شرح اللوغاريتمات: التعريف والقوانين وحل المعادلات

ما اللوغاريتم

الأسس واللوغاريتمات طريقتان لوصف العلاقة نفسها. فالعبارة $2^3 = 8$ تقول إن رفع 2 إلى القوة 3 يعطي 8. أما اللوغاريتم فيقلب السؤال: إلى أي قوة يجب رفع 2 للحصول على 8؟ والجواب 3، ويُكتب $\log_2 8 = 3$.

العدد $b$ هو الأساس، و$x$ هو المُدخَل، و$y$ هو الأُسّ الذي تبحث عنه. والشروط مهمة. فالأساس يجب أن يكون موجبًا ولا يساوي 1، لأن قوى 1 تساوي 1 دائمًا، وقوى الأعداد السالبة غير معرَّفة لكل أُسّ حقيقي. والمُدخَل يجب أن يكون موجبًا، لأن الأساس الموجب المرفوع إلى أي قوة حقيقية يكون موجبًا.

• $\log_{10} 1000 = 3$، لأن $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$، لأن $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$، لأن $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ لكل أساس مسموح به، لأن $b^0 = 1$، و$\log_b b = 1$ لأن $b^1 = b$.

لأساسين ترميزهما الخاص. فاللوغاريتم العشري $\log x$ يستخدم الأساس 10، وهو يناسب القياسات بقوى العشرة. واللوغاريتم الطبيعي $\ln x$ يستخدم الأساس $e \approx 2.71828$، الذي يظهر طبيعيًا في النمو والاضمحلال والتفاضل والتكامل. وبعض الكتب المدرسية ولغات البرمجة تكتب $\log$ للوغاريتم الطبيعي، فتحقّق من الاصطلاح المتّبع في مقرّرك.

قوانين اللوغاريتمات الثلاثة

لأن اللوغاريتمات أسس، تُترجم قواعد الأسس مباشرةً إلى قواعد لوغاريتمية. فلكل $M$ و$N$ موجبين ولأي أساس مسموح به:

قانون الضرب مصدره $b^m b^n = b^{m+n}$: فضرب الأعداد يجمع أسسها، ومن ثَمّ يجمع لوغاريتماتها. وقانون القسمة مصدره قسمة القوى، وقانون القوة مصدره $(b^m)^k = b^{mk}$. وقبل الآلات الحاسبة، كان هذا بالضبط سبب استخدام جداول اللوغاريتمات: فقد كانت تحوّل عمليات الضرب الصعبة إلى عمليات جمع.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$، وبالفعل $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

فكّ العبارات وضمّها

الفكّ يستخدم القوانين لتجزئة لوغاريتم واحد إلى أجزاء أبسط، والضمّ يجمع عدة لوغاريتمات في لوغاريتم واحد. وكلاهما من مهام الامتحانات الشائعة، وكلاهما لازم عند حل المعادلات.

يجب أن تصبح المعاملات أسسًا قبل الضمّ. فـ $2\ln x + \ln y$ يساوي $\ln(x^2 y)$، لا $\ln(2xy)$.

تغيير الأساس

لا تحوي الآلات الحاسبة عادةً إلا مفتاحي $\log$ و$\ln$. وأي أساس آخر يُعالج بصيغة تغيير الأساس، التي تصلح مع أي أساس جديد $c$:

فمثلًا، $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. ويفيد هنا تحقّق منطقي: $2^3 = 8$ و$2^4 = 16$، فالإجابة يجب أن تقع بين 3 و4. وتبيّن الصيغة أيضًا أن $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$، إذن $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ لأن $\log_2 8 = 3$.

حل المعادلات الأسية

حين يكون المجهول في الأُسّ، اعزل القوة، ثم خذ لوغاريتم الطرفين حتى يُنزل قانونُ القوة الأُسَّ.

من الأخطاء المتكرّرة في المثال 2 أخذ اللوغاريتم قبل القسمة على 5. وهذا ليس خطأً، لكنه يُنتج $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$، الذي يستغرق حلّه وقتًا أطول. أما عزل القوة أولًا فيُبقي العمل قصيرًا.

حل المعادلات اللوغاريتمية

حين يكون المجهول داخل لوغاريتم، اجمع اللوغاريتمات في لوغاريتم واحد، ثم أعد كتابة المعادلة بالصيغة الأسية. ولأن لوغاريتمات الصفر والأعداد السالبة غير معرَّفة، يجب التحقق من كل حل مرشّح في المعادلة الأصلية.

أنتجت العمليات الجبرية في المثال 3 معادلة تربيعية. وإذا احتجت إلى تذكير بطريقة حلّها، فانظر مقال كيف تحل المعادلات التربيعية.

