطع القطع المكافئ $y = x^2$ مرتين، فالقطع المكافئ يفشل.

والدوال المتزايدة دائمًا أو المتناقصة دائمًا تجتاز الاختبار تلقائيًا. فالدوال الخطية ذات الميل غير الصفري، و$x^3$ و$e^x$ و$\ln x$، كلها متباينة على مجالاتها الطبيعية.

كيف تجد الدالة العكسية جبريًا

1. استبدل $y$ بـ $f(x)$.
2. بادل بين $x$ و$y$ في كل مكان.
3. حلّ المعادلة الجديدة بالنسبة إلى $y$.
4. استبدل $f^{-1}(x)$ بـ $y$ واذكر مجالها، وهو مدى $f$.

حين يظهر $y$ أكثر من مرة بعد المبادلة، اجمع كل حدود $y$ في طرف واحد وأخرج $y$ عاملًا مشتركًا، تمامًا كما في المثال 3.

تقييد المجال

الدالة غير المتباينة يمكن أن تكون لها دالة عكسية إذا قيّدت مجالها بجزء تكون فيه متباينة. وبهذه الطريقة تُعرَّف الجذور التربيعية والدوال المثلثية العكسية.

تقييد $f(x) = x^2$ بـ $x \ge 0$ يُبقي النصف الأيمن فقط من القطع المكافئ، وهو متباين. ودالته العكسية $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ حيث $x \ge 0$. أما اختيار $x \le 0$ بدلًا من ذلك فيعطي $-\sqrt{x}$.

والدوال المثلثية العكسية تعمل بالطريقة نفسها. فالجيب ليس متباينًا، لذا تُعرَّف $\arcsin x$ بأنها الدالة العكسية للجيب المقيّد بـ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. ولهذا فإن $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$، لا $\frac{5\pi}{6}$: إذ يجب أن تقع الإجابة في الفترة المقيّدة.

الدوال الأسية واللوغاريتمات

أهم زوج من الدوال العكسية في ما قبل التفاضل والتكامل هو $e^x$ و$\ln x$: فـ $\ln(e^x) = x$ لكل $x$ حقيقي، و$e^{\ln x} = x$ حين $x > 0$. وبصورة أعم، $\log_b x$ هي الدالة العكسية لـ $b^x$. ويبني دليل اللوغاريتمات كل قواعدها من هذه الحقيقة.

رسوم الدوال العكسية

لأن الدالة العكسية تبادل بين المدخلات والمخرجات، فكل نقطة $(a, b)$ على رسم $f$ تصير النقطة $(b, a)$ على رسم $f^{-1}$. وهندسيًا، مبادلة الإحداثيات انعكاس في المستقيم $y = x$. فرسم الدالة العكسية هو صورة الرسم الأصلي في المرآة حول ذلك المستقيم القطري.

وهذا يعطي طريقة سريعة لرسم الدالة العكسية تقريبيًا وتحقّقًا مفيدًا: فرسما $e^x$ و$\ln x$ انعكاس أحدهما للآخر، وكذلك $x^3$ و$\sqrt[3]{x}$. والسمات تتبادل أيضًا. فخط التقارب الأفقي لـ $f$ يصير خط تقارب رأسيًا لـ $f^{-1}$، وهذا بالضبط ما حدث في المثال 3. ورسم الدالتين مع المستقيم $y = x$ في حاسبة الرسم البياني يوضّح التماثل.

التحقّق من الدالة العكسية

لإثبات أن دالتين عكسيتان، ركّبهما بالترتيبين وبسّط. فإن ساوى التركيبان $x$ على المجالات المعنية، فالدالتان عكسيتان. وفي المثال 3:

وتحقّق غير رسمي أسرع هو أن تختار مدخلًا واحدًا، وتطبّق $f$، ثم تطبّق دالتك العكسية وترى هل تستعيد المدخل. وهذا لا يثبت صحة الصيغة، لكنه يكشف معظم الأخطاء. ويُشرح التركيب بتفصيل أكبر في دليل تركيب الدوال.

الدوال العكسية في التفاضل والتكامل

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق ومتباينة، فميل الدالة العكسية عند نقطة هو مقلوب ميل $f$ عند النقطة المقابلة. فإذا كان $f(a) = b$ و$f'(a) \neq 0$، فإن:

في $f(x) = x^3 + x$، لدينا $f(1) = 2$ و$f'(x) = 3x^2 + 1$، إذن $f'(1) = 4$ و$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. وهذا يصحّ رغم أن إيجاد صيغة لـ $f^{-1}$ صعب جدًا. وهو سبب أن مشتقة $\ln x$ هي $\frac{1}{x}$، لأن $\ln$ هي الدالة العكسية لـ $e^x$.

أخطاء شائعة

• معاملة $f^{-1}(x)$ كأنها $\frac{1}{f(x)}$.
• نسيان المبادلة بين $x$ و$y$، مما لا يفعل سوى إعادة ترتيب الدالة الأصلية.
• إيجاد صيغة لدالة غير متباينة دون تقييد مجالها.
• اختيار الإشارة الخطأ للجذر التربيعي بعد تقييد المجال.
• عدم ذكر مجال الدالة العكسية، الذي يجب أن يساوي مدى الدالة الأصلية.

تعرض حاسبة الدالة العكسية خطوتي المبادلة والحل وتتحقّق من النتيجة بالتركيب.

الدوال العكسية من الجداول وفي التطبيقات

لا تحتاج دائمًا إلى صيغة. فإذا سرد جدول دالة متباينة، فدالتها العكسية تُوجد بمبادلة العمودين. افترض أن شركة توصيل تتقاضى أجرها بحسب الوزن، ويبيّن جدول أسعارها أن 1 كغ يكلّف 6 دولارات، و2 كغ تكلّف 9 دولارات، و3 كغ تكلّف 12 دولارًا. والجدول العكسي يجيب عن السؤال المعاكس: بمعرفة ما دفعه العميل، كم كان وزن الطرد؟ فدفع 9 دولارات يعني 2 كغ. ولو كان لوزنين السعر نفسه، لما كان للسؤال العكسي إجابة واحدة، وهذا هو شرط التباين يظهر في سياق عملي.

كثير من الصيغ الواقعية يُستخدم في الاتجاهين. فحاسبة القروض تحسب القسط الشهري من المبلغ المقترض، ودالتها العكسية تخبرك كم يمكنك أن تقترض مقابل قسط تستطيع تحمّله. والوصفة المحسوبة بحسب عدد الحصص يمكن عكسها لمعرفة عدد الحصص التي تصنعها كمية معيّنة من الدقيق. وفي العلوم، يحوّل منحنى المعايرة تركيزًا معلومًا إلى قراءة جهاز، والدالة العكسية تحوّل القراءة المقيسة إلى تركيز. وفي كل مرة، تكون الدالة العكسية مفيدة تحديدًا لأن العلاقة الأصلية متباينة على نطاق القيم المهمة.

ورؤية الدوال العكسية بهذه الطريقة تجعل الخطوات الجبرية تبدو طبيعية أيضًا. فالمبادلة بين $x$ و$y$ ليست إلا طريقة مختصرة للقول إن دورَي المدخل والمخرج قد تبادلا، وحلّ المعادلة بالنسبة إلى $y$ هو الإجابة عن السؤال المعاكس.

الأسئلة الشائعة