كيف تبسّط العبارات الجبرية خطوة بخطوة

ما الذي يعنيه التبسيط فعلًا

عبارة مثل $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ ليس فيها علامة يساوي، فلا شيء فيها يُحَلّ. وتبسيطها يعني إيجاد عبارة مكافئة، أي تعطي القيمة نفسها لكل $x$ مسموح، تكون أقصر وأسهل استخدامًا. وهي هنا $4x - 7$.

كلمة «مكافئة» هي الأهم. فكل خطوة يجب أن تكون قاعدة جبرية صحيحة، لا تخمينًا يصادف أنه يبدو أرتب. واختبار مفيد هو تعويض قيمة: عند $x = 2$ تعطي العبارة الأصلية $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$، و$4(2) - 7 = 1$ كذلك. والتطابق عند نقطة واحدة لا يثبت أن العبارتين متكافئتان، لكن عدم التطابق يثبت وجود خطأ.

جمع الحدود المتشابهة

الحدود المتشابهة لها المتغيّرات نفسها تمامًا مرفوعة إلى القوى نفسها تمامًا؛ ولا يختلف إلا معاملاتها. فـ $3x^2$ و$-7x^2$ حدّان متشابهان. أما $3x^2$ و$3x$ فليسا كذلك، ولا $xy$ و$x^2y$.

لجمع الحدود المتشابهة، اجمع معاملاتها وأبقِ الجزء المتغيّر دون تغيير:

ضع خطًا تحت كل مجموعة من الحدود المتشابهة أو لوّنها قبل الجمع، واحمل إشارة كل حدّ معه. ففي $4x + 3y - x$، الحدّ هو $-x$ لا $x$.

خاصية التوزيع وفكّ الأقواس

خاصية التوزيع $a(b + c) = ab + ac$ تزيل الأقواس. فالعامل الخارجي يُضرب في كل حدّ داخلها، وإشارة السالب أمام القوس عامل قيمته $-1$.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$، لأن $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: اضرب كل حدّ في القوس الأول في كل حدّ في القوس الثاني.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$، لا $4x^2 + 9$.

تربيع المجموع حدًّا حدًّا، كما في $(a + b)^2 = a^2 + b^2$، من أكثر الأخطاء الجبرية تكرارًا. والمتطابقة الصحيحة هي $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

قواعد الأسس

تُبسَّط حواصل ضرب القوى وقسمتها بمجموعة قصيرة من القواعد، صالحة لأي أساس غير صفري:

تطبّق حاسبة الأسس هذه القواعد واحدة تلو الأخرى إن أردت التحقّق من عبارة أطول.

تبسيط الكسور الجبرية

تُبسَّط العبارة النسبية بتحليل البسط والمقام تحليلًا كاملًا، ثم اختصار العوامل التي تظهر في كليهما. ولا يجوز لك أن تختصر إلا العوامل، لا الحدود المجموعة أبدًا.

يجب الإبقاء على القيد $x \neq -3$ مع أن $(x + 3)$ لم يعد ظاهرًا، لأن العبارة الأصلية غير معرّفة هناك. ولجمع الكسور، استخدم مقامًا مشتركًا أولًا:

إن كان التحليل هو العقبة، فدليل تحليل كثيرات الحدود يغطي كل طريقة مستخدمة هنا، وحاسبة العبارات النسبية تعرض خطوة الاختصار خطوة بخطوة.

تبسيط الجذور التربيعية

أخرج العوامل التي هي مربعات كاملة باستخدام $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ حيث $a$ و$b$ غير سالبين. ثم اجمع الجذور المتشابهة بالطريقة نفسها التي تجمع بها الحدود المتشابهة.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ و$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$، إذن $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$، وهذا ليس $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. فالجذور لا تتوزّع على الجمع.

ترتيب معقول للعمليات

1. فُكّ الأقواس بخاصية التوزيع، مع الانتباه إلى الإشارات السالبة.
2. طبّق قواعد الأسس على حواصل الضرب والقسمة والقوى.
3. اجمع الحدود المتشابهة.
4. في الكسور، حلّل تحليلًا كاملًا واختصر العوامل المشتركة، مع الإبقاء على القيود.
5. اكتب النتيجة بترتيب قياسي، عادةً بالقوى التنازلية: $3x^2 - x + 4$.
6. تحقّق سريعًا بتعويض قيمة بسيطة في العبارة الأصلية وفي النتيجة.

