شرح القيم الذاتية والمتّجهات الذاتية بالأمثلة

المعادلة المعرِّفة

معظم المتّجهات يتغيّر اتجاهها عندما تضربها في مصفوفة. لكن بعض المتّجهات الخاصة لا يتغيّر اتجاهها: فالمصفوفة تمطّها أو تقلّصها أو تعكسها على المستقيم نفسه فحسب. هذه هي المتّجهات الذاتية، والمعامل الذي يُضرب فيه كل منها هو قيمته الذاتية. وبالرموز، يكون المتّجه غير الصفري $\mathbf{v}$ متّجهًا ذاتيًا للمصفوفة المربعة $A$ بقيمة ذاتية $\lambda$ عندما:

يُستبعد المتّجه الصفري لأنه يحقّق المعادلة لكل $\lambda$. أما القيم الذاتية فيمكن أن تكون صفرًا أو سالبة بل مركّبة. فالقيمة الذاتية 2 تعني أن المتّجهات في ذلك الاتجاه يتضاعف طولها، و$-1$ تعني أنها تنقلب، و0 تعني أنها تُسحق إلى لا شيء، وهذا يحدث إذا وفقط إذا كانت المصفوفة شاذّة.

إيجاد القيم الذاتية بالمعادلة المميِّزة

أعد كتابة المعادلة المعرِّفة على الصورة $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. ولكي يوجد حلّ غير صفري، يجب أن تكون المصفوفة $A - \lambda I$ شاذّة، أي أن يكون محدِّدها صفرًا. وهذا يعطي المعادلة المميِّزة:

للمصفوفة $n \times n$، هذه معادلة كثيرة حدود من الدرجة $n$ في $\lambda$، فهناك $n$ قيمة ذاتية عند عدّها مع تكرارها والسماح بالقيم المركّبة. وللمصفوفة $2 \times 2$ تكون كثيرة الحدود تربيعية، ويمكنك حلّها بالطرق الواردة في كيف تحلّ المعادلات التربيعية.

مثال كامل لمصفوفة 2 في 2

أي مضاعف غير صفري لمتّجه ذاتي هو متّجه ذاتي أيضًا، فالإجابتان $(3, 3)$ أو $(-2, 4)$ صحيحتان بالقدر نفسه. فالمهم هو الاتجاه لا الطول. ولاحظ أيضًا أن صفّي $A - \lambda I$ كانا في كل مرة مضاعفين أحدهما للآخر. وهذا مضمون عندما تكون $\lambda$ قيمة ذاتية فعلًا، وهو وسيلة مفيدة للتحقق من حساباتك.

اختصاران: الأثر والمحدِّد

القيم الذاتية لأي مصفوفة مربعة مرتبطة بعددين سهلين. فمجموعها يساوي الأثر، أي مجموع عناصر القطر، وحاصل ضربها يساوي المحدِّد:

في المثال 1، الأثر $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ والمحدِّد $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$. وللمصفوفة $2 \times 2$، يعني هذا أن المعادلة المميِّزة هي دائمًا $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$، مما يوفّر نشر المحدِّد يدويًا. والمصفوفات المثلثية أسهل من ذلك: فقيمها الذاتية هي ببساطة عناصر قطرها.

القيم الذاتية المركّبة والمكرّرة

مصفوفة الدوران $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ تدير كل متّجه بزاوية 90 درجة، فلا يبقى أي اتجاه حقيقي على مستقيمه. ومعادلتها المميِّزة $\lambda^2 + 1 = 0$، وهي تعطي القيمتين الذاتيتين المركّبتين $\lambda = \pm i$. والقيم الذاتية المركّبة لمصفوفة حقيقية تأتي دائمًا في أزواج مترافقة وتدلّ على الدوران.

ويمكن أيضًا أن تتكرّر القيم الذاتية. فالمصفوفة $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ لها القيمة الذاتية المضاعفة 2، ومع ذلك فإن $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ تفرض $y = 0$، فلا متّجهات ذاتية لها إلا مضاعفات $(1, 0)$. والمصفوفة من هذا النوع، التي عدد متّجهاتها الذاتية المستقلة أقل من رتبتها، تُسمّى ناقصة. أما مصفوفة الوحدة، فلها كذلك القيمة الذاتية المكرّرة 1، لكن كل متّجه غير صفري متّجه ذاتي لها.

المصفوفات المتماثلة تتجنّب كلتا المشكلتين. فقيمها الذاتية حقيقية دائمًا، والمتّجهات الذاتية المقابلة لقيم ذاتية مختلفة متعامدة. ففي $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$، القيمتان الذاتيتان 3 و1 والمتّجهان الذاتيان $(1, 1)$ و$(1, -1)$، وضربهما النقطي صفر.