التمثيل البياني للوغاريتم

الدالة $y = \log_b x$ هي الدالة العكسية لـ $y = b^x$، لذا فمنحناها انعكاس المنحنى الأسي في المستقيم $y = x$. وعندما $b > 1$ يمرّ بالنقطتين $(1, 0)$ و$(b, 1)$، ويرتفع ببطء دون حدّ، ويقترب من المحور y بوصفه خطّ تقارب رأسيًا. مجاله $(0, \infty)$ ومداه كل الأعداد الحقيقية، وهذا عكس مجال الدالة الأسية ومداها تمامًا.

الإزاحات تغيّر المجال. ففي $y = \ln(x - 3)$ يجب أن يكون المُدخَل موجبًا، فيكون المجال $(3, \infty)$ وينتقل خطّ التقارب إلى $x = 3$. وإيجاد مثل هذه المجالات مشروح في دليل المجال والمدى، والعلاقة بالدوال الأسية مشروحة أكثر في مقال الدوال العكسية. ويمكنك رسم عدة أساسات معًا باستخدام حاسبة التمثيل البياني.

أين تُستخدم اللوغاريتمات

• النمو المركّب: المبلغ الذي ينمو بنسبة 5 بالمئة سنويًا يتضاعف حين $1.05^t = 2$، إذن $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ سنة.
• الكيمياء: الرقم الهيدروجيني pH يساوي $-\log[\mathrm{H}^+]$، فتركيز أيونات الهيدروجين $10^{-3}$ مول لكل لتر يعطي pH 3، وكل درجة في pH تمثّل عاملًا قدره عشرة.
• الصوت: مستويات الديسيبل تساوي $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$، فالصوت الأشدّ بمقدار 100 مرة أعلى بـ 20 ديسيبل.
• علوم الحاسوب: البحث الثنائي في $n$ من العناصر يحتاج إلى نحو $\log_2 n$ خطوة، فمليون عنصر لا يحتاج إلا إلى نحو 20.

تشترك الأمثلة الأربعة في سمة واحدة: اللوغاريتمات تضغط الكميات الممتدة عبر قوى كثيرة للعشرة في مقياس يسهل التعامل معه، وتحوّل التغيّر الضربي إلى تغيّر جمعي.

أخطاء شائعة

• كتابة $\log(a + b) = \log a + \log b$. فقانون الضرب يخصّ حواصل الضرب، ولا توجد قاعدة للوغاريتم مجموع.
• كتابة $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. فالطرف الأيسر تغيير أساس، أي $\log_b a$.
• الخلط بين $(\log x)^2$ و$\log x^2 = 2\log x$.
• نسيان التحقق من حلول المعادلات اللوغاريتمية، فتتسلّل إجابة تجعل أحد المُدخَلات سالبًا.
• الخلط بين $\log$ و$\ln$ على الآلة الحاسبة.

تحسب حاسبة اللوغاريتمات اللوغاريتم بأي أساس وتعرض خطوة تغيير الأساس، مما يجعلها طريقة سريعة للتحقق من الأمثلة أعلاه.

خطة دراسية للوغاريتمات

تبدو اللوغاريتمات مجرّدة أساسًا لأن الترميز يُخفي سؤالًا بسيطًا. ومن الطرق الجيدة لاكتساب الطلاقة التدرّب على التحويل في الاتجاهين حتى يصبح تلقائيًا. خذ عشر قوى تعرفها مسبقًا، مثل $2^5 = 32$ أو $10^{-2} = 0.01$، وأعد كتابة كل منها لوغاريتمًا. ثم خذ عشرة لوغاريتمات وأعد كتابة كل منها قوةً. وبعد جلسة قصيرة، يصبح حساب $\log_3 81$ أو $\log_{10} 0.001$ خطوة ذهنية سريعة لا لغزًا.

بعد ذلك، تدرّب على القوانين بالأعداد قبل استخدامها مع المتغيّرات. فالتحقق من أن $\log_2 8 + \log_2 4$ يساوي $\log_2 32$ بحساب الطرفين يجعل قانون الضرب مقنعًا، ويدرّبك على اكتشاف الصيغ الخاطئة المذكورة في قسم الأخطاء الشائعة. ولا تنتقل إلا بعد ذلك إلى فكّ العبارات الجبرية وضمّها.

وأخيرًا، حلّ معادلات من عائلتين: التي يكون فيها المجهول في الأُسّ، والتي يكون فيها المجهول داخل لوغاريتم. العائلة الأولى تُحل بأخذ لوغاريتم، والثانية بإعادة الكتابة بالصيغة الأسية. ومعرفة العائلة التي تنتمي إليها المسألة نصف العمل، والتحقق من المجال في النهاية هو العادة الأخرى التي تفصل الإجابات الصحيحة عن الإجابات شبه الصحيحة.

الأسئلة الشائعة