دوال كثيرات الحدود: الدرجة وسلوك الطرفين والأصفار والرسوم

ما الذي يجعل الدالة كثيرة حدود

دالة كثيرة الحدود مجموع حدود، كل منها ثابت مضروب في قوة صحيحة غير سالبة لـ $x$:

أعلى قوة $n$ هي الدرجة، والمعامل $a_n$ الذي أمامها هو المعامل الرئيسي، و$a_0$ هو الحدّ الثابت، وهو أيضًا المقطع مع المحور y. فالدرجة 1 تعطي المستقيمات، والدرجة 2 تعطي القطوع المكافئة، والدرجة 3 تعطي الدوال التكعيبية، والدرجة 4 تعطي الدوال من الدرجة الرابعة. والعبارات ذات القوى السالبة أو الكسرية، مثل $\frac{1}{x}$ أو $\sqrt{x}$، أو التي فيها متغيّرات في المقامات أو الأسس، ليست كثيرات حدود.

كثيرات الحدود معرَّفة لكل عدد حقيقي، ورسومها منحنيات ملساء متصلة بلا زوايا حادة ولا فجوات ولا خطوط تقارب. وهذا جزء من سبب استخدامها الواسع لنمذجة دوال أخرى وتقريبها.

سلوك الطرفين من الحدّ الرئيسي

حين تكون قيم $x$ موجبة أو سالبة كبيرة جدًا، يطغى الحدّ الرئيسي على كل الحدود الأخرى، فيسلك طرفا الرسم سلوك $a_n x^n$. ولا يهمّ إلا أمران: هل الدرجة زوجية أم فردية، وهل المعامل الرئيسي موجب أم سالب.

• درجة زوجية ومعامل رئيسي موجب: يرتفع الطرفان، مثل $x^2$.
• درجة زوجية ومعامل رئيسي سالب: ينخفض الطرفان، مثل $-x^2$.
• درجة فردية ومعامل رئيسي موجب: ينخفض جهة اليسار ويرتفع جهة اليمين، مثل $x^3$.
• درجة فردية ومعامل رئيسي سالب: يرتفع جهة اليسار وينخفض جهة اليمين، مثل $-x^3$.

فمثلًا، $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ درجتها فردية ومعاملها الرئيسي سالب، فهي ترتفع جهة اليسار وتنخفض جهة اليمين، مهما بدت المعاملات الأخرى كبيرة. لذا يجب أن تقطع كثيرة الحدود ذات الدرجة الفردية المحور x مرة واحدة على الأقل، لأن طرفيها يتّجهان في اتجاهين متعاكسين.

الأصفار والعوامل والتكرار

صفر $p$، أو جذرها، قيمة $c$ تحقّق $p(c) = 0$. والأصفار هي مقاطع الرسم مع المحور x، وكل صفر حقيقي $c$ يقابله عامل $(x - c)$. لذا فالتحليل هو الأداة الرئيسية لإيجاد الأصفار، باستخدام خاصية الضرب الصفري: لا يكون حاصل الضرب صفرًا إلا إذا كان أحد عوامله صفرًا.

إذا تكرّر عامل، فتكرار الصفر أكبر من واحد، ويسلك الرسم عنده سلوكًا مختلفًا. فعند صفر تكراره فردي يقطع الرسم المحور؛ وعند صفر تكراره زوجي يمسّ المحور ويرتدّ. وكلما زاد التكرار، صار الرسم أكثر تسطّحًا قرب الصفر.

لكثيرة الحدود من الدرجة $n$ على الأكثر $n$ من الأصفار الحقيقية، وعلى الأكثر $n - 1$ من نقاط الانعطاف، وهي قمم الرسم وقيعانه. ويمكن أن يكون للدالة التكعيبية نقطة انعطاف واحدة أو نقطتان أو لا شيء على الإطلاق، كما يبيّن $x^3$. وتُشرح طرق إيجاد العوامل بالتفصيل في دليل تحليل كثيرات الحدود.

نظرية الباقي ونظرية العوامل

قسمة كثيرة الحدود $p(x)$ على $(x - c)$ تترك باقيًا هو مجرد عدد، ونظرية الباقي تقول إن هذا العدد هو $p(c)$. ونظرية العوامل تتبعها مباشرة: يكون $(x - c)$ عاملًا إذا وفقط إذا كان $p(c) = 0$.

وفي المقابل، $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$، فقسمة $p(x)$ على $(x - 2)$ تترك باقيًا قدره $-4$، و$(x - 2)$ ليس عاملًا.

القسمة التركيبية

القسمة التركيبية طريقة مختصرة للقسمة على $(x - c)$ باستخدام المعاملات وحدها. ففي المثال 3، اكتب $c = 1$ والمعاملات $1, -2, -5, 6$.

1. أنزل المعامل الأول: 1.
2. اضرب في $c$ وأضف إلى المعامل التالي: $1 \times 1 = 1$، و$-2 + 1 = -1$.
3. كرّر: $-1 \times 1 = -1$، و$-5 + (-1) = -6$.
4. كرّر: $-6 \times 1 = -6$، و$6 + (-6) = 0$.
5. العدد الأخير، 0، هو الباقي. والأعداد الأخرى، $1, -1, -6$، هي معاملات ناتج القسمة: $x^2 - x - 6$.

