كيف تحلّل كثيرات الحدود: قائمة طرق خطوة بخطوة

لماذا يهمّ التحليل

تحليل كثيرة الحدود هو كتابتها على صورة حاصل ضرب كثيرات حدود أبسط. ففكّ $(x + 3)(x + 4)$ يعطي $x^2 + 7x + 12$؛ والتحليل يسير في الاتجاه المعاكس. والصورة المحلّلة أنفع بكثير في الغالب: فهي تُظهر جذور المعادلة فورًا، وتبسّط العبارات الكسرية باختصار العوامل المشتركة، وتكشف أين يقطع الرسم البياني المحور x.

يمكن التحقّق من كل تحليل بضرب العوامل مجدّدًا. فإن لم يُعِد الفكّ كثيرة الحدود الأصلية بالضبط، فثمّة خطأ، لذا اجعل هذا التحقّق عادة.

قائمة التحقّق للتحليل

يرتّب المعلّمون والكتب المدرسية الطرق بأساليب مختلفة قليلًا، لكن القائمة التالية تصلح لكل كثيرة حدود تقريبًا في مقرّر الجبر الأول. طبّقها بالترتيب وكرّرها على كل عامل حتى لا يبقى ما يُحلَّل.

1. أخرج العامل المشترك الأكبر لجميع الحدود.
2. عُدّ الحدود. حدّان: ابحث عن فرق بين مربعين أو مجموع مكعبين أو فرق بينهما.
3. ثلاثة حدود: ابحث عن ثلاثي حدود مربع كامل، ثم استخدم البحث عن عددين بحاصل ضرب ومجموع معلومين أو طريقة AC.
4. أربعة حدود: جرّب التجميع.
5. الدرجة الثالثة أو أعلى دون نمط واضح: استخدم اختبار الجذور النسبية وقسمة كثيرات الحدود.
6. افحص كل عامل مرة أخرى، ثم اضرب للتحقّق.

الخطوة 1: العامل المشترك الأكبر

ابدأ من هنا دائمًا. أوجد أكبر عدد يقسم كل المعاملات وأدنى قوة لكل متغيّر تظهر في كل الحدود.

إذا كان المعامل الرئيسي سالبًا، فأخرج عاملًا مشتركًا سالبًا. فالصورة $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ أسهل بكثير من العمل مع حدّ $x^2$ سالب.

ثلاثيات الحدود التي معاملها الرئيسي 1

في $x^2 + bx + c$، أوجد عددين $m$ و$n$ بحيث $mn = c$ و$m + n = b$. عندئذ $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: حاصل ضرب 3 و4 هو 12 ومجموعهما 7، فالعوامل $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: حاصل ضرب $-5$ و3 هو $-15$ ومجموعهما $-2$، فالعوامل $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: العددان $-4$ و$-5$، وهذا يعطي $(x - 4)(x - 5)$.

والإشارات تعطي اختصارًا. فإن كان $c$ موجبًا، فللعددين إشارة $b$ نفسها. وإن كان $c$ سالبًا، فللعددين إشارتان مختلفتان، ويأخذ الأكبر منهما قيمةً مطلقةً إشارة $b$.

ثلاثيات الحدود بأي معامل رئيسي: طريقة AC

حين $a \neq 1$، اضرب $a$ في $c$، وأوجد عددين حاصل ضربهما $ac$ ومجموعهما $b$، واستخدمهما لتجزئة الحدّ الأوسط، ثم حلّل بالتجميع.

ثلاثي الحدود ذو المعاملات الصحيحة يتحلّل على الأعداد الصحيحة إذا وفقط إذا كان $b^2 - 4ac$ مربعًا كاملًا. ففي $3x^2 - 10x + 8$ المميّز $100 - 96 = 4$، وهو مربع كامل، فلا بدّ أن ينجح البحث. وإن لم يكن المميّز مربعًا كاملًا، فتوقّف عن البحث واستخدم القانون العام بدلًا من ذلك.

متطابقات خاصة يجب التعرّف عليها

ثلاثة أنماط تظهر كثيرًا إلى حدّ أن معرفتها من النظرة الأولى مجدية:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: طبّق النمط مرتين.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$، لأن $4x^2 = (2x)^2$ و$9 = 3^2$ و$12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ و$27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

مجموع مربعين مثل $x^2 + 4$ لا يتحلّل على الأعداد الحقيقية. فمميّزه $-16$، وهو سالب.

أربعة حدود: التحليل بالتجميع

قسّم كثيرة الحدود إلى زوجين، وأخرج العامل المشترك الأكبر لكل زوج، وابحث عن قوس مشترك.

