كيف تحسب محدِّد المصفوفة

ما الذي يقيسه المحدِّد

لكل مصفوفة مربعة محدِّد، يُكتب $\det(A)$ أو $|A|$. أما المصفوفات غير المربعة فليس لها محدِّد. ويجيب المحدِّد عن سؤال أساسي فورًا: للمصفوفة المربعة معكوس إذا وفقط إذا كان محدِّدها غير صفري. والمحدِّد الصفري يعني أن المصفوفة تطوي الفضاء إلى بُعد أدنى، فتضيع معلومات لا يمكن استعادتها.

هندسيًا، القيمة المطلقة للمحدِّد هي المعامل الذي تكبّر به المصفوفة المساحات في بُعدين، أو الأحجام في ثلاثة أبعاد. وإشارته تخبرك ما إذا كان التحويل يحافظ على الاتجاه أو يعكسه، كما تعكس المرآة اليمين واليسار.

صيغة المصفوفة 2 في 2

في المصفوفة $2 \times 2$، اضرب عنصري القطر الرئيسي واطرح منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر:

تفسير المساحة يسهل رؤيته هنا. فعمودا المصفوفة $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$، وهما $(3, 1)$ و$(1, 2)$، يولّدان متوازي أضلاع مساحته $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$، وهي قيمة المحدِّد.

النشر بالعوامل المرافقة للمصفوفات 3 في 3

في المصفوفات الأكبر، يختزل النشر بالعوامل المرافقة المسألة إلى محدِّدات أصغر. اختر صفًّا، وليكن الأول. ولكل عنصر، احذف صفّه وعموده لتحصل على مصفوفة أصغر تُسمّى المصغَّرة، واضرب العنصر في محدِّد المصغَّرة. ثم اجمع النتائج باستخدام نمط رقعة الشطرنج للإشارات $+, -, +$:

يمكنك النشر على أي صف أو عمود، والإجابة واحدة. فاختر الذي فيه أكبر عدد من الأصفار، لأن كل عنصر صفري يُسقط حدًّا كاملًا.

قاعدة ساروس، اختصار للمصفوفات 3 في 3 فقط

للمصفوفات $3 \times 3$ اختصار سهل التذكّر. اجمع حواصل الضرب الثلاثة النازلة نحو اليمين، مع الالتفاف حول الحافة، واطرح حواصل الضرب الثلاثة النازلة نحو اليسار. ففي مصفوفة المثال 2، حواصل الضرب النازلة هي $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$ و$(-3)(-1)(1) = 3$ و$1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$، ومجموعها 11. وحواصل الضرب الصاعدة هي $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ و$2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ و$(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$، ومجموعها $-38$. فالمحدِّد $11 - (-38) = 49$، وهو يطابق طريقة العوامل المرافقة.

انتبه: قاعدة ساروس لا تصلح إلا للمصفوفات $3 \times 3$. وتطبيق نمط الأقطار نفسه على مصفوفة $4 \times 4$ يعطي إجابة خاطئة، وهو خطأ شائع ومكلف في الامتحانات.

الحذف بالصفوف للمصفوفات الأكبر

يصبح النشر بالعوامل المرافقة بطيئًا بسرعة: فمصفوفة $10 \times 10$ تحتاج إلى ملايين من عمليات الضرب. والحذف بالصفوف أكفأ بكثير. فمحدِّد المصفوفة المثلثية هو ببساطة حاصل ضرب عناصر قطرها، لذا تختزل المصفوفة إلى صورة مثلثية مع تتبّع أثر كل عملية صفّية في المحدِّد:

• إضافة مضاعف صف إلى صف آخر لا تغيّر المحدِّد.
• تبديل صفّين يضرب المحدِّد في $-1$.
• ضرب صف في عدد $k$ يضرب المحدِّد في $k$.

خصائص توفّر الجهد

• المصفوفة التي فيها صف أو عمود من الأصفار محدِّدها 0.
• المصفوفة التي فيها صفّان متساويان، أو صف مضاعف لصف آخر، محدِّدها 0.
• للمصفوفة $n \times n$، $\det(kA) = k^n\det(A)$، لا $k\det(A)$.
• محدِّد مصفوفة الوحدة 1.

