كيف تحلّ أنظمة المعادلات: التمثيل البياني والتعويض والحذف

ما معنى حلّ النظام

نظام المعادلات الخطية مجموعة من معادلتين خطيتين أو أكثر تشترك في المجاهيل نفسها. والحلّ هو إسناد قيم، مثل $x = 2$ و$y = 3$، يجعل كل المعادلات صحيحة في الوقت نفسه. ولا يكفي التحقّق من معادلة واحدة.

في حالة مجهولين، تمثّل كل معادلة خطًا مستقيمًا في المستوى، والحلّ نقطة تقع على الخطين معًا. وهذه الصورة تفسّر النتائج الثلاث الممكنة:

• يتقاطع الخطان مرة واحدة: حلّ واحد بالضبط.
• الخطان متوازيان: لا حلّ. ويُسمّى النظام غير متّسق.
• الخطان هما الخط نفسه: عدد لا نهائي من الحلول. والمعادلتان مرتبطتان.

الطريقة 1: التمثيل البياني

أعد كتابة كل معادلة بصيغة الميل والمقطع $y = mx + b$، وارسم الخطين، واقرأ نقطة التقاطع. والتمثيل البياني أفضل طريقة لرؤية معنى النظام، ويُظهر فورًا الخطوط المتوازية أو المتطابقة. لكنه غير دقيق: فالتقاطع عند $x = \frac{7}{3}$ يصعب قراءته من رسم تقريبي. استخدمه للتقدير، ثم تأكّد جبريًا. ويمكنك رسم الخطين معًا في حاسبة الرسم البياني.

الطريقة 2: التعويض

حلّ إحدى المعادلتين لأحد المتغيّرين، وعوّض تلك العبارة في المعادلة الأخرى، ثم حلّ المعادلة الناتجة ذات المتغيّر الواحد. والتعويض هو الخيار الطبيعي حين يكون معامل أحد المتغيّرات 1 أو $-1$ أصلًا.

ضع دائمًا أقواسًا حول العبارة التي تعوّضها. كتابة $3x + 2x - 1$ تنجح هنا مصادفةً، لكن تعويض $y = 2x - 1$ في $3x - y = 9$ يتطلّب $3x - (2x - 1)$، والقوس يغيّر إشارة $-1$.

الطريقة 3: الحذف

اجمع مضاعفات المعادلات أو اطرحها بحيث يُحذف أحد المتغيّرين. والحذف هو الأسرع عادةً حين تكون المعادلتان بالصيغة القياسية $ax + by = c$.

وحين لا تتطابق أي معاملات، اضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما أولًا حتى تتطابق.

كيف تكتشف انعدام الحلّ أو لانهائية الحلول

إذا حُذف المتغيّران كلاهما أثناء الحذف، فانظر إلى ما يتبقّى.

• $x + y = 4$ و$2x + 2y = 10$. مضاعفة الأولى تعطي $2x + 2y = 8$؛ والطرح يترك $0 = 2$، وهي خاطئة. الخطان متوازيان: لا حلّ.
• $x + y = 4$ و$3x + 3y = 12$. ضرب الأولى في ثلاثة يعطي الثانية تمامًا؛ والطرح يترك $0 = 0$. كل نقطة على الخط $x + y = 4$ حلّ.

وقبل أن تبدأ، يمكنك توقّع ذلك من المعاملات: إذا كان $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$، فللخطين الميل نفسه، وليس للنظام حلّ أو له عدد لا نهائي من الحلول.

قاعدة كرامر بالمحدِّدات

في نظام من معادلتين بمجهولين، تعطي المحدِّدات كل مجهول مباشرة:

في $2x + 3y = 12$ و$5x - 3y = 9$: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$، و$D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$، و$D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. إذن $x = 3$ و$y = 2$، مطابقًا لطريقة الحذف. وإذا كان $D = 0$ فلا تنطبق القاعدة، وهذه بالضبط حالة الخطين المتوازيين أو المتطابقين. ويشرح دليل المحدِّدات كيفية حسابها للأنظمة الأكبر.

ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل

الاستراتيجية نفسها: احذف متغيّرًا واحدًا من زوجين مختلفين من المعادلات لتحصل على نظام من معادلتين بمجهولين، وحلّه، ثم عوّض عكسيًا.

تُحَلّ الأنظمة الأكبر عادةً بالمصفوفات والحذف الصفّي؛ وتعرض حاسبة المصفوفات العملية نفسها.

مسألة كلامية

المجهولان يحتاجان إلى معلومتين مستقلتين. فإذا أعطتك المسألة معلومة واحدة فقط، فلا يمكن أن يكون لها جواب وحيد.

اختيار الطريقة وتجنّب الأخطاء

• استخدم التعويض حين يكون أحد المتغيّرات معزولًا أصلًا أو معامله 1.
• استخدم الحذف حين تكون المعادلتان بالصيغة القياسية، ولا سيما إذا كانت المعاملات متطابقة أو متعاكسة أصلًا.
• استخدم قاعدة كرامر لجواب سريع لنظام من معادلتين بمجهولين، أو حين تحتاج إلى صيغة لكل مجهول.
• تحقّق دائمًا من الزوج النهائي في المعادلتين الأصليتين، لأن زلّة حسابية قد تنتج نقطة لا تحقّق إلا إحداهما.

قارن حلّك بـ حاسبة أنظمة المعادلات، التي تعرض كل خطوة حذف أو تعويض. وإذا احتجت إلى مراجعة خطوات حلّ المعادلة الواحدة المستخدمة داخل كل طريقة، فانظر كيف تحلّ المعادلات الخطية.

أيّ طريقة تستخدم؟

تعطي كل الطرق الحلّ نفسه، فاختر الطريقة التي تُبقي الحساب في أبسط صوره. التعويض هو الأفضل حين يكون في إحدى المعادلتين متغيّر معزول أصلًا، مثل $y = 2x - 1$، أو حين يكون معامل أحد المتغيّرات 1 أو $-1$. والحذف أسرع عادةً حين تكون المعادلتان بالصيغة القياسية $ax + by = c$ ولا يوجد متغيّر معزول، لأنه يؤجّل الكسور حتى النهاية.

التمثيل البياني مفيد لرؤية الموقف: خطان متقاطعان، أو خطان متوازيان، أو الخط نفسه مرسومًا مرتين. وهو أقل موثوقية للإجابات الدقيقة ما لم تكن لنقطة التقاطع إحداثيات صحيحة. أما قاعدة كرامر وطرق المصفوفات فتناسب الأنظمة ذات ثلاثة متغيّرات أو أكثر، وهي ما تستخدمه الحاسبات وبرامج الحاسوب داخليًا.

وفي الأنظمة غير الخطية، مثل خط وقطع مكافئ، يكون التعويض هو الخيار الصحيح دائمًا تقريبًا. فحلّ $y = x^2$ و$y = x + 2$ يعطي $x^2 = x + 2$، إذن $x^2 - x - 2 = 0$ و$(x - 2)(x + 1) = 0$. ونقطتا التقاطع هما $(2, 4)$ و$(-1, 1)$، وكلتاهما تحقّق كل معادلة.

التحقّق من الحلّ

يجب أن يحقّق حلّ النظام كل معادلة، لا المعادلة التي استخدمتها أخيرًا فقط. عوّض قيمك في كل معادلة أصلية. ففي مثال الحذف الثاني، يعطي $(2, 5)$ أن $3(2) + 2(5) = 16$ و$4(2) - 5(5) = -17$، فالمعادلتان متحقّقتان. والقيمة التي تحقّق معادلة دون الأخرى تدلّ على زلّة حسابية أثناء الحذف.

اكتب التحقّق على ورقتك. فهو يستغرق أقل من دقيقة، وكثيرًا ما يمنح المصحّحون درجة على الإجابة المتحقَّق منها.

تحلّ حاسبة أنظمة المعادلات الأنظمة ذات المتغيّرين والثلاثة متغيّرات مع عرض كل خطوة، وهي طريقة مريحة لمقارنة حلّك.

الأسئلة الشائعة