أخطاء تغيّر القيمة

• اختصار الحدود بدلًا من العوامل: $\frac{x + 6}{x + 3}$ ليست $2$ وليست $\frac{6}{3}$.
• توزيع إشارة السالب على الحدّ الأول فقط.
• جمع الأسس عند ضرب أساسات مختلفة: $x^2 y^3$ لا يمكن دمجها في قوة واحدة.
• كتابة $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ أو $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• إسقاط قيود المجال بعد الاختصار.

الصق أي عبارة في حاسبة التبسيط لتقارن خطواتها بخطواتك. وما إن تصبح العبارة بسيطة حتى يصير حلّ المعادلة المرتبطة بها أسهل بكثير؛ انظر كيف تحلّ المعادلات الخطية.

مثال محلول أطول

التمارين الحقيقية تجمع عادةً عدة قواعد مما سبق. والعمل على أحدها بعناية يبيّن كيف يُبقي ترتيب الخطوات العبارة سهلة التناول.

لاحظ أن الطرح أمام $(x + 1)^2$ لم يُعالَج إلا بعد فكّ المربع داخل الأقواس. ففكّ المربع أولًا ثم توزيع إشارة السالب على كل حدّ هو ما يمنع خطأ الإشارة الشهير.

متى تُعدّ العبارة مبسّطة تمامًا؟

يستخدم المعلّمون والكتب المدرسية بضعة أعراف مشتركة للإجابة النهائية. فالعبارة تُعدّ عادةً مبسّطة تمامًا حين لا تبقى أقواس يمكن فكّها، ما لم تُطلب الصورة المحلّلة؛ ولا يتشابه حدّان؛ ولا يكون أي أس سالبًا أو صفرًا؛ ولا يكون لأي كسر عامل مشترك بين بسطه ومقامه؛ ولا يحوي أي جذر تربيعي عاملًا هو مربع كامل؛ ولا يحوي أي مقام جذرًا تربيعيًا.

والقاعدة الأخيرة تُعالَج بإنطاق المقام. فلإنطاق مقام $\frac{6}{\sqrt{3}}$، اضرب البسط والمقام في $\sqrt{3}$ لتحصل على $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. وللصورتين القيمة نفسها، نحو $3.464$، لكن الثانية هي الصورة النهائية المتعارف عليها.

وأحيانًا تعتمد أبسط صورة على الغرض. فالصورة المفكوكة $x^2 - 3x - 10$ مناسبة لقراءة المعاملات، بينما الصورة المحلّلة $(x + 2)(x - 5)$ تُظهر الأصفار فورًا. وإن لم يحدّد التمرين الصورة المطلوبة، فكلتاهما مكافئة، لكن معظم المعلّمين يتوقّعون الصورة المفكوكة للمجاميع، والصورة المحلّلة المختصرة للكسور.

إذا اجتازت إجابتان مختلفتا المظهر كلتاهما اختبار التعويض عند قيمتين أو ثلاث، فهما على الأرجح العبارة نفسها مكتوبة بطريقتين.

التبسيط مع أكثر من متغيّر

العبارات ذات المتغيّرات المتعددة تتبع القواعد نفسها تمامًا، لكن من الأسهل أن تفقد تتبّع الحدود. وفرز الحدود بحسب جزئها المتغيّر قبل الجمع يساعد. ففي $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$، المجموعات المتشابهة هي حدود $a^2b$ وحدود $ab^2$ وحدود $ab$. وجمع كل مجموعة يعطي $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. ولا يُجمع شيء بعد ذلك، لأن لكل حدّ متبقٍّ جزءًا متغيّرًا مختلفًا، لكن في كل حدّ عاملًا مشتركًا هو $ab$، فيمكن كتابة العبارة أيضًا على الصورة $ab(2a + 2b + 5)$.

كتابة المتغيّرات بالترتيب الأبجدي داخل كل حدّ، كأن تكتب $ba$ على الصورة $ab$، تجعل الحدود المتشابهة أسهل في الملاحظة. وهي أيضًا عُرف شائع في الإجابات النهائية.

الأسئلة الشائعة