تتيح لك هذه القواعد إيجاد محدِّدات كثيرة دون أي حساب. فإذا لاحظت أن صفًّا يساوي ضعف صف آخر، فالمحدِّد صفر وليس للمصفوفة معكوس، ويمكنك التأكّد من ذلك بدليل معكوس المصفوفة.

قاعدة كرامر: حلّ الأنظمة بالمحدِّدات

يمكن للمحدِّدات أن تحلّ الأنظمة الخطية الصغيرة مباشرةً. ففي $2x + y = 5$ و$x - 3y = -1$، محدِّد المعاملات $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. استبدل بالعمود الأول الثوابتَ لتحصل على $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$، وبالعمود الثاني لتحصل على $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$. عندئذٍ $x = \frac{D_x}{D} = 2$ و$y = \frac{D_y}{D} = 1$.

قاعدة كرامر أنيقة ومفيدة للأنظمة $2 \times 2$ و$3 \times 3$، لكنها غير فعّالة للأنظمة الأكبر، حيث يكون الحذف أسرع. وإذا كان $D = 0$، فللنظام إما لا حلّ وإما عدد لانهائي من الحلول. وتعرض حاسبة المحدِّدات خطوات النشر بالعوامل المرافقة والحذف بالصفوف لمصفوفات من أي رتبة، وحاسبة المصفوفات تتولّى الحسابات المحيطة.

مثال 4 في 4: دع الأصفار تقوم بالعمل

تصبح المحدِّدات الأكبر في المتناول عندما تستغلّ الأصفار. خذ المصفوفة التي صفوفها $(1, 0, 2, 0)$ و$(3, 1, 0, 0)$ و$(0, 0, 2, 1)$ و$(0, 0, 0, 4)$. الصف الأخير فيه ثلاثة أصفار، فالنشر عليه يترك حدًّا واحدًا فقط: العنصر 4، في موضع إشارته موجبة، مضروبًا في محدِّد المصفوفة $3 \times 3$ المتبقية بعد حذف الصف والعمود الأخيرين.

تلك المصفوفة الأصغر صفوفها $(1, 0, 2)$ و$(3, 1, 0)$ و$(0, 0, 2)$. وصفّها الأخير فيه صفران أيضًا، فانشر مرة أخرى: العنصر 2 مضروبًا في $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ يعطي 2. فالمحدِّد الكامل إذن $4 \cdot 2 = 8$. ولولا الأصفار لتطلّب الحساب نفسه أربعة وعشرين حاصل ضرب لأربعة أعداد في كل منها.

أخطاء شائعة ينبغي تجنّبها

• نسيان الإشارات المتناوبة في النشر بالعوامل المرافقة، ولا سيما إشارة السالب في الموضع الثاني من الصف الأول.
• استخدام قاعدة ساروس القطرية على مصفوفة $4 \times 4$ أو أكبر.
• ضرب صف في عدد أثناء الحذف بالصفوف دون تعديل المحدِّد.
• تبديل صفّين ونسيان تغيير الإشارة.
• افتراض أن $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$، وهذا خاطئ عمومًا؛ فحواصل الضرب وحدها هي التي تنفصل بسهولة.

من العادات المفيدة حساب محدِّد $3 \times 3$ بطريقتين، مثلًا بالنشر بالعوامل المرافقة على صف ثم على عمود فيه صفر. فإذا اتفقت الإجابتان أمكنك الاطمئنان، وإذا اختلفتا دلّك الاختلاف على خطأ في إشارة.

المحدِّدات في ثلاثة أبعاد

في ثلاثة أبعاد، القيمة المطلقة لمحدِّد $3 \times 3$ هي حجم متوازي السطوح، أي صندوق مائل، أحرفه المتّجهات العمودية الثلاثة. لذا فمصفوفة المثال 2 تحوّل مكعب الوحدة إلى مجسّم حجمه 49. والفكرة نفسها تعطي اختبارًا سريعًا لمعرفة ما إذا كانت ثلاثة متّجهات تقع في مستوى واحد: يحدث ذلك إذا وفقط إذا كان المحدِّد صفرًا، لأن الصندوق المسطّح لا حجم له. والضرب الاتجاهي وثيق الصلة بذلك، إذ يُحسب عادةً على صورة محدِّد رمزي $3 \times 3$.

الأسئلة الشائعة