كل قوة لـ $x$ تحتاج إلى خانة، فاكتب 0 لأي حدّ ناقص. فقسمة $x^3 - 8$ على $(x - 2)$ تستخدم المعاملات $1, 0, 0, -8$ وتعطي ناتج القسمة $x^2 + 2x + 4$ والباقي 0.

القسمة التركيبية لا تصلح إلا للقواسم من الصورة $x - c$. فللقسمة على $2x - 1$، اقسم على $x - \frac{1}{2}$ ثم اقسم ناتج القسمة على 2، أو استخدم القسمة المطوّلة.

كم عدد الأصفار: النظرية الأساسية

تضمن النظرية الأساسية في الجبر أن لكثيرة الحدود من الدرجة $n \ge 1$ بالضبط $n$ من الأصفار المركّبة حين يُعَدّ كل صفر بعدد مرات تكراره. وقد يكون بعضها حقيقيًا وبعضها مركّبًا. وحين تكون المعاملات حقيقية، تأتي الأصفار المركّبة في أزواج مترافقة، فإذا كان $2 + 3i$ صفرًا، فكذلك $2 - 3i$.

وهذا يفسّر لماذا يكون للدالة التكعيبية ذات المعاملات الحقيقية صفر حقيقي واحد على الأقل دائمًا: فلا يمكن أن تكون أصفارها الثلاثة كلها مركّبة، لأن المركّبة تأتي أزواجًا. أما الدالة من الدرجة الرابعة فقد لا يكون لها أصفار حقيقية، كما يبيّن $x^4 + 1$.

وحين يتعذّر إيجاد صفر بدقة، تساعد نظرية القيمة الوسطى على تحديد موضعه. ففي $p(x) = x^3 + x - 1$، لدينا $p(0) = -1$ و$p(1) = 1$. ولأن رسوم كثيرات الحدود لا فجوات فيها، فلا بدّ أن يقطع الرسم الصفر في مكان ما بين 0 و1؛ وعدديًا يبلغ الجذر نحو $0.6823$.

بناء كثيرة حدود من أصفارها

بالعمل عكسيًا، تحدّد الأصفار كثيرة الحدود حتى عامل ثابت. افترض أن لدالة تربيعية الصفرين 2 و$-1$ وأنها تمرّ بالنقطة $(0, 4)$. فلا بدّ أن تكون $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. وتعويض النقطة يعطي $4 = a(-2)(1)$، إذن $a = -2$ و$f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. والفكّ ثم التحقّق من أن $f(0) = 4$ و$f(2) = 0$ و$f(-1) = 0$ يؤكّد النتيجة.

رسم كثيرة الحدود تقريبيًا

1. أوجد الدرجة والمعامل الرئيسي لتحديد سلوك الطرفين.
2. حلّل لتجد الأصفار وتكرارها.
3. عيّن المقطع مع المحور y، وهو الحدّ الثابت.
4. قرّر عند كل صفر هل يقطع الرسم المحور أم يمسّه بحسب تكراره.
5. صِل النقاط بمنحنى أملس يلتزم بسلوك الطرفين وله على الأكثر $n - 1$ من نقاط الانعطاف.

وهذا يعطي شكلًا دقيقًا، لكن لا يعطي الارتفاعات الدقيقة لنقاط الانعطاف، التي تحتاج إلى التفاضل والتكامل. ومقارنة رسمك بـ حاسبة الرسم البياني طريقة جيدة لبناء الثقة.

تطبيق: أكبر صندوق مفتوح

قطعة من الورق المقوّى أبعادها 10 في 16 سم يُقصّ من كل ركن فيها مربع طول ضلعه $x$، وتُطوى الجوانب لأعلى لصنع صندوق مفتوح. حجمه $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. وبما أن كل طول يجب أن يكون موجبًا، فالمجال الواقعي $0 < x < 5$.

تخبرك الأصفار 0 و5 و8 أين ينعدم الحجم. وفي ما بينها، يرتفع الحجم وينخفض، والتفاضل والتكامل يحدّد القيمة العظمى بدقة: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$، وهي تساوي صفرًا عند $x = 2$ داخل المجال. وأكبر صندوق حجمه $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ سنتيمترًا مكعبًا. ويبيّن دليل قواعد الاشتقاق كيف تُوجد مثل هذه المشتقات.

أخطاء شائعة

• قراءة سلوك الطرفين من أول حدّ مكتوب بدلًا من الحدّ ذي الدرجة العليا.
• إغفال المعاملات الصفرية للقوى الناقصة في القسمة التركيبية.
• افتراض أن كل صفر نقطة قطع، مع تجاهل التكرار الزوجي.
• ادّعاء نقاط انعطاف أكثر من $n - 1$.
• الخلط بين الصفر $c$ وإشارة العامل: الصفر 3 يعطي العامل $(x - 3)$.

تجد حاسبة كثيرات الحدود الأصفار والعوامل وتقسم كثيرات الحدود مع عرض كل خطوة، فيمكنك التحقّق من الأمثلة السابقة.

الأسئلة الشائعة