التحويل إلى صورة قطرية وقوى المصفوفات

عندما يكون للمصفوفة $n \times n$ عدد $n$ من المتّجهات الذاتية المستقلة، يمكن تحويلها إلى صورة قطرية. ضع المتّجهات الذاتية في أعمدة $P$ والقيم الذاتية على قطر $D$، فيكون:

رفع مصفوفة قطرية إلى قوة يقتصر على رفع كل عنصر قطري إلى تلك القوة، فيصبح حساب $A^{100}$ سهلًا. وتتنبّأ القيم الذاتية أيضًا بالسلوك على المدى الطويل: فعندما تكون إحدى القيم الذاتية أكبر بالقيمة المطلقة من سائرها، فإن الضرب المتكرّر في $A$ يدفع كل متّجه ابتدائي تقريبًا نحو المتّجه الذاتي لتلك القيمة.

أين تهمّ القيم الذاتية

• محرّكات البحث: كانت خوارزمية «بيج رانك» الأصلية ترتّب صفحات الويب باستخدام المتّجه الذاتي المهيمن لمصفوفة الروابط.
• الهندسة: ترددات الاهتزاز الطبيعية للجسور والمباني تأتي من القيم الذاتية، ويحرص المصمّمون على إبعادها عن ترددات القوى المؤثّرة المتوقّعة.
• علم البيانات: يستخدم تحليل المكوّنات الرئيسية المتّجهات الذاتية لمصفوفة التغاير لإيجاد اتجاهات التباين الأكبر.
• المعادلات التفاضلية: إشارات القيم الذاتية تحدّد ما إذا كان التوازن مستقرًا أو غير مستقر.
• ميكانيكا الكمّ: الكميات القابلة للقياس، مثل مستويات الطاقة، قيم ذاتية لمؤثّرات.

تجد حاسبة القيم الذاتية القيم الذاتية والمتّجهات الذاتية، بما فيها المركّبة، مع عرض كثيرة الحدود المميِّزة خطوة بخطوة. وحاسبة المحدِّدات مفيدة للتحقق من $\det(A - \lambda I)$ عند قيمة مرشّحة.

مثال لمصفوفة 3 في 3

المصفوفات الأكبر تتبع الوصفة نفسها، والأصفار تساعد هنا كما تساعد في المحدِّدات. خذ المصفوفة التي صفوفها $(2, 0, 0)$ و$(0, 3, 4)$ و$(0, 4, 9)$. نشر $\det(A - \lambda I)$ على الصف الأول يعطي $(2 - \lambda)$ مضروبًا في كثيرة الحدود المميِّزة للكتلة الأصغر التي صفّاها $(3, 4)$ و$(4, 9)$. وأثر تلك الكتلة 12 ومحدِّدها $27 - 16 = 11$، فكثيرة حدودها $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$.

فالقيم الذاتية إذن 2 و1 و11. وللتحقق، مجموعها 14، وهو أثر المصفوفة الكاملة، وحاصل ضربها 22، وهو محدِّدها. والمتّجهات الذاتية هي $(1, 0, 0)$ للقيمة 2، و$(0, -2, 1)$ للقيمة 1، و$(0, 1, 2)$ للقيمة 11. والمصفوفة متماثلة، وكما وُعدنا فهذه المتّجهات الثلاثة متعامدة مثنى مثنى.

أخطاء شائعة

• طرح $\lambda$ من كل العناصر بدلًا من عناصر القطر فقط.
• قبول المتّجه الصفري متّجهًا ذاتيًا بعد حلّ $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.
• افتراض أن القيمة الذاتية المكرّرة يقابلها دائمًا متّجهان ذاتيان مستقلان.
• نسيان التحقق من النتيجة بحساب $A\mathbf{v}$ ومقارنتها بـ $\lambda\mathbf{v}$.

التحقق الأخير أثمن العادات جميعًا. فهو يتطلّب عملية ضرب مصفوفات واحدة، وإذا لم تكن $A\mathbf{v}$ مضاعفًا لـ $\mathbf{v}$، فإما القيمة الذاتية خاطئة وإما المتّجه الذاتي.

صورة هندسية

تخيّل تطبيق مصفوفة المثال 1 على كل نقطة من ورقة رسم بياني. معظم الأسهم المرسومة من نقطة الأصل تُمطّ وتُدار معًا. أما الأسهم الواقعة على المستقيم المارّ بالنقطة $(1, 1)$ فتصبح ببساطة أطول بخمس مرات، والأسهم الواقعة على المستقيم المارّ بالنقطة $(1, -2)$ تصبح بضعف طولها، وتبقى على مستقيماتها. فالمتّجهات الذاتية هي هيكل التحويل: فما إن تعرف ما يحدث على هذين المستقيمين حتى تعرف ما يحدث في كل مكان، لأن كل متّجه يمكن تجزئته إلى قطع على امتدادهما.

الأسئلة الشائعة