إذا لم تتطابق الأقواس، فجرّب إعادة ترتيب الحدود في أزواج مختلفة قبل أن تستسلم.

الدرجات الأعلى: اختبار الجذور النسبية

في كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة، أي جذر نسبي $\frac{p}{q}$ في أبسط صورة يكون فيه $p$ قاسمًا للحدّ الثابت و$q$ قاسمًا للمعامل الرئيسي. اختبر المرشّحين حتى يعطي أحدهم صفرًا، ثم اقسم عليه.

تُجري حاسبة كثيرات الحدود القسمة خطوة بخطوة إن أردت المقارنة.

أخطاء شائعة في التحليل

• نسيان العامل المشترك الأكبر، مما يترك ثلاثي حدود أصعب وإجابة ناقصة.
• التوقّف مبكرًا: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ لم ينتهِ بعد، لأن $x^2 - 4$ يتحلّل مرة أخرى.
• معاملة $a^2 + b^2$ كأنه فرق بين مربعين.
• زلّات الإشارة في التجميع: $-4x - 12 = -4(x + 3)$، لا $-4(x - 3)$.
• عدم التحقّق بالفكّ. فالضرب يستغرق ثواني ويكشف كل الأخطاء السابقة.

جرّب كثيرات حدودك في حاسبة التحليل، التي تبيّن الطريقة المستخدمة في كل خطوة، واستخدم الصور المحلّلة لتبسيط العبارات الكسرية.

كيف تعرف أن كثيرة الحدود لن تتحلّل

ليست كل كثيرة حدود قابلة للتحليل على الأعداد الصحيحة، ومعرفة ذلك مبكرًا توفّر وقتًا كثيرًا. ففي العبارة التربيعية $ax^2 + bx + c$ ذات المعاملات الصحيحة، احسب المميّز $b^2 - 4ac$. فإن كان مربعًا كاملًا، تتحلّل العبارة إلى عوامل خطية بمعاملات نسبية. وإن كان موجبًا لكنه ليس مربعًا كاملًا، فالجذور غير نسبية وتُسمّى العبارة غير قابلة للتحليل على الأعداد النسبية؛ وإن كان سالبًا، فلا تتحلّل على الأعداد الحقيقية أصلًا.

فمثلًا، مميّز $x^2 + 3x + 1$ هو $9 - 4 = 5$، وهو ليس مربعًا كاملًا، فلا يوجد عددان صحيحان حاصل ضربهما 1 ومجموعهما 3. وجذراها، $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$، يأتيان من القانون العام. ومجموع المربعين $x^2 + 4$ مميّزه $-16$ ولا يتحلّل على الأعداد الحقيقية، مع أنه يتحلّل إلى $(x - 2i)(x + 2i)$ على الأعداد المركّبة.

وفي كثيرات الحدود التكعيبية وما فوقها، يعطي اختبار الجذور النسبية قائمة منتهية من المرشّحين. فإن لم يكن أيّ منهم جذرًا، فليس لكثيرة الحدود عامل خطي بمعاملات نسبية، وإن كانت كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة قد تنقسم مع ذلك إلى عاملين تربيعيين.

لماذا يهمّ التحليل لاحقًا

التحليل ليس موضوعًا منعزلًا. فحلّ معادلات كثيرات الحدود يعتمد على خاصية الضرب الصفري: إذا كان $AB = 0$، فإن $A = 0$ أو $B = 0$. وتبسيط العبارات الكسرية يعتمد على اختصار العوامل المشتركة. وإيجاد مقاطع الرسم البياني لكثيرة الحدود مع المحور x وسلوك إشارتها يستخدم الصورة المحلّلة مباشرة، وفي التفاضل والتكامل كثيرًا ما تُحلّ النهايات من الصورة $\frac{0}{0}$ بالتحليل والاختصار.

فمثلًا، لا يمكن حساب $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ بالتعويض، لكن تحليل البسط إلى $(x - 2)(x + 2)$ والاختصار يترك $x + 2$، فالنهاية 4. والكسور الجزئية في التكامل تبدأ أيضًا بتحليل المقام تحليلًا كاملًا.

تحقّق دائمًا من التحليل بفكّه. فالضرب يستغرق وقتًا أقل من التحليل ويكشف أخطاء الإشارة فورًا.

وللتحقّق من تحليل قمت به، أدخله في حاسبة التحليل أو افكك إجابتك باستخدام حاسبة التبسيط.

الأسئلة الشائعة