كيف تحلّ المعادلات الخطية خطوة بخطوة

ما المعادلة الخطية

المعادلة الخطية بمتغيّر واحد هي معادلة يمكن إعادة ترتيبها على الصورة $ax + b = 0$، حيث $a$ و$b$ عددان و$a \neq 0$. ولا يظهر المجهول إلا مرفوعًا إلى القوة الأولى: فلا $x^2$، ولا $\sqrt{x}$، ولا $x$ في مقام. ولأن التمثيل البياني لـ $y = ax + b$ خط مستقيم، فللمعادلة حلّ واحد بالضبط، $x = -\frac{b}{a}$، وهو النقطة التي يقطع فيها ذلك الخط المحور x.

معادلات مثل $3x + 7 = 22$ و$5(x - 2) = 3x + 4$ و$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ كلها خطية، مع أنها لا تبدو بعدُ على صورة $ax + b = 0$. والمهمة هي إعادة كتابتها، خطوة مشروعة تلو الأخرى، حتى يقف المجهول وحده.

قاعدة التوازن وراء كل خطوة

تخيّل المعادلة ميزانًا متوازنًا. يمكنك أن تفعل ما تشاء بأحد الطرفين ما دمت تفعل الشيء نفسه تمامًا بالطرف الآخر، لأن الكميات المتساوية إذا تغيّرت بالطريقة نفسها بقيت متساوية. والعمليات الأربع التي ستستخدمها هي:

• إضافة العدد أو العبارة نفسها إلى الطرفين؛
• طرح العدد أو العبارة نفسها من الطرفين؛
• ضرب الطرفين في العدد نفسه غير الصفري؛
• قسمة الطرفين على العدد نفسه غير الصفري.

الضرب في الصفر أو القسمة عليه هو الحركة الوحيدة الممنوعة: فالضرب في الصفر يحوّل أي معادلة إلى $0 = 0$ ويُتلف المعلومات، والقسمة على الصفر غير معرّفة.

روتين من خمس خطوات

1. تخلّص من رموز التجميع بالتوزيع: $5(x - 2)$ تصير $5x - 10$.
2. تخلّص من الكسور أو الأعداد العشرية بضرب الطرفين في المقام المشترك الأصغر أو في قوة للعدد 10.
3. اجمع الحدود المتشابهة في كل طرف على حدة.
4. اجمع حدود المتغيّر في طرف والحدود الثابتة في الطرف الآخر بالإضافة أو الطرح.
5. اقسم على معامل المتغيّر، ثم عوّض الإجابة في المعادلة الأصلية للتحقّق منها.

ليست كل معادلة بحاجة إلى كل خطوة. فالروتين يعطيك ببساطة ترتيبًا يتجنّب أكثر التشابكات شيوعًا، كمحاولة القسمة قبل جمع الحدود المتشابهة.

أمثلة محلولة من البسيط إلى الأصعب

لاحظ الترتيب. فالسبعة أُضيفت أخيرًا حين بُنيت العبارة $3x + 7$، ولذلك تُزال أولًا. فالحلّ يعكس ترتيب العمليات.

إن كنت تفضّل معاملًا موجبًا، فاجمع حدود المتغيّر في الطرف الذي فيه المعامل الأكبر أصلًا. ففي المثال 3، إضافة $4x$ إلى الطرفين تعطي $9 = 6x - 15$، ثم $24 = 6x$ و$x = 4$، دون أي قسمة على سالب.

معادلات فيها كسور وأعداد عشرية

الكسور هي موضع معظم الأخطاء، فتخلّص منها في البداية. اضرب كل حدّ في الطرفين في المقام المشترك الأصغر. و«كل حدّ» تعني كل حدّ، بما في ذلك الأعداد الصحيحة التي ليس لها مقام ظاهر.

والأعداد العشرية تُعالَج بالطريقة نفسها باستخدام قوة للعشرة. اختر القوة التي تتخلّص من العدد العشري ذي المنازل الأكثر.

يمكنك تأكيد المعادلات الكثيرة الكسور باستخدام حاسبة الكسور أو مقارنة كل خطوة بـ حلّال المعادلات.

لا حلّ وعدد لا نهائي من الحلول

أحيانًا يختفي المتغيّر تمامًا في أثناء الحل. وما يتبقّى يخبرك بالحالة الخاصة التي أمامك.

العبارة الصحيحة مثل $6 = 6$ تعني أن الطرفين هما العبارة نفسها، فكل عدد حقيقي حلّ. وتُسمّى المعادلة متطابقة.

والعبارة الخاطئة مثل $6 = 5$ تعني أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل الطرفين متساويين أبدًا: فليس للمعادلة حلّ. وبيانيًا، الطرفان خطان متوازيان لهما الميل نفسه ومقطعان مختلفان، فلا يلتقيان أبدًا.

إيجاد متغيّر واحد في صيغة

قاعدة التوازن نفسها تعيد ترتيب الصيغ، وهو ما يُسمّى غالبًا حلّ المعادلة الحرفية. عامل كل حرف عدا الحرف الذي تريده كأنه عدد.

إعادة كتابة المعادلة بهذه الطريقة هي الخطوة الأولى لتمثيلها بيانيًا، ويمكنك استكشاف ذلك بـ حاسبة الميل.

تحويل المسألة الكلامية إلى معادلة

تصير المسائل الكلامية معادلات خطية حين تتغيّر كمية بمعدّل ثابت. سمِّ المجهول، واكتب كل عبارة لفظية على صورة عبارة جبرية، وساوِ بين الوصفين لكمية واحدة.

تجد مزيدًا من التدريب على ترجمة الجمل إلى معادلات في حلّال المسائل الكلامية.

أخطاء شائعة وكيف تتجنّبها

• التوزيع على الحدّ الأول فقط: $3(x + 4)$ تساوي $3x + 12$، لا $3x + 4$.
• فقدان إشارة سالبة: $-(x - 5)$ تساوي $-x + 5$. وزّع السالب على كل حدّ داخل القوس.
• ضرب الكسور وحدها في المقام المشترك الأصغر ونسيان الحدود الصحيحة.
• نقل حدّ عبر علامة يساوي دون تغيير إشارته. فقولنا إن الحدّ «ينتقل» اختصار لطرحه من الطرفين.
• التوقّف عند $-x = 3$. اقسم على $-1$ لتحصل على $x = -3$.
• إهمال التحقّق. فالتعويض في المعادلة الأصلية، لا في سطر لاحق، يكشف الأخطاء الواقعة في أي خطوة.

إلى أين بعد ذلك

ما إن تصبح المعادلات الخطية تلقائية لديك حتى تنتقل المهارات نفسها مباشرة إلى المتباينات الخطية، حيث تنطبق قاعدة إضافية واحدة، وإلى أنظمة المعادلات، حيث تشترك معادلتان خطيتان في مجهولين. وإن احتوت المعادلة على $x^2$، فاقرأ دليل حلّ المعادلات التربيعية. وللتدرّب، اكتب أيًّا من الأمثلة السابقة في حاسبة إيجاد x وقارن خطواتها بخطواتك.

الأسئلة الشائعة